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双流中学2013级数学周练11(文)教师版含答案


双流中学 2013 级数学周练 11(文)
一、选择题 1 . 已 知 集 合 A ? x | x是平行四边形 , B ? x | x是矩形 , C ? x | x是正方形 ,

?

?

?

?

?

?

D ? ?x | x是菱形? ,则( B ).
A. A ? B B. C ? B C. D ? C D. A ? D

2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D ). A. y ? x ? 1 B. y ? ? x3 C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则改样 本的中位数、众数、极差分别是( A ). A.46,45,56 C.47,45,56 4.若 B.46,45,53 D.45,47,53

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α=( B ). sin ? ? cos ? 2 3 3 4 A. ? B. C. ? 4 4 3

D.

4 3

5.设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

b 为纯虚数”的( B ). i

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是( D ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.设向量 a =(1, cos ? )与 b =( ?1 , 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于( C ).

?

?

1

A.

2 2

B.

1 2

C.0

D. ? 1

8.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( C ).

A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2
C )

9.在等差数列{ an }中,已知 a4 ? a8 =16,则 S11 =( A.12 B.16 C. 88 D.176

10. 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距 离为

2 的概率是( C ). 2
1 5
B.

A.

1 2

C.

2 5

D.

4 25

11 函数

y?

cos 6 x 2 x ? 2?x

的图像大致为( D ).

12 设函数 f ? x ? ?

1 2 ,g ?x? ? ax ? bx?a, b ? R, a ? 0? .若 y ? f ?x ? 的图像与 y ? g ?x ? 的图 x

像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( B ). A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0 答案:B 考点:数形结合、解三次方程(分解因式) 、导数求极值 解析: 法一,数形结合,由图形可以猜出答案;

2

法二,

1 ? ax2 ? bx ,则 ax3 ? bx2 - 1 ? 0 ,令 h( x) ? ax3 ? bx2 - 1因为 f ?x ?, g ?x ? 图像有 x

两个公共点,所以 h?x ? 必然有一个极值为 0,又 h??x ? ? x(3ax ? b) ,所以 h? ?

? 2b ? ??0 ? 3a ?

1 a ?b? 解得 ? ? ? ( ) 2 所以令 b ? 3, a ? 2 可得 x1 ? ?1, x 2 ? , y1 ? ?1, y 2 ? 2 2 2 ?3?
令 b ? 3, a ? ?2 可得 x1 ? 1, x 2 ? ? 二、填空题 2,13.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c ,若 a ? 2 , B ?

3

1 , y1 ? 1, y 2 ? ?2 2

?
6



c ? 2 3 ,则 b ?



14.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后, 水面宽 米. 2 6 .

? x,x ? 0, ? 4,15.设函数 f ? x ? ? ?? 1 ? x 则 f ? f ? ?4? ? = ?? ? ,x ? 0, ?? 2 ?



?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 16. 设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足 ? , 则 z 的取值范围是_________。 ?x ? 0 ? ?y ? 0
17.观察下列不等式

1 3 ? , 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2 + 2 + 2 ? 4 2 3 4 1?
……[来源:Z.xx.k.Com] 照此规律,第五个 不等式为____________________. ...

1?

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? 22 32 42 52 62 6

三、解答题 18.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现

3

从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中, ,某个产品已使 用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率. 【解析】 (Ⅰ)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为

5 ? 20 1 ? ,用频率估计概率,所以, 100 4

1 . 4

(Ⅱ)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品牌产品

75 15 ? , 145 29 15 用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29
是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 19.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 轴之间的距离为 的值. 【解析】 (Ⅰ)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 .

?

? ? ? . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 ? ? (0 ,) ,则 f ( ) ?2 ,求 ? 2 2 2

6

) ? 1( A ? 0,? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称

? ,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 . 2 ? 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 ? ? ? 1 (Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,故 ? ? . 2 6 6 3 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn
2

+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. (1) 由 Sn= 2n2 ? n ,得

4

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n?1 ,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5

Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
21.如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M , N 分
/ / / ? / / 别为 A B 和 B C 的中点。
/

(Ⅰ)证明:MN ∥平面 A ACC ;

/

/

(Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积。
/

(椎体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3

【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行 的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、 运算求解能力,难度适中。 【解析】 (1) (法一)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' (法二)取 A?B ? 的中点为 P,连结 MP,NP,
/ / ∵ M , N 分别为 A B 和 B C 的中点,

