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湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考(文)数学试题含答案


长郡中学 2016 届高三月考试卷(六) 数学(文科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
x 1.若全集 U ? R ,集合 ? ? x 1 ? 2 ? 4 , ? ? x x ? 1 ? 0 ,则 ?

?

?

?

?

?U? ? (



A. x 0 ? x ? 1 D. x 1 ? x ? 2

? ?

? ?

B. x 1 ? x ? 2

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

2.已知 a , b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a ? bi ? ? (
2



A. 5 ? 4i

B. 5 ? 4i

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i

4.在区间 ? ?2, 4? 上随机地抽取一个实数 x ,若 x 满足 x ? m 的概率为
2

5 ,则实数 m 的值为 6
D. 9
2

( A. 2

) B. 3 C. 4

5.已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数,且满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,当 x ? ? 0,2 ? 时, f ? x ? ? 2x ,则

f ? 7? ? (
A. 2

) B. ?2 C. ?98 D. 98

6.一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形, 俯视图 是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径,则这个几何体的体积为( A. ) D.

3 ? 12

B.

3 ? 6

C.

3 ? 4

3 ? 3

7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” .执行 该程序框图,若输入 a , b , i 的值分别为 6 , 8 , 0 ,则输出 a 和 i 的值分别为( A. 0 , 4 B. 0 , 3 C. 2 , 4 ) D. 2 ,

3

8.设函数 f ? x ? ? g ? x ? ? x ,曲线 y ? g ? x ? 在点 1, g ?1? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲
2

?

?

线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处切线的斜率为为( A. 4 9.已知 sin ? ? B. ?

?

?

) D. ?

1 4

C. 2

1 2

3 ?? ? ,且 ? ? ? , ? ? ,函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ( ? ? 0 )的图象的相邻两条 5 ?2 ?

对称轴之间的距离等于 A. ?

? ,则 2
B. ?

?? ? f ? ? 的值为( ?4?
4 5



3 5

C.

3 5

D.

4 5

10.已知 ??? C 的三个顶点 ? , ? , C 的坐标分别为 ? 0,1? , 原点,动点 ? 满足 C? ? 1,则 ?? ? ?? ? ?? 的最小值是( A. 3 ? 1 B. 11 ? 1 C. 3 ? 1

?

2, 0 , ? 0, ?2? , ? 为坐标
) D. 11 ? 1

?

11.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 ? , a 2 b2


与另一条渐近线交于点 ? ,若 F? ? 2F? ,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

12.已知三棱锥 S ? ?? C 的所有顶点都在球 ? 的球面上,??? C 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 ? 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为( A. ) D.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

2 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 5 : 4 : 3 ,现要用分层抽样的方法抽取 一个容量为 240 的样本,则所抽取的二年级学生的人数是 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 x ? 14.若实数 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ,则 的取值范围是 y ?y ? 2 ?
?



2 15.设数列 ?an ? 的各项都是正数, 且对任意 n ? ? , 都有 4Sn ? an 其中 Sn 为数列 ?an ? ? 2an ,

的前 n 项和,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ?



16.已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 ? , ? 满足 ?F ? 2F? ,则弦 ?? 中点到抛物 线准线的距离为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? 2 ,对任意 n ? ? ,都有 2Sn ? ? n ?1? an .
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)若数列 ?

? ?

? 1 4 ? ? 的前 n 项和为 ?n ,求证: ? ? n ? 1 . 2 ? an ? an ? 2 ? ? ? ?

18.(本小题满分 12 分) “冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时 内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该活动.若被邀请 者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外 3 个 人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (1)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战 的概率是多少? (2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查得 到如下列联表:

根据表中数据,能否有 90 %的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”?

n ? ad ? bc ? 附: ? ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

19.(本小题满分 12 分) 如图甲,

? 的直径 ?? ? 2 ,圆上两点 C 、 D 在直径 ?? 的两侧,使 ?C?? ?

?
4



?D?? ?

?
3

. 沿直径 ?? 折起, 使两个半圆所在的平面互相垂直 (如图乙) ,F 为 ? C 的中点,

? 为 ?? 的中点.根据图乙解答下列各题:
(1)求证: C? ? D? ; (2)在 ?D 上是否存在一点 G ,使得 FG// 平面 ?CD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不

存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 定圆 ? : x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,动圆 ? 过点 F

?

3, 0 且与圆 ? 相切,记圆心 ? 的轨迹为 ? .

?

