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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:2.1 第2课时 椭圆的简单几何性质]


选修 1-1

第二章

2.1

第 2 课时

一、选择题 x2 y2 1.已知椭圆 + =1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 C.7 [答案] D [解析] 由题意知,c=2,a2=m-2,b2=10-m, ∴m-2-10+m=4,∴m=8. 2.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率 e 为( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] A c 1 [解析] 由题意,得 a=2c,∴e= = . a 2 x2 y2 x2 y2 3.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 25 9 9-k 25-k A.有相等的长、短轴 C.有相同的焦点 [答案] B [解析] ∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25, ∴25-k-9+k=16, 故两椭圆有相等的焦距. 4.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( 1 A. 4 C.2 [答案] A y2 [解析] 由题意 +x2=1,且 1 m 1 ∴m= .故选 A. 4 1 =2, m 1 B. 2 D.4 ) ) 1 B. 3 D. 2 2 ) B.5 D.8 )

B.有相等的焦距 D.x,y 有相同的取值范围

x2 3 5.已知焦点在 y 轴上的椭圆 +y2=1,其离心率为 ,则实数 m 的值是( m 2 A.4 1 C.4 或 4 [答案] B [解析] 由题意,得 a2=1,b2=m, ∴c2=a2-b2=1-m, c 3 ∴离心率 e= = 1-m= , a 2 1 ∴m= . 4 1 B. 4 1 D. 2

)

6. 椭圆的焦点在 x 轴上, 长、 短半轴之和为 10, 焦距为 4 5, 则椭圆的标准方程为( x y A. + =1 36 16 x2 y2 C. + =1 6 4 [答案] A [解析] 由题意得 c=2 5,a+b=10, ∴b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20, x2 y2 解得 a2=36,b2=16,故椭圆方程为 + =1. 36 16 二、填空题 x2 y2 1 7.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=________. 4 m 2 16 [答案] 3 或 3 [解析] 当焦点在 x 轴上时,e= ∴m=3. 当焦点在 y 轴上时,e= m-4 1 16 = ,∴m= . 2 3 m 4-m 1 = , 2 2
2 2

)

x y B. + =1 16 36 y2 x2 D. + =1 6 4

2

2

8.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 4 5的椭圆方程是________. [答案] y2 x2 + =1 25 20

[解析] 依题意得椭圆的焦点坐标为(0, 5),(0,- 5). 故 c= 5.又∵2b=4 5, ∴b=2 5,a2=b2+c2=25,

y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 20 9.已知 B1、B2 为椭圆短轴的两个端点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,若四边形 B1F1B2F2 为正方形,则椭圆的离心率为________. [答案] 2 2 2 a, 2

[解析] 如图,由已知得 b=c= c 2 ∴e= = . a 2

三、解答题 x2 y2 10.已知 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B a b 的周长为 16,椭圆的离心率 e= 3 ,求椭圆的方程. 2

4a=16 ? ? [解析] 由题意,得?c 3 , = ? ?a 2 ∴a=4,c=2 3. x2 y2 ∴b =a -c =4,所求椭圆方程为 + =1. 16 4
2 2 2

一、选择题 x2 y2 11.(2014· 大纲全国理,6)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心 a b 率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( 3 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 )

x2 y2 A . + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 [答案] C

c 3 x2 [解析] 根据条件可知 = ,且 4a=4 3,∴a= 3,c=1,b2=2,椭圆的方程为 + a 3 3 y2 =1. 2 x2 y2 1 12.以椭圆 + =1 的短轴端点为焦点,离心率为 e= 的椭圆方程为( 25 9 2 x2 y2 A. + =1 27 36 x2 y2 C . + =1 100 25 [答案] A [解析] x2 y2 + =1 的短轴端点为(0,-3),(0,3), 25 9 x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 75 100 )

∴所求椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=3. c 1 又 e= = ,∴a=6. a 2 ∴b2=a2-c2=36-9=27. x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 27 36 13.若直线 y=x+ 6与椭圆 x2+ 轴长为( A.1 C.2 [答案] D ) B. 5 D.2 5 y2 =1(m>0 且 m≠1)只有一个公共点,则该椭圆的长 m2

? ?y=x+ 6 [解析] 由? 2 y2 ? ?x +m2=1

,得

(1+m2)x2+2 6x+6-m2=0, 由已知 Δ=24-4(1+m2)(6-m2)=0, 解得 m2=5, ∴椭圆的长轴长为 2 5. 7 14.(2014· 抚顺二中期中)在△ABC 中,AB=BC,cosB=- .若以 A,B 为焦点的椭圆 18 经过点 C,则该椭圆的离心率 e=( 3 A. 4 3 C. 8 ) 3 B. 7 D. 3 18

[答案] C [解析] 设|AB|=x>0,则|BC|=x, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB 7 25 5 =x2+x2-2x2· (- )= x2,∴|AC|= x, 18 9 3 由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c, 5 c 2c x 3 ∴ x+x=2a,x=2c,∴e= = = = . 3 a 2a 8 8 x 3 二、填空题 15.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦 点在 x 轴上,且 a-c= 3,则椭圆的方程是________. [答案] x2 y2 + =1 12 9

[解析] 如图所示, cos∠OF2A=cos60° = |OF2| , |AF2|

c 1 即 = .又 a-c= 3, a 2 ∴a=2 3,c= 3, ∴b2=(2 3)2-( 3)2=9. x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1. 12 9 16.如图,在椭圆中,若 AB⊥BF,其中 F 为焦点,A、B 分别为长轴与短轴的一个端 点,则椭圆的离心率 e=________.

[答案]

5-1 2

x2 y2 [解析] 设椭圆方程为 2+ 2=1,则有 A(a,0),B(0,b),F(c,0),由 AB⊥BF,得 kAB· kBF a b b b b b? a c - =-1,利用 b2=a2-c2 消去 b2,得 - =1, =-1,而 kAB= ,kBF=- 代入上式得 ? c ? ? a c a c a

-1± 5 1 即 -e=1,解得 e= , e 2 ∵e>0,∴e= 三、解答题 17.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横 2 坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 5-1 . 2

[解析] 解法一: 设椭圆的长半轴长、 短半轴长、 半焦距分别为 a、 b、 c, 则焦点为 F1(- 2 c,0),F2(c,0),M 点的坐标为(c, b),则△MF1F2 为直角三角形. 3 在 Rt△MF1F2 中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3

整理得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
2 2 c2 a -b b2 5 5 ∴e = 2= 2 =1- 2= ,∴e= . a a a 9 3 2

x2 y2 解法二:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 2 则 M(c, b). 3 c2 4b2 c2 5 代入椭圆方程,得 2+ 2=1,所以 2= , a 9b a 9 c 5 5 所以 = ,即 e= . a 3 3


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