……6 分

/

∴MP∥ AA? ,NP∥ A?C ? , ∴MP∥面 A?ACC ? ,NP∥面 A?ACC ? , ∵ MP ? NP ? P , ∵MN ? 面 A?ACC ? , ∴面 MPN∥面 A?ACC ? , ∴MN∥面 A?ACC ? .
5

(Ⅱ)(解法一)连结 BN,由题意 A?N ⊥ B?C ? ,面 A?B ?C ? ∩面 B?BCC ? = B?C ? ,

1 B ?C ? =1, 2 1 1 1 ∴ VA?? MNC ? VN ? A?MC ? VN ? A?BC ? VA?? NBC ? . 2 2 6 1 1 1 (解法 2) VA?? MNC ? VA?? NBC ? VM ? NBC ? VA?? NBC ? 2 2 6
∴ A?N ⊥⊥面 NBC, ∵ A?N = 【点评】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题 求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积。

选作 22. (本小题满分 14 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (Ⅰ)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(Ⅱ)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b ? 3c b+3c 的最小值和最大值; (Ⅲ)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)当 b ? 1 ,c ? ?1 ,n ? 2时,f n ( x) ? x n ? x ?1

1 1 1 1 ? f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ?1 ? 0, ? f n ( x)在( , 1) 内存在零点. 2 2 2 2 1 ' n ?1 又当 x ? ( ,1)时,f n ( x) ? nx ? 1 ? 0 , 2 1 1 ? f n ( x)在( , 1)上是单调递增的, ? f n ( x)在( , 1)内存在唯一零点 . 2 2
(Ⅱ)解法一:由题意,知 ?

? ??1 ? f ? ?1? ? 1, ?0 ? b ? c ? 2, 即? ? ??1 ? f ?1? ? 1, ??2 ? b ? c ? 0.

由图像,知 b ? 3c 在点 ? 0, ? 2 ? 取到最小值-6,在点 ? 0, 0 ? 取到最大值 0. ∴ b ? 3c 的最小 值是-6,最大值是 0. 解法二:由题意,知 ?1 ? f ?1? ? 1 ? b ? c ? 1,即 ?2 ? b ? c ? 0 ; ①

?1 ? f ? ?1? ? 1 ? b ? c ? 1 ,即 ?2 ? ?b ? c ? 0 .
①× 2+②,得 ?6 ? 2 ?b ? c ? ? ? ?b ? c ? ? b ? 3c ? 0 ,



当 b ? 0,c ? ?2 时, b ? 3c ? ?6 ;当 b ? c ? 0 , b ? 3c ? 0 . ∴ b ? 3c 的最小值是-6,最大

6

值是 0. 解法三:由题意,知 ?

? f ?1? ? f ? ?1? f ?1? ? f ? ?1? ? 2 ? f ? ?1? ? 1 ? b ? c, 解得 b ? ,b ? . 2 2 ? ? f ?1? ? 1 ? b ? c.

∴ b ? 3c ? 2 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 .又∵ ?1 ? f ? ?1? ? 1 , ?1 ? f ?1? ? 1 ,∴ ?6 ? b ? 3c ? 0 . 当 b ? 0,c ? ?2 时, b ? 3c ? ?6 ;当 b ? c ? 0 , b ? 3c ? 0 .∴ b ? 3c 的最小值是-6,最大值 是 0. (2) 当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x 2 ? bx ? c .

对任意 x1 , x2 ?[?1,1]都有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于 f 2 ( x)在[?1,1] 上的最大值与最小值 之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下: (ⅰ) 当

b ? 1,即 b ? 2时 , M ? f2 (1) ? f2 (?1) ? 2 b ? 4,与题设矛盾. 2

b b b ? 0,即0 ? b ? 2时 , M ? f 2 (1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4恒成立 . 2 2 2 b b b ,即-2 ? b ? 0时 , M ? f 2 (-1) ? f 2 (? ) ? ( -1) 2 ? 4恒成立 . (ⅲ) 当0 ? - ? 1 2 2 2
(ⅱ) 当-1 ? 综上可知, - 2 ? b ? 2 . 注: (ⅱ) ( ⅲ ) 也 可 合 并 并 证 明 如 下 : 用 max{a,b}表示a,b中的较大者 , 当

b ?1 ? ? ?1 ,即 ?2 ? b 2

? 2 时,

b M ? max{ f 2 (1),f 2 (?1),f 2 (? )} 2 f (?1) ? f 2 (1) f 2 ( ?1) ? f 2 (1) b ? 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b ? 1 ? c ? b ? (? ? c) 4 b ? (1 ? ) 2 ? 4恒成立. 2

7


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