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重庆市巴蜀中学2016届高三上学期第三次月考数学(理)试卷


重庆市巴蜀中学高 2016 届高三(上)第三次月考 数学试题卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求 (1)在复平面内,复数 z ? A、第一象限

i?2 的对应点位于( ) i B、第二象限 C、第三象限

D、第四象限 )

? ? ?? ? ? ? (2)设非零向量 a 与 b 的夹角为 ? ,则 ? ? ? , ? ? 是 a ? b ? 0 的( ?2 ?
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件

D、既不充分又不必要条件 )

(3)设集合 A, B 分别是函数 y ? log 3 9 ? x 2 的定义域和值域,则 A ? B ? ( A、 ? ?3, 2 ? ( 4 )若双曲线 ( A、 ) B、 ? ?3, 2? C、 ? 0, 2? D、 ? 0, 2 ?

?

?

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a, b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的离心率为 2 a b 3

3 2 3 6 B、 C 、2 D、 3 3 2 (5)高三某 6 个班级从“照母山”等 6 个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动,其中 1 班、2 班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种( )
4 A、 C52 A4

B、 C52 64

4 C、 A52 A4

D、 A52 64

?y ?1 ? (6)已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? y ?1 ? 0 ?



5 7 D、 2 2 (7)当 m ? 7 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A、7 B、42 C、210 D、840
A、1 B、3 C、 (8)已知 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 4 x ,则 f ? x ? 的单调增区间为(

开始
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输入 m 的值
名- 校—资. 源~库 编辑

重· 庆※



k=m, S=1
~库编 辑

重· 庆※名- 校—资. 源

? ? ? ? A、 ? ? ? k ? , ? k ? ? ? k ? Z ? 4 ? 4 ?
k? k? ? , ? ?k ? Z ? C、 ? ? ? ? 4 2 2 ? ? ?

3? ?? ? ? k? ? ? k ? Z ? B、 ? ? k ? , 4 ?4 ? ? k? ? k? ? , ? D、 ? ? ?k ? Z ? ? 2 4 2 ?

k=k﹣1 k<5? 是 输出 S
※名- 校—资 .源~ 库编辑 重· 庆



S=S· k

结束
重· 庆※名- 校 —资.源 ~库编 辑

1

(9) 定义行列式运算:

a1 a3

a2 3 cos 2 x 函数 f ? x ? ? , 则要得到函数 f ? x ? ? a1a4 ? a2 a3 , a4 1 sin 2 x
) B、向左平移 D、向右平移

的图像,只需将 y ? 2cos 2 x 的图像(

2? 个单位 3 2? C、向右平移 个单位 3
A、向左平移

?
3

个单位 个单位

?
3

??? ? ??? ? ( 10 )由点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 2 引两条切线 PA, PB , A, B 是切点,则 PA ? PB 的最小值是
( ) B、 3 ? 2 2 C、 2 2 ? 3 D、 4 2 ? 6

A、 6 ? 4 2

2 ? ? x ? 2 ? x ? 0? ( 11 ) 设 f ? x ? ? ? , g ? x ? ? kx ? 1? x ? R ? , 若 函 数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? ?4 x cos ? x ? 1? x ? 0 ?

x ? ? ?2,3? 内有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是(



11 ? ? A、 ? 2 2, ? 3? ?

11 ? ? B、 ? 2 2, ? 3? ?

C、 2 3, 4

?

?

D、 2 3, 4 ? ?

?

(12)已知 y ? f ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的可导函数,满足 ? x ? 1? ? ? 2 f ? x ? ? sf ' ? x ? ? ? ? 0 ? x ? 1? 恒成 立, f ?1? ? 2 ,若曲线 f ? x ? 在点 ?1, 2 ? 处的切线为 y ? g ? x ? ,且 g ? a ? ? 2016 ,则 a 等于 ( ) A、 ?500.5 B、 ?501.5 C、 ?502.5 D、 ?503.5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 ? ? ? ? ? ? (13)已知向量 a ? ? 4, ?2 ? , b ? ? x,1? ,若 a // b ,则 a ? b ?

