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【数学】第三章《三角恒等变换》单元测试题(新人教版必修4)


三角恒等变换
一、选择题 1.设 a =

1 3 2 tan13o 1 ? cos 50o cos 6o ? sin 6o , b = ,c = , 则有( 2 2 1 + tan 2 13o 2
B. a < b < c C. a < c < b ) D. b < c < a



A. a > b > c

1 ? tan 2 2 x 2.函数 y = 的最小正周期是( 1 + tan 2 2 x
A.

π 4
o

B.

π 2
o

C. π
o

D. 2π
o

3. sin163 sin 223 + sin 253 sin 313 = ( A. ?



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

4.已知 sin(

3 ? x) = , 则 sin 2 x 的值为( ) 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25 1 5.若 α ∈ (0, π ) ,且 cos α + sin α = ? ,则 cos 2α = ( 3
A.
17 9

π

)

B. ±

17 9

C. ?

17 9

D.

17 3

6.函数 y = sin 4 x + cos 2 x 的最小正周期为( A.



π
4

B.

π
2

C. π

D. 2π

二、填空题 1.已知在 ?ABC 中, 3sin A + 4 cos B = 6, 4sin B + 3cos A = 1, 则角 C 的大小为 .

2.计算:

sin 65 o + sin 15 o sin 10 o 的值为_______. sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

2x 2x π + cos( + ) 的图象中相邻两对称轴的距离是 . 3 3 6 1 4.函数 f ( x ) = cos x ? cos 2 x ( x ∈ R ) 的最大值等于 . 2 π 5.已知 f ( x ) = A sin(ωx + ? ) 在同一个周期内,当 x = 时, f ( x ) 取得最大值为 2 ,当 3
3.函数 y = sin

x = 0 时, f ( x) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f ( x) 的一个表达式为______________.

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三、解答题 1. 求值: (1) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; (2) sin 20 + cos 50 + sin 20 cos 50 。
2 0 2 0 0 0 0 0 0 0

2.已知 A + B =

π
4

,求证: (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2

3.求值: log 2 cos

π
9

+ log 2 cos

2π 4π + log 2 cos 。 9 9

4.已知函数 f ( x) = a (cos 2 x + sin x cos x) + b (1)当 a > 0 时,求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 a < 0 且 x ∈ [0,

π
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a, b 的值.

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参考答案
一、选择题 1.C

a = sin 300 cos 6o ? cos 300 sin 6o = sin 240 , b = sin 260 , c = sin 250 , y= 1 ? tan 2 2 x 2π π = cos 4 x, T = = 2 1 + tan 2 x 4 2

2.B

3.B 4.D

sin17 o (? sin 43o ) + (? sin 73o )(? sin 47o ) = cos17o cos 43o ? sin17o sin 43o = cos 600

π π π 7 sin 2 x = cos( ? 2 x) = cos 2( ? x) = 1 ? 2sin 2 ( ? x) = 2 4 4 25 1 4 5.A (cos α + sin α ) 2 = ,sin α cos α = ? ,而 sin α > 0, cos α < 0 9 9
cos α ? sin α = ? (cos α + sin α ) 2 ? 4 sin α cos α = ? 17 3

1 17 cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = (cos α + sin α )(cos α ? sin α ) = ? × (? ) 3 3
6.B

1 3 y = (sin 2 x)2 + cos 2 x = (sin 2 x)2 ? sin 2 x + 1 = (sin 2 x ? ) 2 + 2 4 1 3 1 3 = cos 2 2 x + = (1 + cos 4 x) + 4 4 8 4

二、填空题 1.

π
6

(3sin A + 4 cos B ) 2 + (4sin B + 3cos A) 2 = 37, 25 + 24 sin( A + B ) = 37 1 1 π sin( A + B ) = ,sin C = ,事实上 A 为钝角,∴ C = 2 2 6

2. 2 + 3

sin(800 ? 150 ) + sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 = = = 2+ 3 sin(150 + 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150
y = sin

2x 2x π 2x π 2x π 2x π + cos cos ? sin sin = cos cos + sin sin 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2x π 2π = cos( ? ), T = = 3π ,相邻两对称轴的距离是周期的一半 2 3 6 3 3 1 1 3 4. f ( x) = ? cos 2 x + cos x + , 当 cos x = 时, f ( x) max = 4 2 2 4 π T π 2π 2π π 5. f ( x ) = 2 sin(3 x ? ) A = 2, = , T = = , ω = 3,sin ? = ?1, 可取? = ? ω 2 2 3 3 2
3. 三、解答题

3π 2

第 3 页 共 4 页

1.解: (1)原式 = sin 6 cos12 cos 24 cos 48 =
0 0 0 0

sin 60 cos 60 cos120 cos 240 cos 480 cos 60

1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 =2 =4 cos 60 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 =8 = 16 = 16 = 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16 1 ? cos 400 1 + cos1000 1 (2)原式 = + + (sin 700 ? sin 300 ) 2 2 2
1 1 1 = 1 + (cos1000 ? cos 400 ) + sin 700 ? 2 2 4 3 1 3 = ? sin 700 sin 300 + sin 700 = 4 2 4 π tan A + tan B 2.证明:Q A + B = ,∴ tan( A + B ) = = 1, 4 1 ? tan A tan B
得 tan A + tan B = 1 ? tan A tan B,

1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ∴ (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2

3.解: cos

π
9

cos

2π 4π cos = 9 9

sin

π
9

cos

π

2π 4π cos 9 9 9 =1 π 8 sin 9 cos

4.解: f ( x ) = a ? (1) 2kπ ?

1 + cos 2 x 1 2a π a + a ? sin 2 x + b = sin(2 x + ) + + b 2 2 2 4 2

π

2 4 2 3π π [ kπ ? , kπ + ], k ∈ Z 为所求 8 8

≤ 2x +

π

≤ 2 kπ +

π

, kπ ?

3π π ≤ x ≤ kπ + , 8 8

(2) 0 ≤ x ≤

π π
2 4 ,

≤ 2x +

π
4



5π 2 π ,? ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 , 4 2 4

f ( x) min =

1+ 2 a + b = 3, f ( x) max = b = 4, 2

∴ a = 2 ? 2 2, b = 4

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