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第9-12课时不等式问题的题型与方法


第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法 一.复习目标: 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的 解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力; 2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组), 会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; 3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较 灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题; 4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力; 5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各 部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的 基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识. . 二.考试要求: 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应 用。 3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。 5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 。 三.教学过程:

(Ⅰ)基础知识详析
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方 程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在 解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基 本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的 不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函 数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换 元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于 把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参 数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的 同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用. 4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→变形 →判断符号(值). 5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维 等,将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选 择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原 不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前 者是“执果索因” ,后者是“由因导果” ,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹 击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理 思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点. 7.不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题

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体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作 用.在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等 式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程 (组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中 的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或 证明。 8.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不 等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别注意“正数、 定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基 本步骤:10 审题,20 建立不等式模型,30 解数学问题,40 作答。 9.注意事项: ⑴解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不 等式(组)来求解, 。 ⑵解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活运用。 ⑶不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基础上, 选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 ⑷根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

(Ⅱ)范例分析

b)∈M,且对 M 中的其它元素(c,d),总有 c≥a,则 a=____. 分析:读懂并能揭示问题中的数学实质,将是解决该问题的突破口.怎样理解“对 M 中的其它元素(c, d),总有 c≥a”?M 中的元素又有什么特点? 解:依题可知,本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)当 1≤y≤3 时, 所以当 y=1 时,xmin=4.

说明: 题设条件中出现集合的形式, 因此要认清集合元素的本质属性, 然后结合条件, 揭示其数学实质. 即 求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关 系 式

例 2.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 9

2

?a

? 0?

分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进行讨论,而

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是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出 原不等式的解集。 解:当 x ? a 时,不等式可转化为
3? b 17

?x ? a ?x ? a 即? 2 ? 2 2 ?9 x ?x ? a ? ? 2 a ? 9 x ? 9 ax ? 2 a ? 0

?a ? x ?

a

当 x ? a 时不等式可化为

?x ? a ?x ? a 即? 2 ? 2 2 ? ax ( a ? x ) ? 2 a ? 9 x ? 9 ax ? 2 a ? 0

? x ?

a 3



2a 3

? x ? a a 3

故不等式的解集为

( ?? ,

??

? 2 a 3 ? 17 ? , a? 。 ? 6 ? 3 ?
x?2 x ? 3x ? 2
2

例 3. 己知三个不等式:① 2 x ? 4 ? 5 ? x



?1

③ 2 x ? mx ? 1 ? 0
2

(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足的③ x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围。 分析:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法,以及数形结合思想,解本题的关键 弄清同时满足①、②的 x 值的满足③的充要条件是:③对应的方程的两根分别在 ? ? ? , 0 ? 和 ?3 , ?? ) 内。 不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系,在解决问题的过程中,要适时地联系它 们之间的内在关系。 解:记①的解集为 A,②的解集为 B,③的解集为 C。 解①得 A=(-1,3) ;解②得 B= ?0 ,1) ? ( 2 , 4 ?,? A ? B ? ?0 ,1) ? ( 2 ,3 ) (1) 因同时满足①、②的 x 值也满足③,A ? B ? C 设 f ( x ) ? 2 x ? mx ? 1 ,由 f ( x ) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时,即可满足
2

? f (0) ? 0 ? ? 1 ? 0 17 A ? B ?? ? 即? ?m ? ? 3 ? f ( 3 ) ? 0 ? 3 m ? 17 ? 0

(2) 因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,? C ? A ? B , 而 A ? B ? ( ? 1, 4 此 C ? ( ? 1, 4

?因

? ? 方程

2x

2

? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而

? ? f ( ? 1) ? 1 ? m ? 0 ? ? ? f ( 4 ) ? 4 m ? 31 ? 0 , 解之得 ? m ? ? 4 ?? 1 ? ? 4 ?

?

