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2013高考数学三轮押题冲刺_基础知识最后一轮拿分测验_空间中的垂直关系

空间中的垂直关系
【考点导读】 1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明和解决有关 问题。 2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互相转化,善 于利用转化思想。 【基础练习】 1. “直线 l 垂直于平面 ? 内的无数条直线”是“ l⊥? ”的 必要 条件。 2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。 3.已知 ? 、? 是两个平面,直线 l ? ? , l ? ? . 若以① l ? ? ,② l // ? ,③ ? ? ? 中两个为 条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确命题的个数是 2 个。 4.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。 5.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置关 系是 平行、相交或在另一个平面内 。 6.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,写出过顶点 A 的一个平面__AB1D1_____,使该平面与正 方体的 12 条棱所在的直线所成的角均相等(注: 填上你认为正确的一个平面即可, 不必考虑 所有可能的情况)。 【范例导析】 例 1.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; P 解析: 本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象 能力和推理论证能力. F 证明: (1)连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, 所以,PA // 平面 EDB (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE ? PC . ① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC ? DE . ② 由①和②推得 DE ? 平面 PBC. 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE ? PB 又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2.如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2
D

E

C

A

B

BD ,M 是 EA 的中点,
求证: (1)DE =D A ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ;

(3)平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析: (1)证明 DE =DA ,可以通过图形分割,证明△DEF ≌△DBA。 (2)证明面面垂直的 关键在于寻找平面内一直线 垂直于另一平面。由(1)知 DM ⊥EA ,取 AC 中点 N ,连结

MN 、NB ,易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM ⊥平面 ECA。
证明: (1)如图,取 EC 中点 F ,连结 DF。 ∵ ∴ ∵

EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,得 DB ⊥平面 ABC 。 DB ⊥AB ,EC ⊥BC。 BD ∥CE ,BD =

1 CE =FC , 2

则四边形 FCBD 是矩形,DF ⊥EC。 又 BA =BC =DF ,∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ,所以 DE =DA。 (2)取 AC 中点 N ,连结 MN 、NB , ∵

M 是 EA 的中点,∴ MN

1 EC。 2

由 BD ∵ ∴

1 EC ,且 BD ⊥平面 ABC ,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM ⊥MN。 2

DE =DA ,M 是 EA 的中点,∴ DM ⊥EA .又 EA ? MN =M , DM ⊥平面 ECA ,而 DM ? 平面 BD M ,则平面 ECA ⊥平面 BDM。 DM ⊥平面 ECA ,DM ? 平面 DEA ,

(3)∵ ∴

平面 DEA ⊥平面 ECA。

点评:面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例 3.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1, ∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论。 分析: (1)由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ,只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 ,由 直线 与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。 (2)由(1)得 C1D ⊥AB1 ,只要过 D 作 AB1 的垂 线,它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。 证明: (1)如图,∵

ABC—A1B1C1 是直三棱柱,

∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°。 又 D 是 A1B1 的中点,∴ C1D ⊥A1B1 。

∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , ∴ AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 (2)解:作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ,延长 DE 交 BB1 于 F ,连结 C1F ,则 AB1 ⊥平面 C1DF , 点 F 即为所求。 ∵ C1D ⊥ 平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B , ∴ C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D , ∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。 点评:本题(1)的证明中,证得 C1D ⊥A1B1 后,由 ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥ 平面 AA1B1B ,立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。 (2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分 析问题。 备用题.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将 ?AED, ?DCF 分别沿 DE , DF 折起,使

A, C 两点重合于点 A? ,求证: A?D ? EF .
(2)当 BE ? BF ?

A E B

1 BC 时,求三棱锥 A? ? EFD 的体积. 4 A? D
E

D

F

C
B

F

变式题. 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点, AE 为折痕将 ?DAE 以 向上折起,使 D 为 D? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE .求证: AD? ? EB ;

D

E

C

D?
E

C
B

A

B

A

解:在 Rt ?BCE 中, BE ? 在 Rt ?AD?E 中, AE ?

