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2012年第一学期高三年级第四次模拟考试数学试卷


2012 年第一学期高三年级第四次模拟考试数学试卷(理)
[注意:本试卷共有 23 小题,满分 150 分,时间 120 分钟] 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设 a ? (2, 4), b ? (1,1) ,若 b ? (a ? m ? b) ,则实数 m =_________. 2.已知 x, y ? R , i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? ?1 ? i ,则 x ? y =__________. 3.已知向量 a ? (2,3), b ? (?4,7) ,则向量 b 在向量 a 的方向上的投影为_________. 4.设 a, b 为二个非零向量,且 a ? b ? 2 , a ? b ? 2 ,则 a ? b 的最大值是 5.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (?2) ? _________.

?

?

?

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?

?

?

?

?

5? ) 的值域是________. 12 12 ??? 1 ???? 2 ??? ? ? 7.已知 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AP ? AC ? AB ,则 ?APB 的面积与 5 5 ?APC 的面积之比为__________.
6.函数 f ( x) ? cos( x ?

?

) cos( x ?

8. 设数列 {an } 是等差数列, a3 和 a2010 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根, ?an ? 的前 2012 若 则
2

项的和 S2012 ? _________. 9. 已知向量 a ? (1,0) ,b ? (0,1) , 向量 c 满足 (c ? a) ? (c ? b) ? 0 , c 的最大值是______. 则 10.已知奇函数 f ( x ) 在 (??, 0) 为减函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 0 的 解集为___________.
? 11.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 3an an ?1 ? an ? an ?1 ? 0 n ? 2, n ? N ,则 a10 ? ________.

?

?

? ?

? ?

?

?

?

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 则 ?ABC 的面积等于__________. 13.已知 f ( x) ? 10
lg x

2 ??? ??? ? ? a2 ? ?b ? c ? ? ?1,且 AC ? AB ? ?4 , bc

,若方程 f ( x) ? b ( b 是实常数)有两个不同的实数根 x1、x2 ,则

2x1 ? x2 的最小值是________. ? ? ? ? ? ? ? 14.设 A 是平面向量的集合, a 是定向量,对 x ? A ,定义 f ( x ) ? x ? 2(a ? x ) ? a .现给出
如下四个向量: ① a ? (0,0) ,② a ? (

?

?

? ? 2 2 2 2 1 3 , ) ,③ a ? ( , ) ,④ a ? (? , ) . 2 4 2 2 2 2
1

那么对于任意 x 、 y ? A ,使 f ( x ) ? f ( y) ? x ? y 恒成立的向量 a 的序号是_____(写出 满足条件的所有向量 a 的序号) . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数

?

?

?

?

? ?

?

?

? C.最小正周期为 的奇函数 2
16.已知 O 是 ?ABC 所在平面上的一点,且满足

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的偶函数 2

??? ? OA ?

??? ??? ? ? ???? ??? ? ? sin A sin B (OB ? OA) ? (OC ? OA) ? 0 ,则点 O 在 sin A ? sin B sin B ? sin A
(B) BC 边上 (C) AC 边上 (D) ?ABC 内心

(A) AB 边上

17.若 M 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 MB ? MC ? MB ? MC ? 2MA ? 0 ,则

?

??

?

?ABC 的形状为
(A) 正三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D) 等腰直角三角形 18.如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 、D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上(含 原点)上滑动,则 OB ? OC 的最大值是 (A) 2 (B)

y

C
D

??? ??? ? ?

2

(C) 1

(D)

2 2

B x A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知坐标平面上三点 A(2,0) , B(0,2) , C (cos? , sin ? ) . (1) 若 (OA ? OC)2 ? 7 ( O 为坐标原点),求向量 OB 与 OC 夹角的大小; (2) 若 AC ? BC ,当 0 ? ? ? ? 时,求 tan ? 的值.

O

??? ??? ? ?

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

?1 , x ? 0 sgn ? x ? ? x 定义: sgn ? x ? ? ? 0 , x ? 0 ,若已知函数 f ( x) ? a ? ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 a | x| ??1 , x ? 0 ?
f ?1? ? 3 . 2

(1) 解不等式: f ? x ? ? 2 ; (2) 若 f (2t ) ? mf (t ) ? 4 ? 0 对于任意正实数 t 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,设 A 、 B 是单位圆 O 上的动点,且 A 、 B 分别在第一、二象限. C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,△ AOB 为等边三角形.记以 Ox 轴正半轴为始边,射线 OA 为终边的角 为? . y 2

sin ? ? sin 2? 4? 的值; ? ,求 5? cos2 ? ? cos 2? (2) 设 f (? ) ?| BC | 2 ,求函数 f (? ) 的解析式和值域.
(1) 若点 A 的坐标为 ?

?3 , ?5

A B O C x

22.(本题满分 16 分)本大题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2an ? Sn ? 1, n ? N *. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 在数列 {an } 的第两项之间都按照如下规则插入一些数后,构成新数列 {bn } ;

an和an?1 两项之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数构成等差数列,求 b2012 的值。
(3) 对于(2)中的数列 {bn } ,若 bm ? an ,并求 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm . (用 n 表示)

23.(本题满分 18 分)本大题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 如图,在 y 轴的正半轴上依次有点 A、A2、 、An、 ,其中点 A (0, 1) 、 A2 (0, 10) , ? ? 1 1 且 | An?1 An |? 3 | An An?1 | (n ? 2,3,4,?) , 在 射 线 y ? x( x ? 0) 上 依 次 有 点 ,且 B1、B2、 、Bn、 ,点 B1 的坐标为(3,3) | OBn |?| OBn?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4,?) . ? ? (1) 求 | An An?1 | (用含 n 的式子表示) ; (2) 求点 An 、 Bn 的坐标(用含 n 的式子表示) ; y An+1 An (3) 设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 面积为 Sn ,问 {Sn } 中是否存在不

同的三项恰好成等差数列?若存在,求出所有这样的三项,若不存 在,请说明理由.

A2 Bn B2 A1 O B1

Bn+1

x

3


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