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2016届高三数学考前指导(知识梳理篇)


数学之战

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2016 届数学考前指导 “考前最后一眼”【知识提醒篇】
谨以此献给我们所热爱的数学和你们! ! !
一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如:{x | y ? lg x} —函数的定义域;{ y | y ? lg x} —函数的值域; { (x ,y ) | y ? lx g } —函数图象上的点集 .;{( x, y) | y ? lg x,x ? Z , y ? Z } ——函数图象上的整 数点集. 2.集合的性质: ① A ? A ; ? ? A (条件为 A ? B ,在讨论的时候不要忘了 A ? ? 的情况) ② CU ( A ? B) ? CU A ? CU B , CU ( A ? B) ? CU A ? CU B ; ③ A? B ? A ? A? B ? B ? A ? B ④ A ? B 元素的个数:card ( A ? B) ? card ? A? ? card ? B ? ? card ( A ? B)( card ( A) 表示集合

A 中元素的个数) n n ⑤ n 个元素的集合的子集个数为 2 ;真子集 (非空子集 )个数为 2 ? 1 ;非空真子集个数为 n 2 ?2.
⑥补集思想“正难则反”常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 4.原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ;互为逆 否的两个命题是等价的.如:“ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 条件.(答:充分非必要条件) 5.若 p ? q 且 q ?? p ,则 p (范围小)是 q (范围大)的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非 充分条件). 6.命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”;“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. 二.函数与导数 1.函数是“一对一或多对一“的对应;定义域和值域都是非空数集 2.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 3. 求定义域 :使函数解析式有意义取值集合 .( 如 :分母 ? 0 ; 偶次根式被开方数非负 ;对数真数 ? 0 ,底数 ? 0 且 ? 1 ;零指数幂的底数 ? 0 );实际问题有意义;若 f ( x) 定义域为 [a , b ] , 复合函数 f [ g ( x)] 定义域由 a ? g ( x) ? b 解出的不等式解集;若 f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] , 则 f ( x) 定义域相当于 x ?[a, b] 时 g ( x) 的值域. 4.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法;③换元法(常用,要注意新元的范围). ④基本不等式;⑤数形结合 基本思路:定义域→解析式结构的研究→单调性→极值→最值 5.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵代换(配凑)法; ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 6.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图 像法等; ⑵若 f ( x) 是偶函数,那么 f ( x) ? f ( ? x) ? f (| x |) ;定义域含零的奇函数必过原点 ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或
f (? x) f ( x)

? ?1( f ( x) ? 0) ;

f ( x) ? 0 定义域关于原点对称即可).

⑷若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个(如

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单 调性; ⑹定义在 R 上的函数 f ? x ? 都可以唯一地表示为一个奇函数和一个偶函数之和,即
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f ? x ? ? f (? x) f ? x ? ? f (? x) ? ? f ? x? ? g ? x? ? h ? x?? g ? x? ? 偶函数,h ? x ? ? 奇函数 ? 2 2 ? ?
⑺确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法 (用于小题)等. ⑻复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 7.函数图象的几种常见变换⑴平移变换: “左加右减” (注意是针对 x 而言) ; “上加下减”(注 意是针对 f ( x ) 而言).⑵翻折变换: f ( x) ?| f ( x) | ; f ( x) ? f (| x |) . ⑶对称变换:①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 图像上.②证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 C2 上, 反之亦然. ③若对 x ? R 时, f (a ? x) ? f (b ? x) 恒成立,则 y ? f ( x) 图像关于直线 x ?
a?b 2

对称;

④若对 x ? R 时, f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? 2b ,则函数 f ( x ) 图像关于点 P (a, b) 对称 ⑤函数 y ? f (a ? x) , y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ?
b?a 2

对称(由 a ? x ? b ? x 确定);

注意:③④中是函数自身的对称(如偶函数、奇函数、二次函数都是函数图象本身具有对称 性) ,但⑤是两个函数相互的对称(如 y ? 2x 与 y ? 2? x 这两个函数关于 y 轴对称) 8.函数周期性 a a ⑴若 f ( x ) ? f ( x ? a ) ,或 f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,则 f ( x ) 的周期 T ? a ;

2 1 1 ⑵若 f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ; f ? x ? a ? ? ; f ? x ? a? ? ? ; 则 f ( x) 的周期 T ? 2a ; f ? x? f ? x?
⑶若 f ? x ? 具有双重对称性:那么周期可以联想 y ? sin x 的对称性和周期性 9.指数和对数式 m log N ⑴ a ? n ? 1 , ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a a ? N . m an 0 ⑵ a ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1 , loge x ? ln x
log a b ? log c b ,. log b n ? n log b .(对数要注意真数大于 0) a am m log c a

2



10.指数、对数、幂函数 ⑴ y ? a x , y ? loga x, y ? x? (注意这三个函数的 x 的位置, a ? 0且a ? 1, ? ? R ) ⑵指、对数函数性质的研究要注意对 0 ? a ? 1, a ? 1 讨论) ;对数函数要注意真数大于 0. 11.方程 k ? f ( x) 有解 ? k ? D ( D 为 f ( x) 的值域); a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]最大值 ,

a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]最小值 .
12.恒成立问题的处理方法:⑴直接分类讨论(可以先用区间端点值压缩参数取值范围)求 函数最值,再解关于参数的不等式⑵分离参数法(优先考虑) (3)关于“谁”恒成立,“谁” 就是主元. 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看 法”: 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;②顶点式:

f ( x)? a( x ? 2 h ) ? k( a ? ; 0 ) ③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (偶尔使用)
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 ? ? 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.求解抽象函数问题的常用方法是: (1)常见抽象函数模型 ①正比例函数型: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .

