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2015届高考数学(理)一轮总复习讲义:3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式(人教A版)

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, sin x = cos x

考纲传真

tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 正切的诱导公式.

π ±α ,π ±α 的正弦、余弦、 2

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1. (2)商数关系:tan α = 2.六组诱导公式 组数 角 一 2kπ +α π -α 2 π + 2 α 正弦 sin α - sin_α - cos_α tan_α - sin_α cos_α - tan_α sin_α - cos_α - tan_α cos_ α sin_ α cos_α - sin_α 二 三 四 五 六 sin α π (α ≠ +kπ ,k∈Z). cos α 2

(k∈Z)

π +α

-α

π -α

余弦

cos α

正切 口诀 符号看象限 符号看象限

tan α 函数名不变 函数名改变

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)sin(π +α )=-sin α 成立的条件是角 α 是锐角( )

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1 1 (2)cos(nπ -θ )= (n∈Z),则 cos θ = ( 3 3 (3)若 α ≠

) ) )



1 ?π ? (k∈Z),则 tan? +α ?=- ( 2 2 tan α ? ?

(4)若 sin α +cos α =1,那么有 sinnα +cosnα =1( 【解析】 由诱导公式,知(1)(2)不正确. ? ? ? ? ? ?

?π sin? +α kπ ?π ? ?2 当α ≠ 时,tan? +α ?= 2 ?π ?2 ? cos? +α ?2 = cos α 1 =- , (3)正确. -sin α tan α

由 sin α +cos α =1,知 α =2kπ 或 α =2kπ + ∴sinnα +cosnα =1,(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√

π (k∈Z), 2

2. (人教 A 版教材习题改编)已知 cos(α -π )=- 则 sin α =( A.- 12 13 ) B. 12 13 C. 5 12

5 , 且 α 是第四象限角, 13

D.±

12 13 5 , 13

【解析】 ∴cos α =

∵cos(α -π )=cos(π -α )=-cos α =- 5 ,又 α 是第四象限角, 13 12 . 13

∴sin α <0,则 sin α =- 1-cos2α =- 【答案】 A

3.已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< A.- π 6 B.- π 3 C. π 6 D. π 3

π ,则 θ 等于( 2

)

【解析】

由 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ )得

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-sin θ =- 3cos θ ,∴tan θ = 3,又|θ |< 【答案】 D

π π ,∴θ = . 2 3

?5π ? 1 +α ?= ,则 sin α =________. 4.(2013·广东高考改编)已知 sin? ? 2 ? 5 【解析】 1 ?5π ? +α ?=cos α = , 由 sin? 2 5 ? ? 2 6. 5

∴sin α =± 1-cos2α =± 【答案】 ± 2 6 5

5.已知 tan θ =2,则 sin2θ +sin θ cos θ -2cos2θ =________. 【解析】 = = 【 sin θ +sin θ cos θ -2cos θ
2 2

sin2θ +sin θ cos θ -2cos2θ sin2θ +cos2θ tan2θ +tan θ -2 4+2-2 4 = = . tan2θ +1 4+1 5 答 案 】 4 5

(见学生用书第 48 页)

考向 1 【例 1】 (2)已知 A. 2 5

同角三角函数关系式的应用 3 (1)已知 α 为第二象限角,sin α = ,则 sin 2α =________. 5 )

sin α +3cos α =5,则 sin2α -sin α cos α 的值是( 3cos α -sin α B.- 2 5 C.-2 D.2

【思路点拨】

(1)由平方关系,求 cos α ,进而利用二倍角公式求值.

(2)先根据已知条件求得 tan α ,再将待求式变形为分子、分母关于“弦函 数”的二次齐次求解.

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【尝试解答】

3 (1)∵α 为第二象限角且 sin α = , 5

4 ∴cos α =- 1-sin2α =- , 5 3 4 24 ∴sin 2α =2sin α ·cos α =2× ×(- )=- . 5 5 25 (2)由 sin α +3cos α tan α +3 =5,得 =5,解之得 tan α =2. 3cos α -sin α 3-tan α
2

sin2α -sin α cos α tan2α -tan α 2 所以 sin α -sin α cos α = = = . sin2α +cos2α tan2α +1 5 【答案】 (1)- 24 25 (2)A,规律方法 1 1.利用 sin2α +cos2α =1 可以实

现角 α 的正弦、余弦的互化,利用

sin α =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. cos α

2. 注意公式逆用及变形应用: 1=sin2α +cos2α , sin2α =1-cos2α , cos2α =1-sin2α . 变式训练 1 π? ? (2013·课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= 4? ?

