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福建省福州八中2013届高三毕业班第三次质检(数学文)

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福建省福州八中 2013 届高三毕业班第三次质检 数学(文科)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

注意事项: 准考证号码填写说明:准考证号码共九位,每位都体现不同的分类,具体如下: 级别代号 0 7 科类代号 0 教学班代号 0 0 行政班代号 行政班座号

答题卡上科目栏内必须填涂考试科目 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. A. ?
x 2 1.若集合 S ? y y ? 3 , x ? R , T ? y y ? x ? 1, x ? R , 则 S ? T 是

?

?

?

?

B. S

C. T

D. 有限集

2. i 为虚数单位,则复数 z ? i(1 ? i ) 在复平面内对应的点在 C.第三象限 ? 的图象只需将 y=3sin2x 的图象 3 要得到 y ? 3 sin( 2 x ? ) A.第一象限 B.第二象限
4

D.第四象限

? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8 b 的一个充分条件是 4.已知相异直线 a, b 和不重合平面 ? , ? ,则 a ∥ A. a ∥ ? , b ∥ ? B. a ∥ ? , b ∥ ? , ? ∥ ? C. a ⊥ ? , b ⊥ ? , ? ∥ ? D. ? ⊥ ? , a ⊥ ? , b ∥ ?
B.向右平移
2 5.若数据 x1 , x2 , x3 , ?, xn 的平均数 x =5,方差 ? ? 2 ,则数据

? A.向左平移 个单位 4 ?

3x1 ? 1, 3x2 ?1, 3x3 ?1, ?, 3xn ?1 的平均数和方差分别为
B.16,2 C.16,18 D.16,9 1 2 的焦点为圆心,和直线 y ? x ? 1 相切的圆的方程为 6.以曲线 y ? x 4 2 A. x ? ( y ? 1) 2 ? 2 B. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 1 225 1 225 C. ( x ? ) 2 ? y 2 ? D. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 16 128 16 128 7.已知等比数列的公比为 2,且前四项之和等于 1,那么前八项之和等于 A.15 B.21 C.19 D.17 8.在 5 张奖券中有 1 张是有奖的,甲、乙两人从中各抽一张,甲先抽,然后乙抽.设甲中奖的概率 为 P ,乙中奖的概率为 P2 ,那么 1 A. P ? P2 1 B. P ? P2 1 A.5,2

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D. P 、 P2 大小不能确定 1 ??? ??? ? ? ??? ? 9.已知点 O 、 A 、 B 不共线,点 P 为该平面上一点,且 OP ? 3OA ? OB ,则 2 A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 10.不等式组 ? x ? 0,
? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? ?0 ? y ? 1, ?

C. P ? P2 1

表示的平面区域的面积是

3 B.1 C. 3 D.2 4 2 11.函数 f ?x ? ? ax2 ? 3ax ? 1, 若 f (x) > f '( x) 对一切 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是
A. A. a ?

12.设函数 f ?x ? ? n ? 1, x ? ?n, n ? 1?, n ? N ,则满足方程 f ?x ? ? log2 x 根的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. f ( x ) 是奇函数,当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x2 ,


4 13

B. a ? 0

C. 0 ? a ?

4 13

D. 0 ? a ?

4 13

则当 x ? (??,0) 时 f ( x) ?

.

始 输 入

14.设正数 x、y 满足 2 x ? y ? 20 ,则 lg x ? lg y 的最 大值为 . (1) 若输入 x ? 8 ,则输出 k ? ; . 15.按如图所示的程序框图运算. (2) 若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是 16.定义在 N 上的函数 f ( x ) 表示 x 的个位数,例如
*

k x ?0
x ? 10 x ? 8
k ? k ?1

x ? 2008
是 输 出 结 k 束



f (5) ? 5, f (28) ? 8. 数列 ?an ? 中 a1 ? 2, a2 ? 3, 当 n ? 1 时,

an?2 ? f (an ? an?1 ) ,则 a2009 ? __________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量: m ? (sin x ? cos x, 3 cos x), n ? (cosx ? sin x,2 sin x), ,函数 f ( x) ? m ? n , (I)求 f ?x ? 的周期,并求 f (x) 的最大值及相应 x 的集合; (II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的边, B ?