1 ? ? (14) ? 2 x ? ? 的展开式中常数项为 2 x? ?
(15)设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , A, B 两点在抛物线上,且 A, B, F 三点共线,过 AB 的 中点 M 作 y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点 P ,若 PF ?

6

3 ,则 M 点的横坐标为 2

??? ? ??? ? 6S (16) ?ABC 的面积为 S , BA ? BC ? ,则 sin 2 A ? sin 2 C 的取值范围是 7
三、解答题:第(17)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第( 22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求作答
2

(17) (本小题满分 12 分)

?? 3 ? 已知函数 f ? x ? ? cos x sin ? x ? ? ? 3 cos 2 x ? ? 1? x ? R ? 3? 4 ?
(1)求 f ? x ? 的最小正周期;

? ? ?? (2)求 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值,并分别写出相应的 x 的值。 ? 4 4?

(18) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 (1)求 A 的值; (2)若 B ?

2b ? 3c 3a

?

cos C 。 cos A

?
6

, BC 边上的中线 AM ? 2 21 ,求 ?ABC 的面积。

(19) (本小题满分 12 分) 某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如 下表: 日销售量 天数 频率 1 10 0.2 1.5 25 a 2 15

b

若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立。 (1)求 5 天中该种商品恰好有两天的销售量为 1.5 吨的概率; (2)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, X 表示该种商品某两天销售利润的和(单位: 千元) ,求 X 的分布列和数学期望。

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短轴长为半径的 2 2 a b

圆与直线 7 x ? 5 y ? 12 ? 0 相切。 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设 A ? ?4,0 ? , 过点 R ? 3,0 ? 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点, 连接 AP, AQ

16 于 M , N 两点,若直线 MR 、 NR 的斜率分别为 k1 、 k2 ,试问: k1k2 是否 3 为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由。
分别交直线 x ?

3

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? a x 2 ? 3x ? 2 ,其中 a ? R 。 (1)讨论 f ? x ? 极值点的个数;

?

?

1 (2)设 a ? ? ,函数 g ? x ? ? 2 f ? x ? ? ? ? ? 3? x ? 2 ,若 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 满足 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 且 2
x1 ? x2 ? 2 x0 ,证明: g ' ? x0 ? ? 0 。

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一个题目 计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 是 ? O 的直径, AC 切 ? O 于点 A, AC ? AB, CO交 ? O 于点 P, CO 的延长线 交 ? O 于点 F , BP 的延长线交 AC 于点 E 。 B
重· 庆 ※ 名- 校

AP FA (1)求证: ; ? PC AB (2)若 ? O 的直径 AB ? 1 ,求 tan ?CPE 的值。

F
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—资. 源~ 库编



O
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P
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A (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
辑 重· 庆 ※ 名- 校 —资. 源~ 库编

E
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C
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在以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1 的极坐标方程为
辑 辑



正三角形 ABC 的顶点都在 C1 上, 且 A, B, C 依逆时针次序排列, 点 A 的坐标为 ? 2,0 ? 。 ? ? 2, (1)求点 B, C 的直角坐标; (2)设 P 是圆 C2 : x 2 ? y ? 3

?

?

2

? 1 上的任意一点,求 PB ? PC 的取值范围。

2

2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 。 (1)当 a ? ?4 时,求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若 f ? x ? ? x ? 3 的解集包含 ? 0,1? ,求实数 a 的取值范围。

4

重庆市巴蜀中学 2016 届高三上第三次月考理科数学答案
一、选择题 AABBD 二、填空题 13. 5 三、解答题 17.解: (1) f ( x) ? cos x sin( x ? BCDDD 14. ?20 CC 15. 2

7 7 16. ( , ] 16 4
3 4

?
3

) ? 3 cos 2 x ?