1 ,则 sin θ +cos θ =________. 2 【解析】 π? 1 1+tan θ 1 ? ∵tan?θ + ?= ,∴ = , 4? 2 1-tan θ 2 ?

1 解得 tan θ =- . 3 ∴(sin θ +cos θ )2= sin2θ +cos2θ +2sin θ ·cos θ sin2θ +cos2θ

1 2 - +1 tan θ +2tan θ +1 9 3 2 = = = . 2 tan θ +1 1 5 +1 9
2

1 3π ∵θ 为第二象限角,tan θ =- ,∴2kπ + <θ <2kπ +π , 3 4 ∴sin θ +cos θ <0,∴sin θ +cos θ =- 10 . 5

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【答案】



10 考向 2 5

诱导公式的应用

【例 2】

π? ? ?3π ? +α ? sin?α - ?·cos? π -α 2? ? ? 2 ? 已知 f(α )= -α -π -α -π



(1)化简 f(α ); (2)若 cos(α - 【思路点拨】 3π 1 )= ,且 α 是第三象限角,求 f(α )的值. 2 5 (1)直接利用诱导公式化简约分.

(2)利用 α 在第三象限及同角三角函数关系的变形式得 f(α ). 【 α - π 2 -α -π = -cos α α -tan α 尝 试 解 答 】 π -α -α -π -tan α α =-cos α . (1)f(α ) =

3π +α 2

3π ? 1 ? ?3π ? -α ?=-sin α ,∴-sin α = ,即 sin α (2)∵cos?α - ?=cos? 2 2 5 ? ? ? ? 1 =- . 5 又 α 为第三象限角,∴cos α =- 1-sin2α =- ∴f(α )=-cos α = 2 6 .,规律方法 2 5 2 6 , 5

1.利用诱导公式应注意已知角或

函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系,选择恰当的公式,向所求角和三 角函数进行化归. 2.诱导公式的应用原则:负化正、大化小、小化锐、锐求值. 变式训 练 2 sin3 π -α ?5π -α 5cos? ? 2 【解析】
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π? ?π ? ? (2014· 郑州质检 ) 已 知 cos ? +α ? = 2sin ?α - ? ,则 2? ?2 ? ?

α +π 的值为________. ? ?7π ? -α ? ?+3sin? ? ? 2 ? + π? ?π ? ? ∵cos? +α ?=2sin?α - ?, 2? ?2 ? ?

∴-sin α =-2cos α ,则 sin α =2cos α , 1 代入 sin2α +cos2α =1,得 cos2α = . 5 sin3 π -α ?5 5cos? π -α ?2 α +π sin3α -cos α = ? ?7 ? 5sin α -3cos α ?+3sin? π -α ? ? ?2 ? +cos

8cos3α -cos α 8 1 3 = = cos2α - = . 7cos α 7 7 35 【答案】 【例 3】 3 考向 3 35 sin α ±cos α 与 sin α ·cos α 的关系

1 (2014·扬州模拟)已知-π <x<0,sin x+cos x= . 5

(1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 sin 2x+2sin2x 的值. 1-tan x (1)利用平方关系,设法沟通 sin x-cos x 与 sin x+cos x

【思路点拨】

的关系;(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角 x 的弦函数,再设法将所求式 子用已知表示出来. 【尝试解答】 1 (1)由 sin x+cos x= ,平方得 5 1 , 25

sin2x+2sin xcos x+cos2x= 整理得 2sin xcos x=- 24 . 25

∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= 由-π <x<0,知 sin x<0,

49 . 25

又 sin x+cos x>0,∴cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=- . 5 (2) sin 2x+2sin2x 2sin x = 1-tan x

x+sin x sin x 1- cos x

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2sin xcos x x+sin x cos x-sin x - 24 1 × 25 5 24 =- .,规律方法 3 7 175 5