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②指数函数型: f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ), f ( x ? y ) ?
x

f ( x) f ( y)

, f (1) ? a ? 0 .

③对数函数型: f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ), f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) , f ?1? ? 0
y

④幂函数型: f ( xy ) ? f ( x) f ( y ), f ?(1) ? ? , f ( ) ?
y

x

f ( x) f ( y)

.

(2)利用函数的性质定义(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究: (3)利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) ) 进行逻辑探究。 17.函数 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc ) 的图像是双曲线:①两渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为零
cx ? d c

确定)和 直线 y ?
b

a (由分子、分母中 x 的系数确定);②对称中心是点 (? d , a ) ; c c c
b a

18.函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) :增区间为 (??, ?
x

],[

b a

, ??) ,减区间为 [?,

b a

,0),(0,

b a

].

19.函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义是指: 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的 斜率, 即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) , 切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .(要注意“过”和“在”的区别) 20. 常 见 函 数 的 导 数 公 式 : C ? ? 0 ( C 为 常 数 ) ; ( xn )? ? nxn?1 (n ? Q) . (sin x)? ? cos x ;

(cos x)? ? ? sin x ;

? ? ax l a (a x ) n ; (e x )? ? e x ; (loga x)? ? 1 loga e . (ln x)? ?
x

1

21.导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u? ? v? ; (uv)? ? u?v ? uv? ; ( )? ?

u v

x u?v ? uv? v
2

.

? ? xf ? x ? ? ? ' ? f ? x ? ? xf ' ? x ? 、 ?

f '? x? ? f ? x? ? ? 复合函数的导数:y? x ? yu ? u x . ex 22.根据函数单调性求参数取值范围时,要注意单调增(减) ? f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )
x x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ?? ? 、? x ? ' ? ?e f ? x ? ? ?' ? e ? ? e ?

f '? x? x ? f ? x? ? f ? x? ? 、 ?' ? x2 ? x ?

? f ? x? ?

23.求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根;③根据根左右的正 负变换,判断单调性;④极值逆向求解时,要注意 f ' ? x ? ? 0 的根不一定是极值,要检验. 三、三角函数 1.弧长公式: l ?| ? | r ;扇形面积公式: S扇形 ? 1 lr ? 1 | ? | r 2 ; 1 弧度( 1rad )≈ 57.3 ? .
x? co xs 2.注意“正、余弦三兄妹 s i n 、 sin x ? cos x ”的关系. 2 如 (sin x ? cos x) ? 1 ? 2sin x cos x 等.以及齐次式的构造(弦化切) 3.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; (注意:公式中始终视 ) ...? .为锐角 ... .
2 2

4.角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角 等变换.如: ? ? (? ? ? ) ? ? ; 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; ? ? ? ? ?
?? ?
2

? ?

?? ?

?? 6? 6

? (? ?

?
2

? “1 ”的变换: 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin 30? ? tan 45? ; )? ( ? ? 等; )
2

7.重要结论: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) 其中 tan ? ? 及 a , b 正负) ;
a

b

重要公式 sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ?
2

1? c o s ?2 2



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万能公式: sin 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

; cos 2? ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
2

; tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

.

8.三角式变换主要有: 三角函数名互化(切化弦、 弦化切)、 三角函数次数的降升(降次、 升次)、 运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、 看函数、 看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切为弦,用倍角公式将高次降次. 9.三角函数的图象及性质 解析式 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 {x|x∈R,且 x≠kπ+ π ? ,k∈Z? 2 ? R 2π 奇函数 π π? 在? ?kπ-2 ,kπ+ 2? 内 是增函数(k∈Z)

定义域 值域 周期 奇偶性

R [-1,1] 2π 奇函数 π π? 在? ?2kπ-2 ,2kπ+ 2? 上是增函数; π 3 ? 在? ?2kπ+2 ,2kπ+ 2π? 上是减函数(k∈Z)

R [-1,1] 2π 偶函数 在[2kπ-π,2kπ]上是增函 数;在[2kπ,2kπ+π]上是 减函数(k∈Z)

单调性

对称轴 对称中心

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

x ? k? (k ? Z )

(k? , 0)(k ? Z )

( k? ?

?
2

, 0)(k ? Z )

(

k? , 0)(k ? Z ) 2

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题 勿忘三内角和等于 180? ,任两边之和大于第三边 一般用正、余弦定理实施边角互化;正弦定理: 余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ?
2

a sin A
2

?
2

b sin B

?

c sin C
2

? 2R ;
2

b ?c ?a 2bc

?

(b ? c ) ? a 2bc

?1;

正 弦 平 方 差 公 式 : sin 2 A ? sin 2 B ? sin( A ? B)sin( A ? B) ; 三 角 形 的 内 切 圆 半 径

r?

2S?ABC a?b?c


1 abc 4R

面积公式: S? ? ab sin C ?
2 A 2

;射影定理: a ? b cos C ? c cos B .

10. ?ABC 中,易得: A ? B ? C ? ? ,① sin A ? sin( B ? C ) , cos A ? ? cos( B ? C ) ,

tan A ? ? tan( B ? C ) .② sin

? cos

B?C 2

, cos

A 2

? sin

B?C 2

, tan

A 2

? cot

B?C 2

.

