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课件-1.3.1函数的单调性与最值第一课时_图文

实例分析1:艾宾浩斯(关于时间间隔与记忆保持量)

?画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上升 ____?
(-∞, +∞) 2.在区间 ________上,随着x的增大,f(x)的值 增大 随着 ______ .

我们称此时的区间( ?, ?)为单调区间 - ? .

?画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2
(-∞, 0] 1.在区间_______上,f(x)的值随
减小 着x的增大而_____.

2. 在区间_______上,f(x)的值随 (0, +∞) 着x的增大而 _____. 增大

此时区间(- ?, 0)和区间( 0, ?)都是单调区间 ? .

一、函数单调性定义
1.增(减)函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区 (f(x1)>f(x2)) 间D上是增函数
减函数

二.典例精
例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根 析 据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有

区间端点问题

[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数, 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.

例2.证明:函数 f ( x) ? 3x ? 2在 ? ??, ??? 上是增函数.

证明:在区间

? ??, ???上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2
? 3( x2 ? x1 )

取值
作差 化简

则f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (3x2 ? 2) ? (3x1 ? 2)
? x1, x2 ? ? ??, ??? ,且 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0即f ( x2 ) ? f ( x1 )

判号

所以函数 f ( x) ? 3x ? 2 在区间上 ? ??, ??? 是增函数. 定论

三、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①取值: 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差:f(x1)-f(x2); ③变形:(因式分解和配方等)乘积或商式; ④定号:(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论:(即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性).

四、归纳小结
1.函数单调性的定义 2.会利用函数图像找出函数的单调区间

3.函数单调性的证明,证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论


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