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第二章2.4 第2课时等比数列的性质


第 2 课时 等比数列的性质 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3. 系统了解等比数列的判断方法.

1.等比数列的第二通项公式 等比数列的通项公式为 an=a1qn 1(n∈N*),推广形式为 an=amqn
- -m

(n,m∈N*).

2.等比数列的性质 (1)如果 m+n=k+l,则有 aman=akal.
2 (2)如果 m+n=2k,则有 am·an=ak .

(3)若 m,n,p 成等差数列,则 am,an,ap 成等比数列. (4)在等比数列{an}中,每隔 k 项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列 仍为等比数列. (5)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积,即 a1·an=a2·an-1=a3·an-2=?.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当 q>1 时,{an}为递增数列.( (2)当 q=1 时,{an}为常数列.( ) ) ) )

(3){an}是等比数列,若 m+n=p,则 am·an=ap.(


(4)若等比数列{an}的公比是 q,则 an=amqm n(m,n∈N*).( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× )

2.在等比数列{an}中,a4=6,则 a2a6 的值为( A.4 C.36 答案:C B.8 D.32

3.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比 q 为( A.2 C.4 B.3 D.8

)

答案:A 4.等比数列{an}中,若 a4=3,a6=12,则 a2·a8=________. 答案:36 5.等比数列{an}中,若 a5a7a9=27,则 a7=________. 答案:3

探究点一 等比数列性质的应用 (1)(2014· 高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a2=1, a8=a6+2a4, 则 a6 的值是________. (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=________. [解析] (1)因为 a8=a2q6, a6=a2q4, a4=a2q2, 所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2, 消去 a2q2,得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. (2)法一:由等比中项的性质知 a1a2a3=(a1a3)· a2=a3 a8=a3 2=5,a7a8a9=(a7a9)· 8=10,所
1

以 a2a8=503,
3 所以 a4a5a6=(a4a6)· a5=a3 5=( a2a8) = 506 =5 2.

( )
1

3

法二:由等比数列的性质知 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 构成等比数列,所以(a1a2a3)(a7a8a9) =(a4a5a6)2,所以 a4a5a6=± 5 2,又数列{an}各项均为正数,所以 a4a5a6=5 2. [答案] (1)4 (2)5 2 若本例(1)中条件“a8=a6+2a4”改为“2an+2=7an+1-3an” ,其他条件不 变,试求 an. 解:因为 2an+2=7an+1-3an, 所以 2anq2=7anq-3an,又 an>0, 所以 2q2-7q+3=0, 1 解得 q=3 或 q= , 2 当 q=3 时,an=a2×3n 2=1×3n 2=3n 2.
- - -

n-2 1?n-2 1 ?1? =22-n. 当 q= 时,an=a2×? = 1 × ?2? ?2? 2

(1)在等比数列的有关运算中, 常常涉及次数较高的指数运算, 建立关于 a1, q 的方程组,

但这样解起来很麻烦.若能避开求 a1,q,直接利用等比数列的性质求解,往往可使问题简 单明了. (2)在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 1.(1)(2016· 揭阳检测)已知各项均为正数的等比数列{an},a1·a9=16,则 a2·a5·a8 的值为( A.16 C.48 ) B.32 D.64

(2)已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式 an=________. 解析:(1)由等比数列的性质可得 a1·a9=a2 5=16, 因为 an>0,所以 a5=4,所以 a2·a5·a8=a3 5=64. a10 a1q9 (2)由已知得 = 2=q7=128=27,故 q=2. a3 a1q 所以 an=a1qn 1=a1q2·qn 3=a3·qn 3=3×2n 3.
- - - -

答案:(1)D (2)3×2n

-3

探究点二 等比数列的设法与求解 已知四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等 差数列,它们的积是-80,则这四个数为______________. b [解析] 由题意设此四个数分别为 ,b,bq,a,则 b3=-8,解得 b=-2,q 与 a 可通 q
? ?2bq=a+b, 过解方程组? 2 求出, ?ab q=-80 ?