BC 2 ? CE 2 ? 2 ,

D?A2 ? D?E 2 ? 2 ,

∵ AB ? 2 ? BE ? AE ,
2 2 2 2

∴ AE ? BE . ∵平面 AED? ? 平面 ABCE ,且交线为 AE , ∴ BE ? 平面 AED? . ∵ AD? ? 平面 AED? , ∴

. 【反馈演练】 1.下列命题中错误的是 (3) 。 (1)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直线 (2)若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直 (3)若一条直线垂直于平面内的一条直线,则此直线垂直于这一平面 (4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直, 则它也和这条斜线垂直 2.设 x, y, z 是空间的不同直 线或不同平面,且 直 线不在平面内,下列条件中能保证“若 (填所有正确条件的代号) x ? z ,且 y ? z ,则x // y ”为真命题的是 ①③ ④ ①x 为直线,y,z 为平面 ②x,y,z 为平面 ③x,y 为直线,z 为平面 ④x,y 为平面,z 为直线 ⑤x,y,z 为直线 3.二面角α —a—β 的平面角为 120°,在面α 内,AB⊥a 于 B,AB=2 在平面β 内,CD⊥a 于 D,CD=3,BD=1,M 是棱 a 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为

26 。

4.已知三棱锥 P ? ABC 中,顶点 P 在底面的射影 O 是三角形 ABC 的内心,关于这个三棱 锥有三个命题:①侧棱 PA ? PB ? PC ;②侧棱 PA、 、 两两垂直;③各侧面与底面所 PB PC 成的二面角相等。其中错误的是 ①② 。 5.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可以有_____4____个。 6. AB 的中点 M 到平面 ? 的距离为 4 cm , A 到平面 ? 的距离为 6 cm , 若 点 则点 B 到平面 ? 的距离为_2 或 14________ cm 。 7.三棱锥 P ? ABC 中,侧棱 PA 、 、 两两垂直,底面 ABC 内一点 S 到三个侧面的距离 PB PC 分别是 2 、 、 ,那么 PS ? __7______。 3 6 8.在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, 那么这个球面的表面积是 3? a 2 . 9.命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题 A 的等价命题 B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。 答案:侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等??) 10.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线.给出 四个论断: ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结 论,写出你认为正确的一个命题: 。 .. 答案:m⊥α ,n⊥β , α ⊥β

? m⊥n 或 m⊥n,m⊥α ,n⊥β ? α ⊥β

11.已知三棱锥 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC,AB=BC, D、F 分别为 AC、PC 的中点,DE⊥AP 于 E. (1)求证:AP⊥平面 BDE;

(2)求证:平面 BDE⊥平面 BDF; (3)若 AE∶EP=1∶2,求截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成两部分的体积比. 解: (1)∵PC⊥底面 ABC,BD ? 平面 ABC,∴PC⊥BD. 由 AB=BC,D 为 AC 的中点,得 BD⊥AC.又 PC∩AC=C,∴BD⊥平面 PAC. 又 PA ? 平面、 PAC,∴BD⊥PA.由已知 DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面 BDE. (2) BD⊥平面 PAC, ? 平面 PAC, BD⊥DE. D、 分别为 AC、 的中点, DF//AP. 由 DE 得 由 F PC 得 由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面 BDF. 又? DE ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BDF. (3)设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1 和 h2.则 h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
1 ? h1 ? S ?PBF V P ? EBF V E ? PBF 2 1 ? ? ? 3 ? ? . V P ? ABC V A? PBC 1 3? 2 3 ? h2 ? S ?PBC 3

故截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成两部分体积的比为 1∶2 或 2∶1 点评:值得注意的是, “截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成两部分的体积比”并没有说明先后 顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误. 12.在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2a , 在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)设 SB 的中点为 M,当

CD 的值是多少时,能使△DMC AB
E

S F M D A B C

为直角三角形?请给出证明. 解: (1)∵ CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF ∵ ?D ? 90 0 ,? CD ? AD, 又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ?CD ? 平面 SAD,∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)当

CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB
AB 2 ? AD 2 ? 2a, ?BDC ? 45 0 ? BC ?

? AB ? a,? CD ? 2a, BD ?

2a, BC ? BD ,

? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC ,? BC ? 平面 SBD .

在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB .
? MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。