31 4

? m ?1

说明:同时满足①②的 x 值满足③的充要条件是:③对应的方程 2x +mx-1=0 的两根分别在(-∞,0)和 [3,+∞)内,因此有 f(0)<0 且 f(3)≤0,否则不能对 A∩B 中的所有 x 值满足条件.不等式和与之对应 的方程及图象是有着密不可分的内在联系的, 在解决问题的过程中, 要适时地联系它们之间的内在关系.

2

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例 4.已知对于自然数 a,存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式,它有两个小于 1 的正根,求证: a≥5. 分析:回忆二次函数的几种特殊形式.设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).①
2

顶点式.f(x)=a(x-x 0 ) +f(x 0 )(a≠0).这里(x 0 ,f(x 0 ))是二次函数的顶点,x 0 = ?
2

))、(x 2 ,f(x 2 ))、(x 3 ,f(x 3 ))是二次函数图象上的不同三点,则系数 a,b,c 可由

证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x 1 )(x-x 2 ),a∈N. 依题意知:0<x 1 <1,0<x 2 <1,且 x 1 ≠x 2 .于是有 f(0)>0,f(1)>0. 又 f(x)=ax -a(x 1 +x 2 )x+ax 1 x 2 为整系数二次三项式, 所以 f(0)=ax 1 x 2 、f(1)=a·(1-x 1 )(1-x 2 )为正整数.故 f(0)≥1,f(1)≥1. 从而 f(0)·f(1)≥1. ① 另一方面,
2

且由 x 1 ≠x 2 知等号不同时成立,所以

由①、②得,a 2 >16.又 a∈N,所以 a≥5. 说明:二次函数是一类被广泛应用的函数,用它构造的不等式证明问题,往往比较灵活.根据题设条件 恰当选择二次函数的表达形式,是解决这类问题的关键. 例 5.设等差数列{a n }的首项 a1>0 且 Sm=Sn(m≠n).问:它的前多少项的和最大? 分析:要求前 n 项和的最大值,首先要分析此数列是递增数列还是递减数列. 解:设等差数列{a n }的公差为 d,由 Sm=Sn 得

ak≥0,且 ak+1<0.

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(k∈N).

说明:诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组),并分析其解在具体问题的意义, 是得到合理结论的关键. 例 6.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数,所以应先将 f(x) 的表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有 f(-2)的不等式(组),即可求解. 解:因为 y=f(x)的图象经过原点,所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以 f(-2)的取值范围是[6,10]. 解法二(数形结合)

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建立直角坐标系 aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图 6 中的阴影部分.因为 f(-2)=4a-2b, 所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系.如图 6,当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2,1),B(3,1)时,分 别取得 f(-2)的最小值 6,最大值 10.即 f(-2)的取值范围是:6≤f(-2)≤10. 解法三(利用方程的思想)

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ① 所以 3≤3f(-1)≤6. ② ①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 说明:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:

2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11. (2)对这类问题的求解关键一步是,找到 f(-2)的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示其代数的、 几何的本质, 利用不等式的基本性质、 数形结合、 方程等数学思想方法, 从不同角度去解决同一问题. 若 长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高. 例 7.(2002 江苏)己知 a ? 0 , 函数 f ( x ) ? ax ? bx ,
2

(1) 当 b ? 0时,若对任意

x ? R 都有 f ? x ? ? 1, 证明: a ? 2 b ;

(2) 当 b ? 1时 ,证明:对任意 x ? [ 0 ,1] , | f ( x ) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ; (3) 当 0 ? b ? 1时,讨论:对任意 x ? [ 0 ,1] , | f ( x ) |? 1 的充要条件。 证明: (1)依题意,对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 1 . ? f ( x ) ? ? b ( x ?
? f( a 2b )? a
2 2

a 2b

) ?
2

a

4b

? 1,? a ? 0 , b ? 0 ? a ? 2 b .
2 2

4b
? ? 1; 又 ? b ? 1, a ? 2 b , 对任意 x ? ?0 ,1?, 可知
2

(2)充分性:? b ? 1, a ? b ? 1, 对任意 x ? ?0 ,1?, 可推出 : ax ? bx ? b ( x ? x ) ? x
? ? x ? ? 1, 即 ax ? bx
2

ax ? bx

2

? 2 b x ? bx

? ( 2 b x ? bx ) max ? 2 b ?
2

1 b

? b ?(

1 b

) ? 1, 即 ax ? bx
2

2

?1

? ?1 ? f ( x) ? 1

必要性:对任意 x ? ?0 ,1?, f ( x ) ? 1,? f ( x ) ? ? 1,? f (1) ? ? 1
即 a ? b ? ? 1 ? a ? b ? 1; 又 ? b ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? ? 1, 由 f ? x ? ? 1知 f ? ??1 b ? b ?