(1)求轨迹 ? 的方程; (2)设点 ? , ? , C 在 ? 上运动, ? 与 ? 关于原点对称,且 ?C ? C? ,当 ???C 的面 积最小时,求直线 ?? 的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax2 ? a ( a ? R ) ,其导函数为 f ? ? x ? . (1)求函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? 2a ?1? x 的极值; (2)当 x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ??C? ? 90 , CD ? ?? 于点 D ,以 ? D 为直径的 (1)求证: ?C ? C? ? ?D ? D? ; (2)若 ?? ? 4 ,点 ? 在线段 ?? 上移动, ???F ? 90 , ? F 与圆 ? 相交于点 F ,求 ? F 的 最大值.

? 与 ? C 交于点 ? .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? ? x ? cos ? 2 ? 已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数) . ? y ? sin ? ?y ? 3 t ? ? 2
(1)设 l 与 C1 相交于 ? , ? 两点,求 ?? ; (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 2 2

C2 ,设点 ? 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? x ? m ? x , m ? ? ,存在实数 x 使 f ? x ? ? 2 成立.
?

(1)求实数 m 的值; (2)若 ? , ? ? 1 , f

?? ? ? f ? ? ? ? 4 ,求证:

4

?

?

1

?

? 3.

长郡中学 2016 届高三月考试卷(六) 数学(文科)参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A 9 B
2

10 A

11 C

12 A

2 10.A 【解析】由 C? ? 1及 C ? 0, ?2? 可得 ? 的轨迹方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 1 ,即

? x ? cos ? , ? ? y ? sin ? ? 2

? ?? ? ?? ? ?? ? ? 2 ? cos ? ,sin ? ? 1? , ?? ? ?? ? ?? ?
2

?

2 ? cos?

?

2

? ? sin ? ? 1?

2

? 2 ? 2 2 cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? 4 ? 2 3 cos ?? ? ? ? ? 4 ? 2 3
( cos ? ?

6 3 , sin ? ? ) ,? ?? ? ?? ? ?? ? 3 ? 1 . 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 13. 80 14. ? ,

?1

3? ? ?2 2 ?

15. 2 n

16.

9 4

【解析】令 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,其中点 D ? x0 , y0 ? , F ?1,0? ,由 ?F ? 2F? 得,

?1 ? x1 ? 2 ? x2 ? 1? ? , ? ? ? ? y1 ? 2 y2

x ?x 3 ? x2 ? x0 ? 1 2 ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? 2 2 2 ,故 ? , ?? 1 ? y1 ? 2 y2 ? 0 ? y ? y1 ? y2 ? ? y2 0 ? ? 2 2

2 ? ? y1 ? 4 x1 ,两式相减得 ? 2 ? ? y2 ? 4 x2

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? ,故 k?? ?

y1 ? y2 y 4 ? ? 2 , x1 ? x2 y1 ? y2 x2 ? 1

2 2 ? 4 ? x2 ?1? ,又 ? y2 ? ?4x2 ,? 4 ? x2 ?1? ? ?4x2 ,得 ? y2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? x2 ?1? ,即 ? y2

x2 ?

3 ? x2 5 1 9 ? , ?? 中点到抛物线准线距离 d ? x0 ? 1 ? . ,? x0 ? 2 2 4 4

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】证明: (1)因为 2Sn ? ? n ?1? an , 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? nan?1 , 两式相减,得 2an ? ? n ?1? an ? nan?1 , 即 ? n ?1? an ? nan?1 , 所以当 n ? 2 时, 所以

an an ?1 ? . n n ?1

an a1 ? . n 1

因为 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n . …………………6 分 (2)因为 an ? 2n , bn ?

4 ? , n?? , an ? an ? 2 ?

1 1 ? 0 ,所以 1 ? ?1. n ?1 n ?1 1 1 ? ? 因为 f ? n ? ? 在 ? 上是单调递减函数,所以 1 ? 在 ? 上是单调递增函数. n ?1 n ?1 1 所以当 n ? 1 时, ?n 取最小值 . 2
因为

所以

1 ? ? n ? 1 .…………………12 分 2

18.【解析】 (1)这 3 个人接受挑战分别记为 ? , ? , C ,则 ? , ? , C 分别表示这 3 个人 不接受挑战.…………………1 分 这 3 个人参与该项活动的可能结果为: ??, ?,C? , ?, ?, C , ?, ?, C , ?, ?, C ,

?

? ?

? ?

?

??, ?, C? , ??, ?, C? , ??, ?, C? , ??, ?, C? ,共有 8 种.…………………3 分
其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有:??, ?,C? , ?, ?, C , ?, ?, C , ?, ?, C , 共有 4 种.…………………5 分 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 ? ?
2

?