a=10, ? ? ?b=-2, ? 即为?b=-2,或? 5 ? ?q=-2 ? ?q=2, a=-8, 4 所以此四个数为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8. 5 4 [答案] 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8 5

几个数成等比数列的设法 a (1)三个数成等比数列设为 ,a,aq. q a a (2)四个符号相同的数成等比数列设为 3, ,aq,aq3. q q

(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为:a,aq,aq2,aq3. 3 2.已知三个数成等比数列,其积为 1,第 2 项与第 3 项之和为- ,则这 2 三个数依次为________. a 解析:设这三个数分别为 ,a,aq, q a =1, ? ? 则? 3 ?a+aq=-2, ? 5 解得 a=1,q=- , 2 2 5 所以这三个数依次为- ,1,- . 5 2 2 5 答案:- ,1,- 5 2 探究点三 等差、等比数列的简单综合问题(规范解答) (本题满分 12 分)已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=3an(n∈N*). (1)若 a8+a13=m,求 b1b2?b20; (2)若 b3·b5=39,a4+a6=3,求 b1b2?bn 的最大值. [解] (1)因为数列{bn}为等比数列, 则 bn =3an-an-1=q, bn-1
3

所以 an-an-1=log3q, 所以数列{an}是以 log3q 为公差的等差数列(q 为等比数列{bn}的公比).(2 分) 又 a8+a13=m, 所以 b1b20=3a1·3a20=3a1+a20=3m, b2b19=3a2·3a19=3a2+a19=3m,?, b10b11=3a10·3a11=3a10+a11=3m, (4 分)
10? 所以b1b2?b20=(b1b20) =310m.

(6 分)

(2)由 b3·b5=39,得 a3+a5=9. 27 又 a4+a6=3,所以 d=-3,a1= , 2 27 所以 an= +(n-1)· (-3).(8 分) 2

27 27 于是 a1+an= + +3-3n=30-3n, 2 2
n n

所以 b1b2?bn=(b1bn)2=(3a1+an)2= 3 3- (n2-10n). 2
?

(10 分)
75

应注意 n∈N*所以,当 n=5 时,b1b2?bn 取得最大值 3 2 .(12 分)

求解等差、等比数列综合问题的技巧 (1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系. (2)发挥两个数列的基本量 a1(等差数列的首项),d 或 a1(等比数列的首项),q 的作用, 并用好方程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. 3.等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式. 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3,解得 q=2,an=a1qn 1=2n.


(2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32.
? ?b1+2d=8, 设数列{bn}的公差为 d,首项为 b1,则有? ?b1+4d=32. ? ? ?b1=-16, 解得? ?d=12. ?

从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28.

1.等比数列的“子数列”的特性 若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列. (2)奇数项数列{a2n-1}是公比为 q2 的等比数列; 偶数项数列{a2n}是公比为 q2 的等比数列. (3)若{kn}成等差数列且公差为 d,则{akn}是公比为 qd 的等比数列,也就是说等比数列 中项的序号若成等差数列,则对应的项依次成等比数列.

2.等比数列的单调性易误点 (1)易误认为数列{an}的公比 q>1 时,为递增数列,公比 q<1 时,为递减数列. (2)当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,等比数列{an}是递增数列. 当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,等比数列{an}是递减数列.