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a b

? 1 ? 1,? a ? 2 b , 故 b ? 1 ? a ? 2 b

综上 , 对任意 x ? ?0 ,1 ?, f ( x ) ? 1的充要条件是

b ?1? a ? 2 b
2

(3)? a ? 0 , 0 ? b ? 1时 , 对任意 x ? ?0 ,1?, f ( x ) ? ax ? bx 即 f ( x ) ? ? 1; 又由 f ( x ) ? 1知 f (1) ? 1, 即 a ? b ? 1, 即 a ? b ? 1 而当 a ? b ? 1时 , f ( x ) ? ax ? bx ? ( b ? 1) x ? bx ? ? b ( x ?
2 2

? ?b ? ?1

b ?1 2b

) ?
2

( b ? 1) 4b

2

? 0 ? b ? 1,?

b ?1 2b

?1
2

? 在 ?0 ,1 ?上 , y ? ( b ? 1) x ? bx 是增函数

, 故在 x ? 1时取得最大值

1? f ( x) ? 1

? 当 a ? 0 , 0 ? b ? 1时 , 对任意 x ? ?0 ,1?, f ( x ) ? 1的充要条件是

a ? b ?1

例 8.若 a>0,b>0,a3+b3=2.求证 a+b≤2,ab≤1. 分析:由条件 a3+b3=2 及待证的结论 a+b≤2 的结构入手,联想它们之间的内在联系,不妨用作差比较 法或均值不等式或构造方程等等方法,架起沟通二者的“桥梁” . 证法一 (作差比较法) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 (a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0, 即 (a+b)3≤23. 证法二 (平均值不等式—综合法) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以

所以 a+b≤2,ab≤1. 说明:充分发挥“1”的作用,使其证明路径显得格外简捷、漂亮. 证法三 (构造方程) 设 a,b 为方程 x2-mx+n=0 的两根.则

因为 a>0,b>0,所以 m>0,n>0 且Δ =m2-4n≥0.① 因此 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n],所以

所以 a+b≤2.

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由 2≥m 得 4≥m2,又 m2≥4n,所以 4≥4n,即 n≤1.所以 ab≤1. 说明:认真观察不等式的结构,从中发现与已学知识的内在联系,就能较顺利地找到解决问题的切 入点. 证法四 (恰当的配凑) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b), 于是有 6≥3ab(a+b),从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3, 所以 a+b≤2.(以下略)

即 a+b≤2.(以下略) 证法六 (反证法) 假设 a+b>2,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab). 因为 a3+b3=2,所以 2>2(4-3ab),因此 ab>1. ① 另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab>2ab, 所以 ab<1. ② 于是①与②矛盾,故 a+b≤2.(以下略) 说明:此题用了六种不同的方法证明,这几种证法都是证明不等式的常用方法. 例 9.设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x,y=-x,均不相

分析:因为 x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定,故设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0). 证明:由题意知,a≠0.设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 又二次方程 ax2+bx+c=±x 无实根,故 Δ1=(b+1)2-4ac<0, Δ2=(b-1)2-4ac<0. 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即 2b2+2-8ac<0,即 b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.

