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数列的综合应用


09 届数学专题复习 --数列的综合应用 --数列的综合应用
一、高考要求 高考对数列的考查比较全面,重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、 等差(比)中项及等差和等比性质的灵活运用;在能力要求上,主要考查学生的运算能力, 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力, 其中考查思维能力是支柱, 运算能力是主体, 应用是归宿. 二、两点解读 重点:等差和等比数列基本概念和公式的应用; 难点:由递推公式求通项以及数列与不等式等知识的综合问题. 三、课前训练 1.如果等比数列{an}的首项为正数,公比大于 1,那么数列 ?log 1 a n ?
? ?
3

? ?

? ? ? ?

(

)

(A)是递增的等比数列 (C)是递增的等差数列

(B)是递减的等比数列 (D)是递减的等差数列
1 3

2. 在△ABC 中, tanA 是以 ? 4 为第三项, 为第七项的等差数列的公差, 4 tanB 是以 为 第三项 9 为第六项的等比数列的公比则这个三角形是 ( ) (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)非等腰直角三角形 3.若数列 {a n } 满足: a1 = 1, a n +1 = 2a n .n ∈ n * ,则 a1 + a 2 + ? + a n = .

4. 《莱因德纸草书》 ( Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一. 书中有一 道这样的题目: 把 100 个面包分给 5 个人, 使每个所得成等差数列, 且使最大的三份之和的
1 是较小的两份之和, 则最小 1 份的量为 7



四、典型例题 例 1 在各项均不为零的等差数列 {a n } 中,若 a n +1 ? a n 2 + a n ?1 = 0(n ≥ 2) ,则 S 2 n ?1 ? 4n = ( ) (A) ?2 (B) 0 (C) 1 (D) 2

例 2 已知 f ( x ) 为偶函数,且 f (2 + x ) = f (2 ? x ) ,当 ?2 ≤ x ≤ 0 时 f ( x) = 2 x ,若 n∈N*, an = f ( n) ,则 a 2007 = ( (A)2006 ) (C)4 (D)

(B)-2006

1 4

例 3 定义一个“等积数列” :在一个数列中,如果每一项与它后一项的积都是同一常 数,那么这个数列叫“等积数列” ,这个常数叫做这个数列的公积.

已知数列 {a n } 是等积数列,且 a1 = 2 ,公积为 5,则这个数列的前 n 项和 S n 的计算公式 为: .

例 4 将正奇数按如下规律填在 5 列的数表中:则 2007 排 在该表的第 行,第 列. (行是从上往下 数,列是从左往右数)

1 15 31 … 13 17 29 …

3 11 19 27 …

5 9 21 25 …

7 23 …

例 5 在数列 {a n } 中,前 n 项和 S n = na + n(n ? 1)b, (b ≠ 0) . (Ⅰ)求证{an}是等差数列; (Ⅱ)求证:点 Pn (a n , (Ⅲ)若 a = 1, b = 的取值范围.
Sn ? 1) 都落在同一条直线上; n

1 ,且 P1、P2、P3 三点都在以 (r , r ) 为圆心, r 为半径的圆外,求 r 2

例 6 已知函数 f ( x) =

bx + c 的图象过原点,且关于点(?1,1)成中心对称. x +1

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;
an ;

(Ⅱ)若数列 {a n } (n∈N*)满足: a n > 0, a1 = 1, a n +1 = f ( a n ) ,求数列 {a n } 的通项公式 (Ⅲ)若数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ,判断 S n 与 2 的大小关系,并证明你的结论.

[

]

2

数列的综合应用 过关练习 1.如果 A 是 a, b 的等差中项,G 是 a, b 的正的等比中项,那么 ab 与 AG 之间的关 系是 ( ) (A) ab ≤ AG (B) ab ≥ AG (D)不具备上述三种关系 (C) ab ≠ AG

2.下表给出一个“直角三角形数阵” 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行成等比 数列,且每一行的公比相等,记第 i 行,第 j 列的数为
a ij ( i ≥ j , i , j ∈ N )
*

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16

,则 a 84 等于
1 (B) 4





1 (A) 8

……

1 (C) 2

(D)1

件是

3.设某等差数列的首项为 a ( a ≠ 0 ) ,第二项为 b ,则这个数列有一项为 0 的充要条 ( ) (B) a + b 是正整数 (A) a ? b 是正整数 (C)
b 是正整数 a?b

(D)

a 是正整数 a?b

4.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四 个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2, 且 改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39, 则该塔形中正方体 的 个数至少是 ( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7;

5.若 lg x , , lg y 成等比数列,则 xy 的最小值为

1 2



6.若直角三角形三边成等比数列,则公比 q =



7.定义在 N*上的函数 f ( x) 满足:f(0) = 2,f(1) = 3, 且 f (k + 1) = 3 f (k ) ? 2 f (k ? 1), (k ≥ 1) . (Ⅰ)求 f(n)(n∈N*) ; (Ⅱ)求 f (0) + f (1) + ? + f (n) .

8 . 设 Sn 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

是否存在实数 q ,使得
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

“ am , am + 2 , am +1 成等差数列”与“ S m , S m + 2 , S m +1 成等差数列”同时成立 值,若不存在请说明理由
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

若存在求出 q 的

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

参考答案
课前训练部分 1.D 典型例题部分 例 1 由 {a n } 是等差数列,当 n ≥ 2 时, a n +1 + a n ?1 = 2a n ,又 a n +1 ? a n 2 + a n ?1 = 0 ,故可 解得: a n = 2 ,又 S 2 n ?1 ? 4n = 例2
(a1 + a 2 n ?1 )(2n ? 1) 2a (2n ? 1) ? 4n = n ? 4n = ?2 ,故选 A. 2 2

2.B

3. 2n ? 1

4.