1.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a10=( A.16 C.64 B.32 D.128

)

解析:选 B.由等比数列的性质,知 a2 7=a3a11=16,又数列{an}的各项都是正数,所以 a7=4,a10=a7×q3=4×23=25. 1 2. (2015· 高考全国卷Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足 a1= , a a =4(a4-1), 则 q=( 4 3 5 A.2 1 C. 2 B.1 1 D. 8 )

解析:选 A.因为 a3a5=a2 4,a3a5=4(a4-1), 所以 a2 4=4(a4-1), 所以 a2 4-4a4+4=0,所以 a4=2. a4 2 又因为 q3= = =8, a1 1 4 所以 q=2. 3.在等比数列{an}中,已知 a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为________数列.(填“递 增”“递减”) a5 解析:由 8a2-a5=0,可知 =q3=8,解得 q=2. a2 又 a1>0,所以数列{an}为递增数列. 答案:递增 4.已知数列{an}成等比数列. 1 (1)若 a2=4,a5=- ,求数列{an}的通项公式; 2 (2)若 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 解:(1)由 a5=a2q3,

1 得- =4· q3, 2 1 所以 q=- . 2 1 n-2 - - ? =(-1)n·24-n. an=a2qn 2=4? ? 2?
2 (2)由 a3a5=a4 , 3 得 a3a4a5=a4 =8,解得 a4=2.

又因为 a2a6=a3a5=a2 4,
5 所以 a2a3a4a5a6=a5 4=2 =32.

[A 基础达标] 1.已知{an}是公比为 q 的等比数列,则这个数列的通项公式为( A.an=a3qn C.an=a3qn
-2

)

B.an=a3qn D.an=a3qn
- - -

-1

-3

-4

解析:选 C.a3qn 3=a1·q2·qn 3=a1qn 1=an. 2.(2016· 日照检测)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a2·a6=9a4,a2=1,则 a1 的 值为( A.3 1 C.- 3 ) B.-3 1 D. 3

解析:选 D.{an}是公比为正数的等比数列, 设公比为 q(q>0), 则 a2·a6=a2 4=9a4, a4 所以 a4=9,所以 q2= =9,q=3, a2 a2 1 所以 a1= = . q 3 3. 由公比为 q 的等比数列 a1, a2, ?依次相邻两项的乘积组成的数列 a1a2, a2a3, a3a4, ? 是( ) A.等差数列 B.以 q 为公比的等比数列 C.以 q2 为公比的等比数列

D.以 2q 为公比的等比数列 an+1an+2 an+2 2 解析:选 C.因为 = =q 为常数,所以该数列为以 q2 为公比的等比数列. an anan+1 4.在等比数列{an}中,已知 a7·a12=5,则 a8·a9·a10·a11 等于( A.10 C.50 B.25 D.75 )

解析:选 B.法一:因为 a7·a12=a8·a11=a9·a10=5, 所以 a8·a9·a10·a11=52=25.
17 法二:由已知得 a1q6·a1q11=a2 1q =5, 34 2 17 2 所以 a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a4 1·q =(a1q ) =25.

5.在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7·a11=6,a4+a14=5,则 3 A. 2 1 C. 6 解析:选 A.因为?
?a7·a11=a4·a14=6, ? ? ?a4+a14=5,

a6 等于( a16

)

2 B. 3 D.6

?a4=3, ? ?a4=2, ? 解得? 或? ?a14=2 ?a14=3. ? ?

又因为 an>an+1,所以 a4=3,a14=2. a6 a4 3 所以 = = . a16 a14 2 6.已知{an}为等比数列,a2=2,a6=162,则 a10=________.
?a2=a1q=2, ? 解析:法一:因为? 5 ? ?a6=a1q =162,

所以 q4=81, 所以 a10=a1q9=a1q·q8=2×812=13 122. a6 162 法二:因为 q4= = =81, a2 2 所以 a10=a6q4=162×81=13 122.
2 a2 6 162 法三:因为{an}为等比数列,所以 a2·a10=a2 , a = = =13 122. 6 10 a2 2

答案:13 122

7. 在等比数列{an}中, 各项均为正数, 且 a6a10+a3a5=41, a4a8=5, 则 a4+a8=________. 解析:因为 a6a10=a2 8, a3a5=a2 4,
2 所以 a2 8+a4=41.

又因为 a4a8=5, an>0,
2 所以 a4+a8= (a4+a8)2= a2 4+2a4a8+a8= 51.