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说明:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条件,合理采 取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径. 例 10. 2002 理) ( 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新 增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末的汽车保有量为 a 1 ,以后每年末的汽车保有量依次为 a 2 , a 3 .... ,每年新增汽车 x 万辆。 由题意得 a n ? 1 ? 0 . 94 a n ? x 即 a n ? 1 ?
a n ? ( 30 ? x 0 . 06 ) 0 . 94
n ?1

x 0 . 06

? 0 . 94 ( a n ?

x 0 . 06

)

?

x 0 . 06 30 1 ? 0 . 94
n ?1

令 a n ? 60 , 解得 x ? ( 30 ? 上式右端是关于 故要对一切自然数

) ? 0 . 06 3 .6 过 3 . 6 万辆

n 的减函数

, 且当 n ? ? 时 , 上式趋于

n 满足 a n ? 60 , 应有 x ? 3 . 6 , 即每年新增汽车不应超

0 ? ? 例 11.已知奇函数 f ( x ) 在( ? ? ,) ( 0, ? )上有定义,在( f (1) ? 0 , 又 知函数 g (? ) ? sin
2

0, ? )上是增函数, ?

? ? m cos ? ? 2 m , ? ? [ 0 ,

?
2

], 集合

M ? m 恒有 g (? ) ? 0 , N ? m 恒有 f ( g (? )) ? 0 , 求 M ? N

?

?

?

?

分析:这是一道比较综合的问题,考查很多函数知识,通过恰当换元,使问题转化为二次函数在闭区间 上的最值问题。
解 ? 奇数函数 f ( x ) 在( 0, ? )上是增函数, ? ? f ( x ) 在( ? ? ,)上也是增函数。 0 ? g (? ) ? 0 ? ? g (? ) ? ? 1 ? g (? ) ? 0 又由 f (1) ? 0 得 f ( ? 1) ? ? f (1) ? 0 ? 满足 ? 的条件是 ? f ( g (? ) ? 0 ? f ( ? 1) 即 g (? ) ? ?( ? ? 0, ]),即 sin 1 ( 2 也即 ? cos
2

?

2

? ? m cos ? ? 2 m ? ? 1,

? ? mcor ? ? 2 m ? 2 ? 0 ?
2

令 t ? cos ? , 则 t ? [ 0 ,1], 又设 ? ( t ) ? ? t ? mt ? 2 m ? 2 , 0 ? t ? 1
1 要使 ? ( t ) ? 0 , 必须使 ? ( t ) 在 [ 0,]内的最大值小于零
?m ? 0 知m ?? ? ?? 2m ? 2 ? 0

1 当
0

0

m 2

? 0即 m ? 0时, ? ( t ) max ? ? ( 0 ) ? ? 2 m ? 2 , 解不等式组

2 当0 ?

m 2

? 1即 0 ? m ? 2时 , ? ( t ) max ?

m ? 8m ? 8
2

,

4

解不等式组

?0 ? m ? 2 ? 2 ? m ? 8m ? 8 ? 0得 4 ? 2 2 ? m ? 2 ? 4 ?

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3当

0

m 2

? 1即 m ? 2时, ? ( t ) max ? ? m ? 1, 解不等式组

综上: M ? N ? m m ? 4 ? 2 2

?

?m ? 2 ? ?? m ? 1 ? 0得 m ? 2

?

例 12.如图, 某隧道设计为双向四车道, 车道总宽 22 米, 要求通行车辆限高 4.5 米, 隧道全长 2.5 千米, 隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ,才 能使半个椭圆形隧道的土方工程最小? (半个椭圆的面积公式为 s=
2 ? 1 . 414 ,

?
4

lh , 柱体体积为:底面积乘以高,

7 ? 2 . 646 本题结果均精确到 0.1 米)

分析:本题为 2003 年上海高考题,考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解:1)建立如图所示直角坐标系,则 P(11,4.5) 椭圆方程为:
x a
44 7 7
2 2

?

y b

2 2

?1

将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程得
a ? , 此时 l ? 2 a ? 88 7
2 2

7

? 33 . 3 故隧道拱宽约为 33.3 米

2)由椭圆方程
? 11 a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1得

11 a

?

4 .5 b
2

2

?1

?

4 .5 b
2

2

?

2 ? 11 ? 4 . 5 ab 99 ? 2 9 2 2

,? ab ? 99 11 a
2 2

?s ?