③ a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ④锐角 ?ABC 中, A ? B ?
?
2

, sin A ? cos B,cos A ? sin B , a 2 ? b 2 ? c 2 ,类比得钝角 ?ABC 结

论.⑤ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 11.角平分线性质定理: 若 AD 是 ?ABC 的角 A 平分线, 则有

??? ? ???? ???? ???? AB BD AB?AD AC ?AD ; ? ??? ? ? ???? AC CD AB AC

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四、平面向量

1.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) .

?

?

(1) a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;(2) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? ?

?

?

? ?

??? ??? ? ??? ? ??? ? AB 2.三点 A、B、C 共线 ? AB ? ? AC 共线;与 AB 共线的单位向量 ? ??? . | AB | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 向量 PA 且 、 PB、 PC 中三终点 A、 B、 C 共线 ? 存在实 数 x、 y 使得: PA ? x PB? y PC

x ? y ? 1.

3.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任 一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

??

?? ?

?

?

? ?

?? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| a || b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2 ; 其几何意义是 a ? b 等于 a 的长 ? ? ? ? ? ? ? a ?b 度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影 | a | cos? ? ? . |b| ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5. ? a, b? 为 锐 角 ? a ? b ? 0 , a, b 不 同 向 ; ? a, b? 为 直 角 ? a ? b ? 0 ; ? a, b? 为 钝 角 ? ? ? ? ? a ? b ? 0 , a, b 不反向.
7.平面向量数量积的坐标表示:⑴若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ; ⑵若 a ? ( x, y) ,则 a ? a ? a ? x2 ? y2 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 9.三角形中向量性质:① AB ? AC 过 BC 边的中点 D ,即 AB ? AC ? 2 AD ② PG ? ( PA ? PB ? PC) ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G 为 ?ABC 的重心; 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PA ? PC ? P 为 ?ABC 的垂心; ??? ??? AB AC ④ ? ( ??? ? ??? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 内心.
| AB | | AC |

?

?

? ?

??? ? | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;

?

?2

? ?

??? ?

1

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ???? ?

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? S? ABC 1 1 ??? ? ???? = tan A cos A ,即 ??? ⑤ S?ABC ? | AB || AC | sin A , AB?AC ? AB ? AC ? 2 AB?AC 2
⑥若 O 为 ?ABC 外心,则有 OA ? OB ? OC ; AB?AO ? 五、不等式 1.不等式性质 :①若 ab ? 0 , b ? a ,则
1 a

??? ?

??? ?

???? ??? ? ????

? 2 ???? ???? 1 ???? 2 1 ??? AB , AC ?AO ? AC 2 2

? .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号
b

1

方向要改变.②如果对不等式两边同时乘以一个代数式 ,要注意它的正负号,如果正负号未定, 要注意分类讨论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、分式不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注 意用分类讨论的思想解含参数的不等式;分式不等式要注意分母不为 0 ? 0 所表示的平面区域:两直线 3. ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 所成的对顶角区域(上下或左右两部分).
4、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义: (1) ax ? by ,“截距函数”,若 b ? 0 ,直线在 y 轴上的截距越大,z 越大,若 b ? 0 ,直线在 y 轴上的截距越大,z 越小. y y?m (2) ,表示过两点 ? x, y ? , ? n, m ? 的直线的“斜率函数”,特别 表示过原点和 ? n, m? 的 x x?n 直线的斜率. (3)? x ? m? ? ? y ? n ? ,表示点(x,y)到点(m,n)的距离平方,也可以认为是圆心固定,
2 2

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半径变化的动圆 (4)

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

,“点线距离函数”,表示点 ( x0 , y0 ) 线 Ax ? By ? C ? 0 距离;

(5)如果可行域的边界含有曲线,需要用求导求出切线的斜率(要注意切点是否在区域内) 5.掌握重要不等式,(1)均值不等式:若 a, b ? 0 ,则 a ? b ? ab (当且仅当 a ? b 时
2

取等号)使

用条件:“一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等;(2) a, b, c ? R , a 2 ? b2 ? c 2 ? a b? b c ? (c a 且 仅 当 a ? b ? c 时 , 取 等 号 ) ; (3) 公 式 注 意 变 形 如 : 当
a ?b 2
2 2

?(

a?b 2

) 2 , ab ? (
2

a?b 2

)2 ;(4)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ?
a

b

b?m a?m

(真分数的性质); (5)有时

也会用到 ? a ? b ? ? 0 ,即 a 2 ? b2 ? ?2ab 6.证明不等式常用方法:⑴比较法:作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B .注意:若两个正数作差 比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小;⑵综合法:由因导果;⑶分析法:执果索 因.基本步骤:要证… 需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反;⑸放缩法:将不等式一侧 适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有:①添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ?| a | ;
n(n ? 1)

? n .②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如: n(n ? 1) ?
0

n ? (n ? 1) 2
1

.④利
? ;
k 1

用常用结论:1

k ?1 ? k

?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k

;2

0

1 k

?

1 k ?1

?

1 ( k ? 1) k

?

1 k
2

?

( k ? 1) k

?