答案: 51 8.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3?a10=265,则 a7 等于________. 解析:因为 a1a2a3?a10=(a3a8)5=265,所以 a3a8=213, 又因为 a3=16=24,所以 a8=29=512. 因为 a8=a3·q5,所以 q=2. a8 所以 a7= =256. q 答案:256 8 27 9.在 和 之间插入三个数,使这 5 个数成等比数列,求插入的这三个数的乘积. 3 2 8 27 8 解:法一:设这个等比数列为{an},公比为 q,则 a1= ,a5= =a1q4= q4,所以 q4 3 2 3 81 9 = ,所以 q2= . 16 4
3 3 6 ?8? 3 ?9? 所以 a2·a3·a4=a1q·a1q2·a1q3=a3 1·q = 3 × 4 =6 =216. ? ? ? ?

8 27 法二:设这个等比数列为{an},公比为 q,则 a1= ,a5= ,由题意知 a1,a3,a5 也成 3 2 等比数列且 a3>0, 8 27 所以 a2 =36,所以 a3=6, 3= × 3 2
3 所以 a2·a3·a4=a2 3·a3=a3=216.

10.已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an-2)=5an-1,求数列{an}的通项 公式. 解:设数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 因为 a2 5=a10,2(an+an-2)=5an-1,

8 9 ?a2 ? 1·q =a1·q ,① 所以? 2 ? ?2(q +1)=5q,②

由①,得 a1=q, 1 由②,得 q=2 或 q= , 2 又数列{an}为递增数列, 所以 a1=q=2,所以 an=2n. [B 能力提升] )

1.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=( A.11 C.14 B.12 D.16

3 3 12 9 3 3n 解析:选 C.由 a1a2a3=4=a3 1q 与 a4a5a6=12=a1q 可得 q =3,an-1·an·an+1=a1·q
-3

=324,因此 q3n 6=81=34=q36,所以 3n-6=36,n=14,故选 C.


2.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为 q1,q2(q1,q2≠1),则下列数列
?2? ①{3an};②?a ?;③{3an};④{2an-3bn};⑤{2an·3bn}中为等比数列的是________. ? n?

2 an+1 1 3an+1 解析:在①中, =q1,是等比数列,故正确;在②中, = ,是等比数列,故 3an 2 q1 an 32 34 - 正确;在③中,令 an=2n 1,则数列{3an}为 3,32,34,?,因为 ≠ 2,故不是等比数列, 3 3 2an+1·3bn+1 故不正确;在④中,数列的项可能为零,故不是等比数列,故不正确;在⑤中, 2an·3bn =q1·q2 是等比数列,故正确. 答案:①②⑤ 3.已知数列{an}中 a2 n+1=4an,a1=1,an>0,求其通项公式. 解:因为 an>0,对 a2 n+1=4an,两边取对数,得 2log2an+1=log2an+2. 令 bn=log2an,则 2bn+1=bn+2,即 2(bn+1-2)=bn-2. 1 令 Cn=bn-2,则 Cn+1= Cn,且 a1=1,所以 b1=0,C1=-2, 2 1?n-1 2-n 所以{Cn}为等比数列,所以 Cn=-2? ?2? =-2 . 所以 bn=2-22 n,an=22-22 n.
- -

4.(选做题)在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知 a1=1,且 a1=b1,

a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q; (2)是否存在常数 a,b 使得对一切正整数 n,都有 an=logabn+b 成立?若存在,求出 a 和 b;若不存在,说明理由. 解:(1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,
? ?1+d=q, 得? 2 ?1+7d=q , ? ?q=6, ? ?q=1,? ?q=1,? ? ? 解得? 或? ?舍去? ? ? ? ? ?d=5 ?d=0. ? ?d=0. ?

(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b 成立, 即有 1+5(n-1)=loga6n 1+b.


整理,得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0. 因为 an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立,
? ?5-loga6=0, 5 所以? 所以 a= 6,b=1. ?4+b-loga6=0, ?


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