?
4

lh ?

? ab
2

?

, 当 s 最小时有

?

4 .5 b
2

2

?

1 2

? a ? 11

2 ,b ?

此时 l ? 2 a ? 31 . 1, h ? b ? 6 . 4

故当拱高约为 6.4 米,拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.

例 13.已知 n∈N,n>1.求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题,但不一定选用数学归纳法,观其“形” ,它具有较好规律, 因此不妨采用构造数列的方法进行解.

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说明:因为数列是特殊的函数,所以可以因问题的数学结构,利用函数的思想解决. 例 14.已知函数 f ( x ) ?
( 2 ) 设 x是正实数,求证:

x ? 2x ? 2
2

x ?1

? f ? x ? 1 ?? n

? f x

?

n

?1 ? 2

?

n

? 2.

(1) 设 〈 x ? 1, 0 ? t ? 1, 求证: t ? x ? t ? x ? 0

f ?tx ? 1 ?

分析:本例主要复习函数、不等式的基础知识,绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将 函数不等式转化为代数不等式,利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明(1)再利用二项 展开式及基本不等式的证明(2) 。 证明: (1)? f ( x ) ?
? f ( tx ? 1) ? tx ? 1 tx
( x ? 1) ? 1
2

x ?1

? f ( tx ? 1) ? tx ?

1 tx

? tx ?

1 tx

?2

tx ?

1 tx

? 2 , 当且仅当 tx ? 1 时,上式取等号。

? 0 ? x ? 1, 0 ? t ? 1 ? tx ? 1, ? f ( tx ? 1) ? 2

s ? (t ? x ? t ? x

2

? 2 (t ? x ) ? 2 t ? x
2 2 2
2

2

? ( t ? x ? t ? x ) ? 2 (t ? x ) ? 2 t ? x
2 2 2 2

2

当 t ? x 时 , s ? 4 t ? 4;当 t ? x 时 s ? 4 x ? 4
2

? t ? x ? t ? x ? 2 ? f ( tx ? 1) 即 t ? x ? t ? x ? f ( tx ? 1)

(2) n ? 1 时,结论显然成立 当 n ? 2 时, ? f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ? ( x ?
n n

1 x

) ? (x ?
n n 2 n?4

1 x
n

) ? Cn x
n?2

1

n ?1

? 1

1 x

? Cn x ? Cn
n ?1

2

n?2

? 1

1 x
2

? .....

? Cn

n?2

x ?
2

1 x
n?2

? Cn

n ?1

x? x

1
n ?1

? Cn x

1

n?2

? Cn x

? ...... ? C n

? x

n?4

? x

n?2

1 ? 1 n?2 1 1 1 2 n ?1 n?4 n?2 ? C (x ? n?2 ) ? Cn (x ? n ? 4 ) ? .... ? C n ( x ? n?2 ? n 2? x x x

)

? ? ?

第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法

44

?

1 2

?2 ? ( C

1 n

? C n ? ... ? C n

2

n ?1

) ? C n ? C n ? ... ? C n

?

1

2

n ?1

? 2 ?2
n

例 15. (2001 年全国理)己知 i , m , n 是正整数,且 (1) 证明: n A m ? m A n
i i
n

1? i ? m ? n

i

i

(2) 证明:?1 ? m ? ? ?1 ? n ?
i

m

证明: (1) 对于 1 ? i ? m , 有 A m ? m .( m ? 1)......( m ? i ? 1), 同理
n?k n

Am m
i

i

?

m m

?

m ?1 m

?

m?2 m

......

m ?i?1 m

An n
i

i

?

n n

?

n ?1 n ? 2 n ?i?1 ? ...... 由于 m ? n , 对整数 k ? 1, 2 ,......, i ? 1, 有 n n n
,? An n
i i

?

m ?k m

?

Am m
i

i

即 m An ? n Am
i i n

i

i

(2)由二项式定理有 (1 ? m ) ?
(1 ? i ? m ? n ), 而 C n ?
i

?
i?0

n

m C n , (1 ? n )
i

i

m

?