1 k ?1

⑹换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三 ? ; 知 x2 ? y 2 ? 1 , 可设 角 换元 代数换 元 . 如:知 x2 ? y 2 ? a2 , 可 设 x ? acos? , y ? a sin
x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 ); (7)“1”的代换:如

a x

?

b y

? 1 ,求 ma ? nb 的最小值

b bx 型,可直接用不等式性质;② y ? 2 2 k?x x ? mx ? n 2 x ? m?x ? n? 型,先化简,再用均值不等式; ③ y ? 2 型,分离变量后,转化为第(2)中类 x ? mx ? n x 2 ? m?x ? n? 型④ y ? 型, 可先换元后用均值不等式法; (如果等号不成立可以用求导解决) mx ? n
7.分式函数利用不等式求最值① y ? 8.多元问题:①消元:要注意消元比限元;②构造齐次后整体处理;③条件为不等式组考虑 线性规划(用图形来解决) 六、数列 ? ?S1 (n ? 1) 1.由 Sn 求 an , an ? ? 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中 * ? ?Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N ) 2.等差数列 {an } ? an ? an?1 ? d ( d 为常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *) (注意:证明只能用 ? an ? an ? b(a ? d , b ? a1 ? d ) ? Sn ? An2 ? Bn( A ? , B ? a1 ? ) ;
2 2 d d

定义法和中项法) 3.等差数列的性质: ① an ? am ? (n ? m)d , d ?
am ? an m?n



② m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? ak ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ; 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 有

am ? an ? 2a p ;
③若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan ? tbn } ( k 、 t 是非零常数)是等差数列; ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍是等差 数列;
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⑤等差数列 {an } ,当项数为 2 n 时, S偶 ? S奇 ? nd , S 奇 ? a n ;项数为 2 n ? 1 时,
S偶 a n ?1

, S2 n ?1 ? (2n ? 1)an ,且 S 奇 ? n ; An ? f (n) ? an ? f (2n ? 1) . S偶 ? S ?中 a ? na ( n? * N ) 奇
S偶 n ?1
Bn bn

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不 ?an ? 0 ?an ? 0 等式 : ? (或 ? ).也可用 Sn ? An2 ? Bn 的二次函数关系来分析. ?an ?1 ? 0 ?an ?1 ? 0 4.等比数列 {an } ? 5.等比数列的性质 ① an ? amqn?m ,②若 {an } 、 {bn } 是等比数列,则 {kan } 、 {anbn } 等也是等比数列;
?na 1 (q ? 1) ?na 1 (q ? 1) ? n ③ S n? ? ; ④ m ? n ? l ? k ? am an ? al ak (反之 ? a ? a q ? a 1 (1 ? q ) ? a1 n a1 1 n ? q ? (q ? 1) ? ( q ? 1) ? 1? q ? 1? q 1? q ? 1? q ?
an ?1 an
2 ? q(q ? 0) ? an ? an ?1an ?1 (n ? 2, n ? N *) ? an ? a1q n ?1 .

不一定成立); Sm? n ? Sm ? q m Sn ? Sn ? q n Sm . ⑤等比数列中 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? (注: 各项均不为 0)仍是等比数列. ⑥等比数列 {an } 当项数为 2 n 时,
S偶 S奇

? q ;项数为 2 n ? 1 时,
a
a

S 奇 ? a1 S偶

?q.

6.①如果数列 {an } 是等差数列,则数列 { A n } ( A n 总有意义)是等比数列;如果数列 {an } 是等 比数列,则数列 {loga | an |}(a ? 0, a ? 1) 是等差数列; ②若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列; ③三个数成等差的设法:a ? d , a, a ? d ; 四个数成等差的设法:a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ; 三个数成等比的设法: , a , aq ;
q a

7.数列的通项的求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. ?S1 ,(n ? 1) ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an 用作差法: an ? ? . ?Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2) ? ? f (1),(n ? 1) ⑶已知 a1 ? a2 ?? ? an ? f (n) 求 an 用作商法: an ? ? f ( n ) ,(n ? 2) . ? ? f ( n ? 1) a ⑷若 an ?1 ? an ? f (n) 求 an 用迭加法. ⑸已知 n ?1 ? f ( n) ,求 an 用迭乘法.
an

⑹ 已 知 数 列 递 推 式 求 an , 用 构 造 法 ( 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ) : ① 形 如
n an ? kan ?1 ? b , an ? kan?1 ? b ,( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k

的等比数列后,再求 an .②形如 an ?

an ?1 kan ?1 ? b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法:①公式法:等差数列,等比数列求和公式;②分组求和法;③倒序相加; ④错位相减;⑤分裂通项法.常见裂项公式 常见放缩公式: 2(
n ? 1 ? n) ? 2 n ?1 ? n

1 n ( n ? 1)
1 n

?

1 n
2

?

1 n ?1



1 n( n ? k )

? ( ?
k n

1

1

1 n?k

);

?

?

n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1) .

9、分类讨论的思想: (1)由 s n 求a n . an ? ?

?

s1 (n ? 1)

? S n ? S n ?1 (n ≥ 2)
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? na1 (q ? 1) ? na1 (q ? 1) ? ? n (2)等比数列的求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) ,或 sn ? ? a1 ? an q ? 1 ? q (q ? 1) ? 1 ? q (q ? 1) ? ?
(3)项数 n 分奇数、偶数讨论.如含有 ? ? 1? 10、从特殊到一般的思想(“归纳、猜想”) 从一般到特殊的思想: n ? N 时成立,则 n=1,2 也应该均成立,再将所求参数值回代 检验. 11、解方程组思想:① an、a1、 sn、d、n 五个变量“知三求二”.②等差(比)数列含有三项…
*
n

构成一个新数列,即转化为多字母的方程是否有正整数解. 七.直线和圆的方程 1.直线的倾斜角 ? 的范围是 [0, ?) ; 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 k ? tan ? (? ? ) (如右图): (解不等式用)
2

k

?

3.直线方程五种形式:

O

? ? ?

