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2.3等差数列的前n项和(2)


实验中学高一数学文科学案

2.3 等差数列的前 n 项和(2)
编写者:劳钰婷 彭诗敏 审核:邱育明 教学目标 1. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 2. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 S n 的最大(小)值. 教学过程 复习导入

1 2 变式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

1.等差数列的前 n 项和公式 1:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2

公式 2:

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2
探究:对等差数列的前 n 项和公式 2:

练习 1、等差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3,求 S 5 .

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2 可化成式子:

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式,那么它有何作用呢?

2、等差数列{ an }中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 11 ,求

和 S8 .

2 4 例 2 已知等差数列 5, 4 , 3 ,....的前 n 项和为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值. 7 7

二、新课导学
1 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n , 求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如 2 果是,它的首项与公差分别是什么?

变式:等差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值.

问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么 这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

? S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时 an ? ? ? S n ? S n ?1 ? 2 pn ? ( p ? q ), 当n ? 2 时 结论:通项公式是
1

实验中学高一数学文科学案

课后作业:
小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1)利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值,可由 an ≥0,且 an ?1 ≤0,求得n的值;当 an <0, d>0,前n项和有最小值,可由 an ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n的值 d d (2)利用 S n :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2 练 1. 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求数列的通项 an .
王新敞
奎屯 新疆

1. 下列数列是等差数列的是( ). A. an ? n2 B. Sn ? 2n ? 1 C. Sn ? 2n 2 ? 1 D. Sn ? 2n2 ? n ) ). 2. 设 {an } 为等差数列,公差为 d ? ?2 , S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 ? ( A. 18 B. 20 C.22 D.24 3. 等差数列{ an }的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为(

A. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 等差数列中 {an } 中,已知 a5 ? 0, a4 ? a7 ? 0, 则 {an } 的前 n 项和 S n 的最大值为( ) A. S 7 B. S 6 C. S 5 D. S 4 . 5. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 1 6. 在等差数列中,公差 d= , S100 ? 145 , 2 则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? . 练 2. 在等差数列{ an }中, a1 =25, s17 = s9 ,求 S n 的最大值.

7. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的值.

※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数 2n,则
S偶-S奇=nd ;

S奇 a = n (n ? 2) ; S偶 an ?1

2°若项数为奇数 2n+1,则 S奇-S偶=an ?1 ; S偶 ? nan ?1 ; S奇=(n ? 1)an?1 ;
S偶 = n . S奇 n ? 1

2


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