?nC
i i?0

m

i m

, (1) 知 m A n ? n A m 由
i i

i

i

An i!
i m

i

,Cm ?
o o

i

Am i!

i

? m c n ? n C m (1 ? i ? m ? n )
i i
o o

i

i

因此 ? m C n ?
i i i? 2

m

?nC
i i? 2 i i

m

,又 m Cn ? n Cm
m i i

? 1, mC

1 n

? nC

1 m

? mn , m C n ? 0
i

i

(m ? i ? n) ?

?
i?0

n

m C n ? ? n C m 即 (1 ? m ) ? (1 ? n )
n i?0

m



(Ⅲ) 、强化训练
1.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.
7 3 8 3
0 .5

B.

C. 2
(x
2

D. 3
x

2.已知命题 p:函数 y ? log

? 2 x ? a ) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ? ( 5 ? 2 a )

是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 3. 解关于 x 的不等式
a? x x ?2 x ? 3
2

>0

4.求 a,b 的值,使得关于 x 的不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集分别是: (1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞). 5. 解关于 x 的不等式 1 ? a 6. (2002 北京文)数列 ?x n
2x

? a ? a ( a ? 0 且 a ? 1)
x

? 由下列条件确定: x
a ,

1

? a ? 0 , x n ?1 ?

1? a ? ? xn ? ?, n ? N ? 2? xn ? ?

?

(1)证明:对于 n ? 2 , 总有 x n ?

(2)证明:对于 n ? 2 , 总有 x n ? x n ? 1 .

第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法

45

7.设 P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1,若 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值,试求 x 的变化范围.
2

8.已知数列 ?a n ?的通项为 a n , 前 n 项和为 s n , 且 a n 是 s n 与 2的等差中项,数列 b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。

?b n ? 中,

? Ⅰ)求数列 ?a n ?、b n ?的通项公式

a n , bn
1 B1 1 B2 1 Bn

Ⅱ)设 ?b n ? 的前 n 项和为 Bn, 试比较

?

? ... ?

与 2的大小 。

Ⅲ)设 Tn=

b1 a1

?

b2 a2

? ... ?

bn an

, 若对一切正整数

n , T n ? c ( c ? Z ) 恒成立 , 求 c 的最小值

(Ⅳ) 、参考答案
1.解:画出图象,由线性规划知识可得,选 D 2.解:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x ? 2 x ? a 的判别式
2

? ? 4 ? 4 a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2 a ? 1 ? a ? 2 。

若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题。 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 3.分析:本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。 本题的关键是对分母分解因式,将原不等式等价转化为 ? x ? a ?? x ? 3 ?? x ? 1 ? ? 0 和比较 a 与 ? 1 及 3 的大小,定出分类方法。 解:原不等式化为: ? x ? a ?? x ? 3 ?? x ? 1 ? ? 0 (1) 当 a ? ? 1 时,由图 1 知不等式的解集为 ?x x ? a 或 ? 1 ? x ? 3 ? (2) 当 ? 1 ? a ? 3时,由图 2 知不等式的解集为 (3) 当 a ? 3时,由图 3 知不等式的解集为

?x x ? ? 1或 a ?

x ? 3?

?x x ? ? 1或 3 ?

x ? a?

4.分析:方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来, 相互转化和相互交通. 解(1) 由题意可知,a>0 且-1,2 是方程 ax2+bx+a2-1≤0 的根,所以

第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法

46

(3)由题意知,2 是方程 ax2+bx+a2-1=0 的根,所以 4a+2b+a2-1=0. 又{2}是不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集,所以



(4)由题意知,a=0.b<0,且-1 是方程 bx+a2-1=0 的根,即-b+a2-1=0,所以 a=0,b=-1. 说明:二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题 时,要注意三者之间相互联系相互渗透,并在一定条件下相互转换。 5.分析:在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧,通过换元,可将较复杂的不等式化归为 较简单的或基本不等式,通过构造函数,数形结合,则可将不等式的解化归为直观,形象的图象关系, 对含参数的不等式,运用图解法,还可以使得分类标准更加明晰。 解:设 t ? a ,原不等式化为 1 ? t
x

2

? a ? t ( t ? 0 )设 y 1 ?