① y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 与 x ? x0 同时考虑;② x ? my ? x0 与 y ? 0 同时考虑 ③

x y ? ? 1 与 y ? kx 同时考虑 a b

4.直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系: ⑴平行 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距); ⑵相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ;(3)重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 . 5.直线系方程:①过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 .交点的直线系方程 可设 为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ;②与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系 方程可设为 Ax ? By ? m ? 0( m ? c) ;③与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程可设为 Bx ? Ay ? n ? 0 . 6.点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式 d ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

; .

两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离是 d ? 7.⑴圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

C1 ? C2

A2 ? B 2 ⑵圆的一般方程:
E 2 1 2

x2 ? y 2 ? D x? E y ? F 0 ?(

2

D ? 2 E4 ?

D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程 F 0 ? ) .特别提醒:只有当
D 2 D ? E ? 4 F 的圆(二元二次
2 2

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 (? , ? ) ,半径为

方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆 ? A ? C ? 0 ,且 B ? 0, D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ). ⑶圆的第二定义:若 A, B 为定点, P 为动点,且满足 PA ? ? PB ? ? ? 1? ,则 P 点轨迹为 圆且圆心在直线 AB 上. ⑷以 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ; 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 P( x0 , y0 ) 及圆的方程
2 2 ( x ? a) ? ( y ? b2) ? r .① ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆外;

② ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆内;③ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆上. 12. 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 点 P( x0 , y0 ) 在 圆 x2 ? y 2 ? r 2 上 , 则 过 点 P 的 切 线 方 程 为 :

x0 x ? y0 y ? r 2 (填空题直接用)
13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么要考虑斜率不存在.
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14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角 形解决弦长问题.① d ? r ? 相离 ② d ? r ? 相切 ③ d ? r ? 相交 15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系 .设两圆的圆心距 为 d , 两 圆 的 半 径 分 别 为 r, R : d ? R ? r ? 两 圆 相 离 ; d ? R ? r ? 两 圆 相 外 切 ; | R ? r |? d ? R ? r ? 两 圆 相 交 ; d ?| R ? r |? 两 圆 相 内 切 ; d ?| R ? r |? 两 圆 内 含 ; d ? 0 ? 两圆同心. 16.过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的圆(相交弦) 系方程为 ( x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 . ? ? ?1 时为两圆公共弦 所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心 距构成直角三角形,切线长定理). 八、圆锥曲线方程 1.圆锥曲线的两个定义,及其“括号”内的限制条件,在圆锥曲线问题中,如果涉及到其 两焦点(两相异定点),那么将优先选用圆锥曲线第一定义;如果涉及到其焦点、准线(一定点 和不过该点的一定直线)或离心率,那么将优先选用圆锥曲线第二定义;涉及到焦点三角形 的问题,也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用. (1)注意:①圆锥曲线第一定义与焦点三角形结合的使用②圆锥曲线第二定义是:“点点 距为分子、点线距为分母”,椭圆 ? 点点距除以点线距商是小于 1 的正数,双曲线 ? 点点 距除以点线距商是大于 1 的正数,抛物线 ? 点点距除以点线距商是等于 1.③圆锥曲线的焦 半径公式如下图:

a ? ex

a ? ex

a ? ex
?(a ? ex)

?(a ? ex)

x?

p 2

a ? ex

2.圆锥曲线的几何性质:圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、
2 2 圆锥曲线的变化趋势.其中 e ? c ,椭圆中 b ? 1 ? e 、双曲线中 b ? e ? 1 .重视“特征直

a

a

a

角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其?顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关 的几何性质?”
2 d?b c

d?b c

2

抛物线

p ? 2b a

2

2p
p

?? ???
双曲线

椭圆

2 p ? 2b a

3. 椭 圆 焦 半 径 公 式 : 设 P( x0 , y0 ) 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 任 一 点 , 焦 点 为 a 2 b2 F1 (?c , 0, )F2 (c,0) ,则 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 (“左加右减”)(解答题用统一定义推导、双

曲线、抛物线的焦半径公式用定义推导即可不需要记忆) 4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或 AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = 1 ? 1 y1 ? y2 (要注意弦所在直线是否过焦点、定点、中心) k2 5.轨迹求解方法 ⑴直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) ? 0 ,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方 程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义, 则由曲线的定义直接写出方程.
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6.设而不求 x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ,过中线的直线交椭圆于 A, B , P 为椭圆上任意一点,若斜率存在的 a b

kPB 情况下有: k PA ?
九、立体几何

b2 b2 ? ? 2 ,若 M 为线段 PA 的中点,则 kMO ?k PB ? ? 2 a a

a // b ? ? // ? ? ? 1. 常用定理:①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; ? ? a // ? ; a ? ?? a ? ?? ?

②线线平行: a ? ?

? // ? ? ? a ? ?? a // b ? ? ? ; ; ? a // b ? ? ? ? a ? a // b ? ? ? a // b ; a // c ? ? c // b ? b ? ? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b? ? ?

a // ?

平几方法(相似比、中位

线) a ? b, a ? c, a, b, c ? ? ? b / / c
a ? ? ,b ? ? ? PO ? ? ? 0 a ? ?? ? ③面面平行: a ? b ? O ? ? ? ? // ? ;④线线垂直: ? ? a ? b ;所成角 90 ; a ? ? ? ? a ? PA b ? ?? ? a // ? , b // ? ? a ? AO ? ?

⑤线面垂直: a ? b ? O

??? ? a ? ?,b ? ? ? ? ? ; ;⑥面面垂直:二面角 ? ? ? ? l ? l ? ? ??a ? ? ? ? a ? ? , a ? l l ? a, l ? b ? ? ?