5 3

由 f ( x ) 为 偶 函 数 可 得 : f ( x ) = f ( ? x ) , 又 由 f ( 2 + x ) = f (2 ? x ) 可 得 , 所 以
f ( x ) = f ( x + 4) 1 2

f (? x) = f ( x + 4)





f (x)









4



a 2007 = f (2007) = f (2004 + 3) = f (3) = f (?1) =

例 3 这个数列为 2,

5 5 5 n n 5 9n ,2, ,2, ,…,若 n 是偶数,则 S n = × 2 + × = , 2 2 2 2 2 2 4

? 9n n是正偶数, ?4 n +1 n ? 1 5 9n ? 1 ? 若 n 是奇数,则 S n = ×2+ × = .故 S n = ? 2 2 2 4 ? 9n ? 1 n是正奇数. ? 4 ?

例 4 仔细观察可发现第 1 列偶数行是以 15 为首项,16 为公差的等差数列,所以通项 公式可写为 a n = 8n ? 1 ,其中 n 取正偶数,当 n = 250 时, a 250 = 1999 ,数下来在第 251 行上 有:第二个数开始分别为 2001,2003,2005,2007,所以,2007 排在该表的第 251 行,第 5 列. 例 5 (Ⅰ) a1 = S1 = a ,当 n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = a + (n ? 1) ? 2b ,当 n = 1 时,出成 立.所以 {a n } 是首项为 a,公差为 2b 的等差数列, a n = a + 2(n ? 1)b .
? x = 2bn + a ? 2b ? x a ? n(n ? 1) (Ⅱ) ? 故 Pn 都在直线 y = + ? 1 上. na + ? 2b 2 2 2 ?y = ? 1 = bn + a ? b ? 1 ? n ?

(Ⅲ)因为 a = 1, b =

1 1 ,易求得 P1 (1,0) 2 (2, ) 3 (3,1) ,P ,P ,由题设 2 2

?(r ? 1) 2 + r 2 > r 2 ? 5?2 2 1 2 ? 2 2 ) ∪ (4+ 6 ,+∞) . ?(r ? 2) + (r ? ) > r ,解得 r ∈ (-∞, 2 2 ? ?(r ? 3) 2 + (r ? 1) 2 > r 2 ?

bx + c bx 的图象过原点, f (0) = 0 , 即 所以 c =0, f ( x) = 即 . x +1 x +1 bx b x 又函数 f ( x) = = b? 的图象关于点(-1,1)成中心对称,所以 b = 1 , f ( x) = x +1 x +1 x +1

例 6 (Ⅰ) 因为函数 f ( x) =

(Ⅱ)由题意 a n +1 = f ( a n ) ,开方取正得: a n +1 =

[

]

2

an an +1

,即

1 1 = +1,所以 an+1 an

1 1 1 - =1.∴数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. an+1 an an



1 1 1 =1+(n-1)=n,即 an = ,∴an= 2 . n n an 1 1 ( Ⅲ ) 当 n≥2 时 , an= < n2 n(n-1)

=

1 n-1



1 . 所 以 n

S n = a1 + a 2 + ? + a n < 1 + 1 ?

1 1 1 1 1 1 + ? +?+ ? = 2 ? < 2 ,故 S n < 2 2 2 3 n ?1 n n
2

过关练习部分 1.D 2.B 3.C 4.C 5. 10 6.
5 ±1 2

7 . Ⅰ)由 题意: f (k + 1) ? 2 f (k ) = f (k ) ? 2 f (k ? 1) = ? = f (1) ? 2 f (0) = ?1 , 所以 有: (
f (k ) ? 1 = 2[ f (k ? 1) ? 1] ,又 f (0) ? 1 = 1 ,所以 f (k ) ? 1 = 2 k ,即 f (n) ? 1 = 2 n ,故 f (n) = 2 n + 1 .

(Ⅱ) f (0) + f (1) + ? + f (n) = (2 0 + 21 + ? + 2 n ) + n + 1 = 2 n +1 + n . 8.当 am , am + 2 , am +1 成等差数列时,有 2am + 2 = am + am +1 即 2am q = am + am q ,
2

又因为 am ≠ 0 ,所以 2q 2 ? q ? 1 = 0 ? q = 1 或 q = ?

1 . 2
*

当 q = 1 时,则 S m = ma1 ,S m +1 = ( m + 1) a1 ,S m + 2 = ( m + 2) a1 ,由 a1 ≠ 0, m ∈ N 得

2 S m + 2 ≠ S m + S m +1 ,则“ S m , S m + 2 , S m +1 成等差数列”不成立 ;


q=?

1 2





S m + S m +1 = S m + ( S m + am +1 ) = 2 S m + am +1



1 ? ? 2Sm+2 = 2 ( Sm + am+1 + am+2 ) = 2 ? Sm + am+1 ? am+1 ? = 2Sm + am+1 ,即 2Sm+2 = Sm + Sm+1 ,所 2 ? ?
以“ S m , S m + 2 , S m +1 成等差数列”也成立. 于是当 q = ? 成立.
1 时, am , am + 2 , am +1 成等差数列”与“ S m , S m + 2 , S m +1 成等差数列”同时 “ 2


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