1 ? t ( t ? 0 ), y 2 ? a ? t ,在同一坐标系中
2

作出两函数图象
? y1 ? y 2 , 故(1)当 0 ? a ? 1时 , 0 ? t ? 1, 即 0 ? a
x

? 1 ? x ? ?0 , ?? )

当1 ? a ?

2时 , 如右图 , 解方程
2

1? t
2

2

? a ? t得 t 1 ,2 ? 2?
a

a?

2?a 2

2

(2)
? a? 2?a 2 ?t? a? 2?a 2
2 时,原不等式的解集为φ

? x ? (log

2?a 2

2

, log

a?
a

2?a 2

2

)

(3)当 a ?

综上所述,当 a ? ( 0 ,1) 时,解集为 ?0 , ?? ) ;当 a ? (1, 2 ) 时,解集为
2?
a

(log

2?a 2

2

, log

2?
a

2?a 2

2

); 当 a ?

?

2 , ?? ) 时,解集为φ 。

6.证明: (1) x 1 ? a ? 0 及 x n ? 1 ?
? 当 n ? 2时 x n ?

1 2

(xn ?

a xn

) 知 x n ? 0 , 从而 x n ? 1 ?

1 2

( xn ?

a xn

)?

xn ?

a xn

?

a (n ? N ?)

a 成立

第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法

47

(2)当 n ? 2 时, x n ?

a ? 0 , x n ?1 ?

1 2

(xn ?

a xn

), ? x n ? 1 ? x n ?

1 2

(

a xn

? xn )

=

1 2

?

a ? xn xn

2

? 0 . ? n ? 2时 , x n ? x n ? 1 成立

7.分析:要求 x 的变化范围,显然要依题设条件寻找含 x 的不等式(组),这就需要认真思考条件中“t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值. ”的含义.你是怎样理解的?如果继续思考有困难、请换一个角 度去思考.在所给数学结构中,右式含两个字母 x、t,t 是在给定区间内变化的,而求的是 x 的取值范 围,能想到什么? 解:设 P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因为 P=f(t)在 top 直角坐标系内是一直线,所以 t 在区间[-2, 2]上变动时,P 恒为正值的充要条件

解得 log2x>3 或 log2x<-1.

说明:改变看问题的角度,构造关于 t 的一次函数,灵活运用函数的思想,使难解的问题转化为熟悉的 问题. 8.分析:本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解:Ⅰ) a n ? 2 , b n ? 2 n ? 1
n

Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n
? 1 B1 ?1? ? 2? ? 1 1? 2 1 n
1 2
1 2 Tn ? 1 1 2 2
2

2

1 B2

? ... ? 1 2?3 1 B1

1 Bn

?

1 1
2

? 1

1 2
2

?

1 3
2

? ... ?

1 n 1 2
2

?

? .. ? ? 1 B2
2

( n ? 1). n ? ... ? 1 Bn
n ?1 n

? 1 ? (1 ? ? 2

)?(

1 2

?

1 3

) ? ... ? (

1 n ?1

?

1 n

)

? 2?

Ⅲ)Tn=

?

3 2
2

?
3 2
3

5 2
2

? ... ?
5 2
4


2n ? 1 2
n ?1

2

?

? ?

? ... ? ? 1 2
3


2 2
n

①-②得 T n ?

1 2

1 2
2

?

2 2
3

? ... ?

?

2n ? 1 2
n ?1

第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法

48

? Tn ? 3 ?

1 2 ?
n?2

? ?

2n ? 1 2 4 2
3 n

? 3 7 ? 37 16
c ? 3。

又T4 ?

1 2

3 2
2

?

2

4

? 2

? 满足条件

Tn ? c 的最小值整数

第 9-12 课时课题:不等式问题的题型与方法

49


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