900;

a ? ?? ??? ? ? ; a ?? ?

2.圆锥的侧面展开图是扇形(弧长 l ? ? r ) ;侧面展开图求距离最小值问题 3.柱体和椎体体积公式的不同;正六棱锥、正棱柱底面为正六边形.(直棱柱:侧棱垂直 于底面;正棱柱是特殊的直棱柱,底面是正多边形;正棱锥顶点在底面上的射影为底面 正多边形的中心) 4.侧面或底面复杂时,应该将其重新画成平面图形单独研究,可以建系或用解三角形的 知识(如余弦定理) 5.若点(线)…,有线面平行或垂直,此时应该先找出点再证明;如果找不到,应该用 反证法 (假设有平行或垂直得到矛盾) 6.翻折问题要注意折痕两侧的长度和角度的变换. 十、算法 1. 选择结构的流程图多与分段函数有关;循环结构的流程图多与累加或累乘问题有关 2. 循环结构的流程图或伪代码要注意: S ? S ? I 与 I ? I ? 1 先后顺序不同,对最 后结果的影响 3. 循环结构的流程图或伪代码要注意退出循环时的 S 和 I 的值以及题目最后输出的 是 S 还是 I ? 十一、统 计 1.抽样方法:(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的 主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中 有明显差异.共同点:每个个体被抽到的概率都相等( n ) N 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计; 用样本方差的大小估计总体数据波动 性的好差(方差大波动差).公式如下: 1 n 1 n 1 n 1 n x ? ? xi , S 2 ? ? ( xi ? x)2 ? (? xi2 ) ? ( ? xi )2 , S ? S 2 (标准方差) n i ?1 n i ?1 n i ?1 n i ?1 样本数据做如下变换 xi ' ? axi ? b ,则 x ? ax ? b , (S ?) ? a S .
' 2 2 2

总体估计还要掌握:(1)一“表”(频率分布表)一“图”(频率分布直方图). 注意:直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商 (而不是频率),横轴一般是
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数据的大小,小矩形的面积表示频率. 十二、概率 1.古典概型和几何概型:基本事件都是等可能的;古典基本事件有限个、几何基本事件无限 个. 2.几何概型:一元问题测度是长度或角度;二元问题测度是面积(与线性规划有关) 3.事件的理解是关键;前 160 的填空题中多用树形图或列举法;复杂事件可以用互斥事件分 类或对立事件转化. 十三、复数 1. 复数是纯虚数的条件: ① z ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0 且 b ? 0(a, b ? R) ; ② z 是纯虚数 其中 z ? a ? bi ) ?z ?z ? 0 ( z ?0() 2. z1 ?z2 ? z1 ?z2 ;

z z1 ? 1 、 z1 ? z2 的几何意义为这两个复数终点的距离 z2 z2
1? i 1? i

3.注意以下结论:⑴ (1 ? i)2 ? ?2i ;⑵

?i,

1? i 1? i

? ?i ;⑶ i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 ? 0(n ? N ) ;

十四.推理与证明 1.类比推理:等差与等比、平面几何与立体几何、圆与椭圆、椭圆与双曲线等. 2.证明方法:用分析法和反证法要注意证明的格式.

特别提醒: 要注意填空题的 答案的表述要规范! 解答题 过程要全面而严谨!

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“考前最后一眼”【附加篇】
一、矩阵

?cos θ -sin θ? 1.旋转矩阵:? ; ?(逆时针转) ?sin θ cos θ? 2.切变变换:
(1)点的终坐标不变,横坐标变成原来的 k 倍,故矩阵 ? (2)点的横坐标不变,纵坐标变成原来的 k 倍,故矩阵? 3. 二阶矩阵与二阶矩阵的乘法

?k 0 ? ? 表示 x 轴方向上的切变变换 ?0 1?

?1 0?表示 y 轴方向上的切变变换 ? ?0 k ?

?a11 ? ?a21

a12 ? ?b11 ?? a22 ? ?b21

b12 ? ?a11b11 +a12b21 a11b12 +a12b22 ? ??? ? b22 ? ? a21b11 +a22b21 a21b12 +a22b22 ?
-b ? ad ? bc ? ?. a ? ? ad ? bc ?
?1 ?1

4. 逆矩阵:

? d ? ad ? bc (1)基本公式 A?1 ? ? ? -c ? ad ? bc ?

(2) 若二阶矩阵 A、 B 存在逆矩阵, 则 AB 也存在逆矩阵, 其中 ? AB ? = B?1 A?1 ,? BA? = A?1B?1 . 5. (1)对于给定矩阵 M,如果存在一个非零向量 a 和实数 λ,使得 Ma=λa,则称 λ 是矩 阵 M 的特征值,a 是矩阵 M 的属于特征值 λ 的特征向量. (2) M n ? ? M n ? m?1 ? n? 2 ? ? m M n?1 ? n M n? 2 ? m? n?1 ? n? n? 2 二、参数方法及极坐标

?

? ?

?

? ? 2 ? x2 ? y2 ? x ? ? cos ? ? 1.互化公式: ? ;? ;极坐标 A ? ? ,? ? y ? y ? ? sin ? ? tan ? ? ( x ? 0) x ?
2. 直线的极坐标方程: ①过极点且与极轴成 ? 角: ? ? ? ; ②平行于极轴,和极轴的距离为 a : ? sin ? ? a ; ③垂直于极轴,和极轴的距离为 a : ? cos ? ? a ; 3. 圆的极坐标方程: ①圆心在极点,半径为 r : ? ? r ; ②圆心 ( r , 0) ,半径为 r : ? ? 2r cos ? ; ③圆心 (r ,

? ) ,半径为 r : ? ? 2r sin ?
2

4.常见曲线的参数方程: (1)过点 M ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数). y ? y ? t sin ? 0 ?

