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高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教必修4


第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及 其含义 学习导航 学习目标 平面向量的数量积 理解 实例 ― ― → 与向量投影的关系 ― ― → 了解 平面向量数量积的 掌握 平面向量数量积的 ― → 重要性质及运算律 含义及物理意义 ― 重点难点 重点:平面向量数量积概念、运算律及其相 关性质和运用. 难点:数量积的几何意义. 新知初探思维启动 1.平面向量数量积的定义 已知两非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ ,则把数量 |a||b|· cos θ 叫做a与b的_________ 内积 , 数量积 (或______) ___________ a· b=|a||b|cos θ. 记作a· b,即______________ 0 规定零向量与任一向量的数量积均为______. 想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗? 提示:不相同.向量的数量积a· b是一个实数;数乘向量λa是一 个向量. 做一做 1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m· n= ________. 解析: m· n=|m||n|cos 135° =4×6×?- ? 2? =-12 2. 2? 答案:-12 2 2.向量的数量积的几何意义 (1)投影:|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a 方向上)投影. 的________ (2)几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上 |b|cos θ 的投影___________ 的乘积. 想一想 2.投影是向量吗? 提示:投影是数量而不是向量,它可正可负可为零,它 的符号由θ的取值决定. 3.向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, θ 为 a 与 b 的夹角. a· b= 0 (1)a⊥b?_____________. (2)当 a 与 b 同向时, a· b=_________, |a||b| -|a||b| 当 a 与 b 反向时, a· b=__________. (3)a· a=______或 |a|= a· a= a2. (4)cos a· b |a||b| θ= __________. |a|2 ≤ a||b|. (5)|a· b|_______| 做一做 2.已知|a|=5,|b|=4,a· b=10 3,则 a 与 b 的夹角 θ= ________. 答案:30° 4.向量数量积的运算律 b· a (1)a· b=_______ (交换律). λ(a· b)=a· (λb) (2)(λa)· b=_______________( 结合律). a· c+b· c (3)(a+b)· c=______________ (分配律). 想一想 3.对于向量a· b· c,等式(a· b)· c=a· (b· c)一定成立吗? 提示:不一定成立,∵若 (a· b)· c≠0 ,其方向与 c 相同 或相反,而a· (b· c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与 c方向不一定相同,故该等式不一定成立. 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知 |a|=4,|b|=5,且向量 a 与 b 的夹角为 60° , 求(2a+ 3b)· (3a-2b); → → (2)在 Rt△ABC 中,∠ C=90° , AB= 5,AC=4,求AB· BC. 【解】 (1)(2a+ 3b)· (3a-2b) = 6a2- 4

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