1 3 3 = cos x( sin x ? cos x) ? 3 cos 2 x ? ?1 2 2 4 1 3 3 = sin x cos x ? cos 2 x ? ?1 2 2 4 1 3 1 ? cos 2 x 3 = sin 2 x ? ? ? ?1 4 2 2 4 1 3 = sin 2 x ? cos 2 x ? 1 4 4 1 ? = sin(2 x ? ) ? 1 2 3 2? 所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? ?? . 2

? ? 5? ? ? ? ? ?? , (2)∵ x ? ? ? , ? ,∴ 2 x ? ? ? ? , 3 ? 6 6? ? 4 4? ?
当 2x ? 当 2x ?

?

?
3

3

?

?
6

,即 x ?

?
4

时, f ( x) max ?

??

?
2

,即 x ? ?

?
12

1 1 3 ? ?1 ? ? ; 2 2 4

时, f ( x) min ?

1 3 ? (?1) ? 1 ? ? . 2 2

18.解: (1)因为 (2b ? 3c) cos A ? 3a cos C ,由正弦定理得

(2sin B ? 3 sin C ) cos A ? 3 sin A cos C ,
即 2sin B cos A ? 3(sin A cos C ? cos A sin C ) ? 3 sin( A ? C ) , 因为 B ? ? ? A ? C ,所以 sin B ? sin( A ? C ) ,所以 2sin B cos A ? 3 sin B , 因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 ,所以 cos A ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? (2)由(1)知 A ? B ?

?
6

3 , 2



?
6

,所以 AC ? BC , C ?

2? ,设 CM ? x ,则 AC ? 2 x , 3

在△ ACM 中,由余弦定理可得 x ? 2 3 ,
5

所以 S ?ABC ?

1 2? ? 2 x ? 2 x ? sin ? 12 3 . 2 3

25 15 ? 0.5 , b ? ? 0.3 , 50 50 依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 , 设 5 天中该种商品有 Y 天的销售量为 1.5 吨,而 Y ~ B (5,0.5) ,
19.解: (1) a ?

5 ? 0.3125 . 16 (2) X 的可能取值为 4,5,6,7,8,
所以 P (Y ? 2) ? C52 ? 0.52 ? (1 ? 0.5)3 ?

P ( X ? 4) ? 0.22 ? 0.04 , P( X ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 , P( X ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37 , P( X ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 , P ( X ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,
所以 X 的分布列为 4 5 6 7 8 X 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 P X 的数学期望 E ( X ) ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 (千元)

?c 1 ?a ? 2 , ?a ? 4, ? ? x2 y 2 ? 12 ? b, 解得 ?b ? 2 3, 故椭圆 C 的方程为 20.解: (1)由题意得 ? ? ? 1. 16 12 ? 7?5 ?c ? 2, ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? ?
? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,直线 PQ 的方程为 x ? my ? 3 ,由 ?16 12 ? x ? my ? 3, ?
得 (3m ? 4) y ? 18my ? 21 ? 0 .
2 2

∴ y1 ? y2 ?

?18m ?21 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4
yM y 28 y ? 1 ,所以 yM ? ? 1 ; 16 x1 ? 4 3 x1 ? 4 3

由 A , P , M 三点共线可知,

同理可得 y N ? 所以 k1k2 ?

28 y2 ? 3 x2 ? 4

y 9y y yM 16 y1 y2 ? N ? M N ? . 16 16 49 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ?3 ?3 3 3
2

因为 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( my1 ? 7)( my2 ? 7) ? m y1 y2 ? 7 m( y1 ? y2 ) ? 49 ,

6

16 y1 y2 ? 所以 k1k2 ? 2 m y1 y2 ? 7 m( y1 ? y2 ) ? 49 m 2 ?

?21 12 3m 2 ? 4 ?? . ?21 ?18 7 ? 7m ? 2 ? 49 2 3m ? 4 3m ? 4 16 ?
1 ax(2 x ? 3) ? 1 . ? a (2 x ? 3) ? x x

21.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ? 令 g ( x) ? ax(2 x ? 3) ? 1 .