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(2)圆心在 O1 (a, b) ,半径为 r 的圆的参数方程为 (3)椭圆

? x ? a ? r cos? (? 为参数) . ? ? y ? b ? r sin ?

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1 的参数方程是 ? ( ? 为参数). 2 a b ? y ? b sin ?

三、不等式选讲 1.柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α· β|(等号成立条件为:两个向量共线时) (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(等号成立条件为:ad=bc) 2. 设 a1 , a2 ,..., an 为正数,则有 等号成立) 四、空间向量 1.角 角 直线倾斜角 异面直线所成的角 cos ? ? cos ? e1 , e2 ? 。 范围

a1 ? a2 ? ... ? an n ? a1 ? a2 ? ... ? an (当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 时 n

?0,? ?
?? ?? ?

? 0,90

o

? ?

? ? | n?a | 直线与平面所成的角 sin ? ? | cos ? | ? ? ? | n |?| a | ?? ?? ? 二面角 cos ? ? cos ? n1 , n2 ? (先求绝对值,再判定正负)
向量的夹角 2.点到平面的距离 d ?| PA | ? sin ? ?| PA | ? | cos ? PA, n ?|

? ? ?0,90 ? ?

?0, ? ? ?0, ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?

3.直线上一动点、棱(线段)上一动点的区别 五、排列组合、二项式定理 1、计数原理:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的 且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步相乘(一步得出的 结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了, 才能完成这件事,各步是关联的) ,有序排列,无序组合.
m 2、排列数公式: An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
m 3、组合数公式: C nm ? An ?

n! ( n ? m )!

(m≤n,m、n∈N*),

m!

n! n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) = m!( n ? m )! (m≤n), m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?1

4、组合数的性质: C

m n

n ?m m m m?1 k k ?1 ; Cn ; kCn ? Cn ? nCn ?1 ? Cn ? Cn ?1 (用时要推导)

5、主要计数方法: ①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先。.②相邻元素捆绑法 ③不相邻元素插空法 ④先选后排,先分再排(注意等分分组问题)⑤部分元素顺序一定时,排列时应将顺序除去,
0 n 1 n ?1 k n ?k k n n 6、二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N? ) 称为
k k n ?k k 二项式定理,其中 Cn 叫做二项式系数, Tk ?1 ? Cn a b (其中 0 ? k ? n,k ? N,n ? N? )

称为二项展开式的通项公式.
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7、二项式系数的性质:
k n?k 性质 1.与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 Cn . ? Cn

性质 2.当 n 为偶数时,展开式的项数为奇数,此时,中间一项的二项式系数最大;当 n 为奇数时,展开式的项数为偶数,此时,中间两项的二项式系数相等且最大. 0 1 2 2 k k n n 性质 3.由 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? Cn x ,
0 1 k n 令 x ? 1 ,得 Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn ? 2n ,二项式系数的和为 2 .
n

n ?1 n ?1 时,二项式系数 C r 时,C r n 的值逐渐增大,当 r ? n 的值逐渐减小,且 2 2 n n 在中间取得最大值. 当 n 为偶数时, 中间一项 (第 +1 项) 的二项式系数 C n2 取得最大值. 当 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n 为奇数时,中间两项(第 和 +1 项)的二项式系数 Cn 2 ? Cn 2 相等并同时取 2 2
8.当 r ? 最大值. 9、杨辉三角:下面的数表称为杨辉三角

1 2 n ?2 n ?1 其中第 n 行是 1, Cn , Cn ,?, Cn , Cn ,1 .

六、概率分布及期望 1.离散型随机变量概率分布列的性质: (1) pi ? 0 (2) p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1 ,i ? 1 , 2, ?,n ; (2) E ? X ? ?

? X p 、V ? x ? ? E ? x ? ? E ? x ?
2 2

n

i ?1

i

i

2.独立充分试验与二项分布 (1)独立重复试验:在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. (2)二项分布:一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X ,在每次试验 中事件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k , k ? 0,1, 2,?, n .此 时称随机变 量 X 服从二项 分布,记 作

X ? B(n, p) ,并称 p 为成功概率. (3)二项分布的均值和方差:若 X ? B(n, p) ,则 EX ? np , DX ? np(1 ? p) .
七、数学归纳法 1.验证初始步要注意不一定从 n ? 1 开始 2.假设 n ? k 后面一定要注上 k 的取值范围 3.证明 n ? k ? 1 时一定要用上 n ? k 时的结论,最后一定要有综上所述.

