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高二数学下学期第一次月考试题文普通班

高二年级第二学期第一次月考(创文、跃文、卓文) 数学试题

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)

1.函数 y=x2cosx 的导数为

()

A.y ' ? 2xcosx-x2sinx C.y ' ?-2xsinx

B.y ' ? 2xcosx ? x2sinx D.y ' ? 2xsinx

2.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 点处的切线平行于 直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为( )

A.(1, 0)或(-1,-4)

B .(0,1)

C.(1,0)

D.(-1,-4)

3.已知函数 f (x) 的导函数为 f ?(x) ,且满足 f (x) ? 2xf ?(1) ? ln x ,则 f ?(1) ? ( )

A. ?e

B. ?1

C.1

4.函数 f (x) ? (x ? 3)ex 的单调递增区间是 (

D. e


A. (??,2)

B. (2,??)

C. (1,4)

5.根据如下样本数据

x3

4

5

6

y 4.0 2.5 -0.5 0.5

得到的回归方程为y^=bx +a,则( )

A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0

D. (0,3)

7 -2.0

8 -3.0

D.a<0,b>0

6.设 f '(x) 是函数 f (x) 的导函数,将 y ? f (x) 和 y ? f '(x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可
能正确的是( )

A.

B.

C.

D.

7.已知 f (x) 的导函数 f '(x) ? a(x ?1)(x ? a) ,若 f (x) 在 x ? a 处取得极大值,则 a 的取值范围是( )

A. (0, ??) B. (?1,0)

C. (??, ?1)

D. (??, 0)

8.回归分析中,相关指数 R2 的值越大,说明残差平方和(

)

A.越小

B.越大

C.可能大也可能小

D.以上都不对

9.已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一 ,且其导函数 y=f’(x)的图像如右图所示,

则该函数

的图像是

()

A

B

C

D

D

1 0.通过 e?1, e?2 ?e?n 来判断模拟型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这种分工称为

()

A.回归分析 B.独立性检验分析

C.残差分析

D.散点图分析

11.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(



A.若 K2 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人

中必有 99 人患有肺病

B.从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%

的可能患有肺病

C.若从统计量中求出有 95% 的把握认为吸烟与患肺 病有关系,是指有 5% 的可能性使得推判出现错

误 D.以上三种说法都不正确。
12.设 f (x) 、g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ? 0 , 且 g(?1) ? 0 ,则不等式 f (x)g(x) ? 0 的解集是( )

A. (?1, 0) (0,1) B. (??,1) (1, ??) C. (?1, 0) (1, ??) D. (??, ?1) (0,1)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上 )

13.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? ____________.

14.函数 f (x) ? ln x ? x 的单调减区间是. 15. 函数 f (x) ? ?x3 ? mx 2 ? 1(m ? 0) 在(0,2)内的极大值为最大值,则 m 的取值范 围是
______________.

16.函数 f ? x? ? ax3 ?3x ?1对于 x???1,1? 总有 f ? x? ≥0 成立,则 a = .

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=x2-23ax3(a>0),x∈R.
求 f(x)的单调区间和极值;

18.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi (单位:千元)

10

10

10

? ? ? xi ? 80 yi ? 20 xi yi ? 184

的数据资料,算得 i?1

, i?1

, i?1

,

10
? xi2 ? 720
i ?1

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;

(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

n

? xi yi ? nx y

? 附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

i ?1 n

xi2

?

2
nx

,a ? y ?bx ,

i ?1

其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 y ? bx ? a .

19. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下

表所示:

喜欢甜品 不喜欢甜品 合计

南方学生

60

20

80

北方学生

10

10

20

合计

70

30

100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面

有差异”;

(2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中

随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

附:χ 2=n(nn11+1nn222+-n+n11n2n+221)2, P(χ 2 ≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

20.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体 积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本 为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000? 元(? 为圆周率).
(Ⅰ)将V 表示成 r 的函数V (r) ,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)讨论函数V (r) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

21. 设函数 f(x)=ln x+mx,m∈R. (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (2)讨论函数 g(x)=f′(x)-x3零点的个数;
22. 已知函数 f(x)=ex-ax( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为 -1.
(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2) 证明:当 x>0 时, x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex.

参考答案(文)

1----6 AABBAD

7------12 BABCC

13. 1/2 14. (1,??) 15 (0,3) 16. 4

17.解:(1)由已知,有 f′(x)=2x-2ax2(a>0).令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=1a.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,0) 0

???0,1a???

1 a

???1a,+∞???

f′(x)



0



0



f(x)

0

1 3a2

所以,f(x)的单调递增区间是???0,1a???;单调递减区间是(-∞,0),???1a,+∞???. 当 x=0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)=0;

当 x=1a时,f(x)有极大值,且极大值 f???1a???=31a2.

18

19:(1)将 2×2 列联表中的数据代 入公式计算,得 χ 2=n(nn11+1nn222+-n+n11n2n+221)2=100×7(0×603×0×108-0×202×0 10)2=12010≈4.762. 由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面

有差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω ={(a1,a2,b1),(a1,
a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1 ,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2, b2,b3),(b1,b2,b3)},
其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1, b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=170. 20
21.解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ex,则 f′(x)=x-x2 e, ∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ee =2, ∴f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)=f′(x)-x3=1x-xm2-x3(x>0), 令 g(x)=0,得 m=-13x3+x(x>0), 设 φ (x)=-13x3+x(x≥0), 则 φ ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增;

当 x∈(1,+∞)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ (x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ (x)的最大值点, ∴φ (x)的最大值为 φ (1)=23. 又 φ (0)=0,结合 y=φ (x)的图像(如图所示),可知
①当 m >23时,函数 g(x)无零点; ②当 m=23时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③当 0<m<23时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 综上所述,当 m>23时,函数 g(x)无零点; 当 m=23或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m<23时,函数 g(x)有两个零点.
22.解: (1)由 f(x)=ex- ax, 得 f′(x)=ex-a. 又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2.

所以 f(x)=ex-2x,f′( x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2 . 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)有极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x 2,则 g′(x)=ex-2x. 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 即 g′(x)> 0. 所以 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. (3)证明:对任意给定的正数 c,取 x0=1c, 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex. 所以当 x>x0 时,ex>x2>1cx,即 x<cex. 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex.


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