1.第(1)问应注意 x 的范围对 sin x-cos x

的符号的影响.事实上根据条件可进一步判定 x∈(-

π ,0). 2

2.(1)对于 sin α +cos α ,sin α -cos α ,sin α cos α 这三个式子, 知一可求二,转化公式为 (sin α ±cos α )2=1±2sin α cos α ,体现了方程 思想的应用;(2)关于 sin α ,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 变式训练 3 则 tan α =( A.-1 (1)已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ), ) B.- 2 2 C. 2 2 D.1

2 (2)(2013·青岛评估)若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A 3 =________. 【解析】 (1)∵sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),

∴1-2sin α cos α =2,则 sin 2α =-1. 3 3 因此 2α = π ,则 tan α =tan π =-1. 2 4 2 (2)在△ABC 中,sin 2A=2sin Acos A= >0. 3 π? ? ∴A∈?0, ?,则 sin A+cos A>0. 2? ? 5 又(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A= , 3 故 sin A+cos A= 【答案】 (1)A 15 . 3 15 3

(2)

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一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 两个防范 1.利用诱导公式进行化简求值时,要注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要注意判断三角函数值的 符号. 三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = sin α 进行弦、切互化. cos α

(2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ )2=1±2sin θ cos θ 的关系进行变 形、转化. (3) 巧 用 “1” 的 变 换 : 1 = sin2θ 等 + cos2θ = tan π 4 .

(见学生用书第 50 页)

从近两年高考试题看, 同角三角函数关系与诱导公式的考查以化简、求值为 主,题型为选择、填空题的形式,试题不超过中等难度;并注重与倍角、两角和、 两角差等公式渗透, 考查基本运算和转化思想,求解时常见错误是忽视三角函数 值符号的判断. 易错辨析之三 忽视三角函数值符号的判断致误 3 , 3

(2012·大纲全国卷)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = 则 cos 2α =( A.- 5 3 ) B.- 5 9 C. 5 9 D. 5 3

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【错解】

∵sin α +cos α =

3 1 2 ,∴(sin α +cos α ) = , 3 3

2 2 ∴2sin α cos α =- ,即 sin 2α =- . 3 3 又∵α 为第二象限角,∴2kπ + π <α <2kπ +π (k∈Z). 2

∴4kπ +π <2α <4kπ +2π (k∈Z). ∴cos 2α = 1-sin22α = 【答案】 D 5 . 3

错因分析:(1)忽视隐含条件 sin α +cos α = (2)忽视三角函数值符号的判断. 防范措施:(1)由 sin α +cos α =

3 >0 这一隐含条件. 3

3 ,隐含着 sin α +cos α >0,即 sin 3

α >-cos α ,结合 α 为第二象限角可进一步约束角 α 的范围. (2)利用平方关系求三角函数值,开方时应注意三角函数值符号的判断. 【正解】 ∵sin α +cos α = 3 1 ,∴(sin α +cos α )2= , 3 3

2 2 ∴2sin α cos α =- ,即 sin 2α =- . 3 3 又∵α 为第二象限角且 sin α +cos α = ∴2kπ + π 3 <α <2kπ + π (k∈Z), 2 4 3 >0, 3

3 ∴4kπ +π <2α <4kπ + π (k∈Z), 2 ∴2α 为第三象限角, ∴cos 2α =- 1-sin22α =- 【答案】 A 5 . 3

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1.(2013·大纲全国卷改编)已知 α 是第二象限角,sin α = 的值是( A. 5 12 ) B.- 5 12 C. 12 5 D.- 12 5

5 ,则 tan α 13

【解析】

∵sin α =

5 ,且 α 是第二象限角, 13 12 sin α 5 ,则 tan α = =- . 13 cos α 12

∴cos α =- 1-sin2α =- 【答案】 B

2.(2013·浙江高考改编)已知 sin α +2cos α = =________. 【解析】 由 sin α +2cos α = 10 ,平方得 2

10 (α ∈R),则 tan 2α 2

5 sin2α +4sin α cos α +4cos2α = , 2 整理,3sin2α -8sin α cos α -3cos2α =0, 1 ∴3tan2α -8tan α -3=0,则 tan α =3 或 tan α =- . 3 代入 tan 2α = 【答案】 - 3 4 2tan α 3 ,得 tan 2α =- . 2 1-tan α 4

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