特别提醒:要注意附加 4 选 2 的答题过程要 严谨不要跳步骤!
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常州市第一中学 2014 届数学考前指导 “考前最后一眼”【方法提醒篇】
随着高考临近,在最后调整阶段,如何科学地、合理地、高效率地安排好数学复习,对 高考成绩将起到很大作用。现提出如下建议: 一、最后两天做什么? 1.梳理知识,形成网络,注意覆盖面,不能有死角(可以结合下面的知识提醒) 2.梳理方法,形成体系,重解题建模,同类用同法。 3.理性思考,清醒做题,一追到底,会而不失分 思考解题前的审题与解题表述的时间比,能否做到慢审题快解题,数学题中的字是“一字 值千金” 第一步(细心)
划出显性条件

第二步 (依据)
分析隐性条件

第三步(规范)
格 式

解 题


分出几段完成

表 述
语言转为符号

段 落 步 骤 计 算



4.缩小范围,注重交流,轻松而愉快,作三种准备 (1)缩小复习范围,明确知识的疏漏 (2)轻松愉快复习,轻装奋进 (3)作好三种准备,分层应对要比糊涂应对好 (一)是遇到浅卷的心理准备,比审题,比步骤,比细心; (如 13 年高考) (二)是遇到深卷的心理准备,比审题,比情绪,比意志; (如 12 年高考) (三)是遇到新题的心理准备,比审题,比分析,比联想. (总有新题,新问法) 二、考前注意什么? 1.考前做“熟题”找感觉 挑选部分有代表性的习题演练一遍, 体会如何运用基础知识解决问题, 提炼具有普遍性 的解题方法,以不变应万变最重要。掌握数学思想方法可从两方面入手:一是归纳重要的数 学思想方法;二是归纳重要题型的解题方法。还要注意典型方法的适用范围和使用条件,防 止形式套用时导致错误。 顺应时间安排:数学考试安排在下午,最后两天复习数学的时间也尽量安排在下午 时段。每天必须坚持做适量的练习,特别是填空题.
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2.考前调整、休养生息 调整生物钟,中午、晚上睡好睡足,确保考时大脑和全身的生理机能充足,把数学的兴 奋点移至下午,在考试时,使思维自动进入工作状态并迅速达到高潮。 休养生息,“静能生慧”,静中能悟,静中能记。数学需要悟,不悟不可能提升,数学也 有背的东西,不背你要吃亏。 三、考时注意什么? 1.五分钟内做什么 ①清查试卷完整状况,核对好个人信息。 ②用眼用手不用笔,看填空题要注意答案的形式、对大题看一下六个题的顺序,以及后 三题的设置(如三问还是两问) ③稳定情绪,碰到深卷坚信:试卷肯定有难题,容易题不丢分,难题多抢分才是关键 2.120 分钟内怎样做 ①做到颗粒归仓,把会做的题都做对是你的胜利,把不会做的题抢几分是你的功劳 审题宁愿慢一点,确认条件无漏再做下去。 解题方法好一点,确认路子对了再做下去。 计算步骤规范一点,错误常常出在“算错了”,计算的时候我们的草稿也要写好步骤,确 认了再往下走。 考虑问题全面一点,提防陷阱,注意疏漏,多从概念、公式、法则、图形中去考察,尤 其是考察是否有特例,考虑结论是否符合题意,分类要明,讨论要全。 ②盯住目标,保证总分 盯住填空题前 10 题确保正确。盯住大题前 4 题,确保基础题不失分。 关注填空题后 4 题严防会而放弃,适度关注大题后两题,能抢多少是多少。 ③适度考虑时间分配 一般地:填空题(一般用时 40—50 分钟左右) : 1—6 题防止犯低级错误,平均用时在 2.5 分钟左右。 7—12 题防止犯运算错误,平均用时在 3.5 分钟左右。 13—14 防止犯耗时错误,平均用时在 4 分钟左右。 一般地:解答题(用时在 70 分钟左右) : 15—16 题防止犯运算和表述错误,平均用时 12 分钟左右。 17—18 题防止犯审题和建模错误,平均用时在 14 分钟左。
就是那不经意的一眼 留下了永生难以磨灭的印象!

数学之战

重中之重

胆大心细

一击而中!

19—20 题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误,平均用时在 10 分钟左右。 有的同学做到第 16 题、第 17 题的时候就卡住了,属于非智力因素导致想不起来,这时 候怎么办?虽然是简单题我不会做怎么办?建议先跳过去, 不是这道题不会做吗?后面还有 很多的简单题呢,我们把后面的题做一做,不要在考场上愣神,先跳过去做其他的题,等稳 定下来以后再回过头来看会顿悟,豁然开朗。 提醒理科同学:加试题前二题不会难,是概念和简单运算,要细心又要快,用时在 12 分钟左右;第三题也不太难,是计算与证明,但要讲方法,用时 10 分钟左右;第四题有难 度,用时在 10 分钟左右(如果第四题的第二问不会,此时应该利用时间去检查前面的简单 题) 最后,再谈一点,要养成一个一次就作对一步到位的习惯。我做一次就是正确的结论, 不要给自己回过头来检查的习惯。 有的时候第二次改错的现象也很普遍。 高考试题的设置是 有一定要求的,到最后自己应该会做的写完后时间余下大约是 15 分钟左右。高考的时候为 什么要设置一个 15 分钟的倒数哨声呢?这就是提醒部分考生把会做的题要写好,或者说你 一道题不会做开始写一些也好,到你写完估计也到时了。这就是为什么离考试结束还有 15 分钟信号。 高考迫近,紧张是免不了的,关键是自我调整,学会考试,以平和的心态参加考试,以 审慎的态度对待试题,以细心的态度对待运算,以灵动的方法对待新颖试题,只有好问、好 想、好做、善探究、善反思、善交流才能在最后阶段有提高、有突破,才能临场考出理想的 成绩,才能出现奇迹。

这一年我们与大家一起风雨兼程,共同渡过,因 为有你们,而使我们的生活变得更加的精彩。今天你 们即将从一中起航,明天将驶向更辽阔的天地!

就是那不经意的一眼

留下了永生难以磨灭的印象!


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