? ?

? ?

?

4 1 ? .…………………6 分 8 2

(2)根据 2 ? 2 列联表,得到 ? 的观测值为:

n ? ad ? bc ? 100 ? 45 ?15 ? 25 ?15 ? ? ? ? …………………8 分 60 ? 40 ? 70 ? 30 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2 2

?

25 ? 1.79 .…………………10 分 14

因为 1.79 ? 2.706 .…………………11 分 所以没有 90 %的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关” .…………………12 分 19.【解析】 (1)在 ??? D 中, 为 ?? 的中点,? D? ? ?? ,

???D ? 60 ,?? ? ?D ,? ???D 为正三角形,又

?

两个半圆所在平面 ?C ? 与平面 ?D ? 互相垂直且其交线为

?? ,? D? ? 平面 ?? C .? C? ? D? .…………………6 分
(2) 存在,G 为 ?D 的中点. 证明如下: 连接 ?G ,? F ,FG , ? ?G ? ?D , ?? 为 的直径,? ?D ? ? D ,? ?G//?D , 面 ?CD . 在 ??? C 中, ? , F 分别为 ?? , ? C 的中点,? ?F//?C ,

?

?G ? 平面 ?CD , ?D ? 平面 ?CD ,? ?G// 平

?F ? 平面 ?CD ,? ?F// 平面 ?CD ,

?G

?F ? ? ,?平面 ?FG// 平面 ?CD ,

又 FG ? 平面 ? FG ,? FG// 平面 ?CD .…………………12 分 20.【解析】 (1)因为点 F

?

3, 0 在圆 ? : x ? 3 ? y 2 ? 16 内,所以圆 ? 内切于圆

?

?

?

2

? .…………1 分
因为 ?? ? ?F ? 4 ? F? .…………………2 分

所以点 ? 的轨迹 ? 是以 ? ? 3, 0 , F

?

?

?

3, 0 为焦点的椭圆.…………………3 分

?

且 2a ? 4 , c ? 3 ,所以 b ? 1 .…………………4 分 所以轨迹 ? 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.…………………5 分 4

(2)当 ?? 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 S ???C ?

1 ? ?C ? ?? ? 2 .…………………6 分 2

当直线 ?? 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 ?? 的方程为 y ? kx ,

? x2 4 4k 2 ? ? y2 ? 1 2 2 y ? 联立方程 ? 4 ,得 x? ? , ,…………………7 分 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
所以 ?? ? x ? y ?
2 ? 2 ? 2

4 ?1 ? k 2 ? 1 ? 4k 2

.…………………8 分

由 ?C ? C? 知, ??? C 为等腰三角形, ? 为 ?? 的中点, ?C ? ?? ,

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?4 所以直线 ? C 的方程为 y ? ? x ,由 ? , k ?y ? ? 1 x ? k ?

4 ?1 ? k 2 ? 4 4k 2 2 2 解得 x ? 2 , yC ? 2 , ?C ? .…………………9 分 k ?4 k ?4 k2 ? 4
2 C

S???C ? 2S???C ? ?? ? ?C ?

4 ?1 ? k 2 ? 1 ? 4k 2

?

4 ?1 ? k 2 ? k2 ? 4

?

?1 ? 4k 2 ?? k 2 ? 4 ?

4 ?1 ? k 2 ?

.…………

………10 分

由于

?1 ? 4k 2 ?? k 2 ? 4? ?
8 , 5

?1 ? 4k ? ? ? k
2

2

? 4?

2

?

5 ?1 ? k 2 ? 2



所以 S ???C ?

2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时 ??? C 面积的最小值是

8 .…………………11 分 5

因为 2 ?

8 8 ,所以 ??? C 面积的最小值为 ,此时直线 ?? 的方程为 y ? x 或 5 5

y ? ? x .……………12 分
21.【解析】 (1)由题知 x ? 0 , f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 ,则

g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? 2a ?1? x ? ln x ? x ?1 ,g ? ? x ? ? g ? x ? 为增函数;当 x ? 1 时, g ? ? x ? ?

1? x ? 0 , g ? x ? 为减函数. x

1? x 1? x ?0, , 当 0 ? x ? 1 时,g ? ? x ? ? x x

所以当 x ? 1 时, g ? x ? 有极大值 g ?1? ? 0 , g ? x ? 无极小值.…………………5 分 (2)由题意, f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 , (I)当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 ? 0 在 x ? 1 时恒成立,则 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递 增, 所以 f ? x ? ? f ?1? ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 与已知矛盾, 故 a ? 0 不符合题意. ………………… 7分 (II)当 a ? 0 时,令 ? ? x ? ? f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ?1 ,则 ? ? ? x ? ? ①当 2a ? 1 ,即 a ?