①当 a ? 0 时,? ( x) ? 1 , f ( x) ? ln x ,所以,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,无极值;

3 3 ②当 a ? 0 时, ? ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减, 4 4
且 ? (0) ? 1 ? 0 ,所以,? ( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点,从而函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有唯一 极值点;

3 9 8 ③当 a ? 0 时,若 ? ( ) ? 1 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 时,则 ? ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 4 8 9
从而 f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值;

3 9 8 若 ? ( ) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? ,由于 ? (0) ? 1 ? 0 , 4 8 9
则 ? ( x) 在 (0, ??) 上有两个零点,从而函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有两个极值点. 综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有唯一极值点; 当0? a ? 当a ?

8 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上无极值点; 9

8 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有两个极值点. 9
2

(2) g ( x) ? 2 ln x ? x ? ? x , g ( x) ?

2 ? 2x ? ? . x

? ?2ln x ? x 2 ? ? x ? 2ln x ? x 2 ? ? x , ……① 1 1 1 2 2 2 ? ? 假设结论不成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ,………………………………② ?2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0……………………………③ ? ? x0

x1 x x2 由①,得 2ln 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ,∴ ? ? 2 ? 2 x0 , x2 x1 ? x2 ln

7

x x1 x 2 1 ?2 ln 1 x x2 x2 x2 2 1 2 由③,得 ? ? ,即 ln 1 ? .④ ? 2 x0 ,∴ ? ,即 ? x1 x2 x0 x1 ? x2 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 ?1 x2

ln

令t ?

x1 2t ? 2 (t ? 1) 2 ,不妨设 x1 ? x2 , u (t ) ? ln t ? (0 ? t ?1) ,则 u '(t ) ? ?0, x2 t ?1 t (t ? 1) 2

∴ u (t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, u (t ) ? u (1) ? 0 , ∴④式不成立,与假设矛盾. ∴ g '( x0 ) ? 0 . 22.解: (1)∵ AC 为 ? O 的切线, PA 是弦,∴ ?PAC ? ?F , ∵ ?C ? ?C ,∴△ APC ? ?FAC , ∴

AP PC , ? FA AC AP FA . ? PC AB
2

∵ AB ? AC ,∴

(2)∵ AC 切 ? O 于点 A , CPF 为 ? O 的割线,则有 AC ? CP ? CF ? CP (CP ? PF ) , ∵ PF ? AB ? AC ? 1 ,∴ PC ? ∵ FA / / BE ,∴ ?CPE ? ?F ,

5 ?1 . 2

∵ FP 为 ? O 的直径,∴∠ FAP ? 90? ,由(1)中证得 在 Rt ?FAP 中, tan ?F ?

AP PC , ? FA AC

5 ?1 . 2

23 . 解 : ( 1 ) B 点 的 坐 标 为 (2 cos120?, 2sin120?) , 即 B (?1, 3) ; C 点 的 坐 标 为

(2 cos 240?, 2sin 240?) ,即 C (?1, ? 3) .
(2)由圆的参数方程,可设点 P (cos ? , ? 3 ? sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , 于是 | PB |2 ? | PC |2 ? (cos ? ? 1) 2 ? (sin ? ? 2 3) 2 ? (cos ? ? 1) 2 ? sin 2 ?

? 16 ? 4cos ? ? 4 3 sin ? ? 16 ? 8cos(? ?
∴ | PB | ? | PC | 的范围是 ?8, 24? .
2 2

?
3

),

24.解: (1)当 a ? ?4 时, f ( x) ? 6 ,即 | x ? 4 | ? | x ? 2 |? 6 , 即?

? x ? 2, ?2 ? x ? 4, ? x ? 4, 或? 或? ?4 ? x ? 2 ? x ? 6 ?4 ? x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 4 ? x ? 2 ? 6,
8

解得 x ? 0 或 x ? 6 . 所以解集为 (??, 0] ? [6, ??) . (2) 原命题等价于 f ( x) ?| x ? 3 | 在 ? 0,1? 上恒成立, 即 | x ? a | ?2 ? x ? 3 ? x 在 ?1, 2? 上恒成 立,即 ?1 ? x ? a ? 1 ? x 在 ?1, 2? 上恒成立,即 ?1 ? a ? 0 .

9


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