1 1 ? 2a ,且 ? ? 0,1? . x x

1 1 时, ? ? ? x ? ? ? 2a ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上单调递减, 2 x

所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立. 则 f ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上单调递减, 所以 f ? x ? ? f ?1? ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上成立,符合题意.…………………9 分

1 ? ? ?2a ? x ? ? 1 1 1 2a ? ? ? 1 , ? ? ? x ? ? ? 2a ? ②当 0 ? 2a ? 1 ,即 0 ? a ? 时, , x x 2 2a
若 x ? ?1,

? 1 ? ? 1 ? ? ,则 ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增; ? 2a ? ? 2a ? ? 1 ? ? 1 ? , ?? ? ,则 ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递减. ? 2a ? ? 2a ? ? 1 ? ? 1 ? ? 上恒成立,即 f ? ? x ? ? 0 在 ?1, ? 上恒成立, ? 2a ? ? 2a ?

若 x ??

又 ? ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,所以 ? ? x ? ? 0 在 ?1,

所以 f ? x ? 在 ?1, 所以 0 ? a ?

? 1 ? ? 1 ? ? 上单调递增,则 f ? x ? ? f ?1? ? 0 在 ?1, ? 上恒成立, ? 2a ? ? 2a ?

1 不符合题意. 2

综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? .…………………12 分 22.【解析】 (1)在 ??C? 中, ??C? ? 90 , CD ? ?? 于点 D , 所以 CD ? ?D ? D? ,…………………2 分
2

?1 ?2

? ?

因为 CD 是圆 ? 的切线,由切割线定理得 CD ? C?? C? .…………………4 分
2

所以 C? ? C? ? ?D ? D? .…………………5 分 (2)因为 ?? ? ?F ,所以 ?F ? ?F2 ? ??2 .…………………6 分 因为线段 ? F 的长为定值,即需求解线段 ?? 长度的最小值.…………………7 分 弦中点到圆心的距离最短,此时 ? 为 ?? 的中点,点 F 与点 ? 或 ? 重合.…………………8 分 因此 ?F max ?

1 ?? ? 2 .…………………10 分 2
2 2

23.【解析】 (1) l 的普通方程为 y ? 3 ? x ? 1? , C1 的普通方程为 x ? y ? 1, 联立方程组 ?

? ? y ? 3 ? x ? 1?
2 2 ? ?x ? y ? 1

,解得交点坐标为 ? ?1,0 ? , ? ?
2

?1 3? ?2, 2 ? ?, ? ?

2 3? ? 1? ? 所以 ?? ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 1 ;…………………5 分 2 ? ? 2? ? ? ?

1 ? x ? cos ? ? ?1 ? 3 2 ? sin ? (2)曲线 C2 : ? ( ? 为参数) .设所求的点为 ? ? cos ? , ? ?2 ?, 2 ? ? ? y ? 3 sin ? ? ? 2
3 3 cos ? ? sin ? ? 3 2 2 3 ?1 3? ?? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 ? ? 4 ? 4? ? ?

则 ? 到直线 l 的距离 d ?

?

当 sin ? ? ?

? ?

??

6 ? ? ?1 时, d 取得最小值 4 4?

?

2 ? 1 .…………………10 分

?

24.【解析】 (1)因为 x ? m ? x ? ? x ? m ? ? x ? m .…………………2 分 要使不等式 x ? m ? x ? 2 有解,则 m ? 2 ,解得 ?2 ? m ? 2 .…………………4 分 因为 m ? ? ,所以 m ? 1 .…………………5 分 (2) 因为 ? , 所以 f ? ? 1, 6分 所以 则? ? ? ? 3 . ………………… ?? ? ? f ? ? ? ? 2? ?1? 2? ?1 ? 4 ,
?

4

?


?

1? 4 1 ? 1? 4? ? ? 1 ? 4? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 5 ? ? ?? ? 5? 2 ? ? ? 3 .…………………8 ? ? 3?? ? ? 3? ? ? ? 3? ? ?? ? 1

(当且仅当

4?

?

?

? ,即 ? ? 2 , ? ? 1 时等号成立)…………………9 分 ?
4

又因为 ? , ? ? 1 ,所以

?

?

1

?

? 3 恒成立.



4

?

?

1

?

? 3 .…………………10 分


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