?
4

, b ? 4, f ( A) ? 1 ,求边 a 的长.
B1 A1 C1 E

18. (本小题满分 12 分) 如图在棱长都相等的正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直于底面) ABC-A1B1C1 中,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点.

D

B C

A

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⑴ 求证:DE∥平面 ABC; ⑵ 求证:B1C⊥平面 BDE. 19. (本小题满分 12 分) 甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后, 背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。 (I)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况; (II)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少? (III)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,否则,则乙胜。你认为此游戏是否公平, 说明你的理由。 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 2,点( an , an ?1 )在函数 y ? x ? 2 的图象上.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ,求

1 1 1 1 + + +…+ 的值. Sn S1 S 2 S 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 5 ,在函数 f (x) 图像上一点 P(1, f (1)) 处切线的斜率为 3. (Ⅰ)若函数 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 y ? f (x) 在区间 [?2 , 1] 上单调递增,求 b 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 L 在 y 轴上 的截距为 m ( m ? 0 ),L 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证:直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

福建省福州八中 2010 届高三毕业班第三次质检

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数学(文科)答题卷
注意事项:填空题、解答题必须使用黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚,并按照题号顺序在各题 目的答题区域内作答,超过区域书写的答案无效。 题 号 一 二 17 18 19 三 20 21 22 总 分 得分

17、 (12 分)

二、填空题 13

14 ⑴ 15 ⑵ 16

B1

A1 C1 E

18、 (12 分)

D

B C

A

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19、 (12 分)

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20、 (12 分)

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21、 (12 分)

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22、 (14 分)

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福建省福州八中 2010 届高三毕业班第三次质检 数学(文科)试题卷参考答案及评分标准
一、选择题 1 2 B A 二、填空题 13. ? x
2

3 C

4 C

5 C

6 A

7 D

8 B

9 B

10 A 16.

11 D 8

12 C

14. 1 ? lg 5

15.(1) 3 ; (2) 19.2 ? x ? 200

∵ AG ? 平 面 ABC,∴AG⊥BB1, ∵G 为 BC 的中点,AB=AC,∴AG⊥BC ∴AG⊥平面 BB1C1C,∵B1C ? 平面 BB1C1C,∴AG⊥B1C ……………………8 分 ∵AG∥DE,∴DE⊥B1C, ∵BC=BB1,B1E=EC,∴B1C⊥BE ………………10 分 ∵BE ? 平面 BDE,DE ? 平面 BDE,BE∩DE=E,∴B1C⊥平面 BDE …………12 分 19.解: (I)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示)为 (2,3)(2,4) 、 (2,4′)(3,2)(3,4)(3,4′)(4,2)(4,3) 、 、 、 、 、 、

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(4,4′)(4,2′)(4′,3)(4′,4) 、 、 、 ,共 12 种不同情况……………4 分 (II)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4。 因此乙抽到的牌的数字大 3 的概率为 ;

2 3

…………………8 分

(III) 由甲抽到的牌比乙大有 (3, 、 2) (4, 、 2) (4, (4′, 、 3) 2) (4′, 共 5 种甲胜的概率 p1= 5 , 3) 12 乙获胜的概率为 p 2 ? 7 , 12
? 5 7 ? , ∴此游戏不公平 ……12 分 12 12

( Ⅱ )

f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,由①知 2a ? b ? 0 , 2 ∴ f ?( x) ? 3x ? bx ? b . y ? f (x) 在区间 [?2,1] 上单调递增,依题意 f ?(x) 在 [?2,1] 上恒有 f ?( x) ? 0 , 2 即 3x ? bx ? b ? 0 在 [?2,1] 上恒成立. ………………8 分 b ① 在 x ? ? 1 时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 ,∴ b ? 6 . 6 b ② 在 x ? ? ?2 时, f ?( x) min ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ,无实数解. 6
2

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b 12b ? b ? 1 时, f ?( x) min ? ? 0 ,∴ 0 ? b ? 6 . ……11 分 6 12 综合上述讨论可知, b 的取值范围是 b ? 0 . ………………………12 分
③ 在? 2 ?
2

?

x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

?

2m2 ? 4 ? 2m2 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0,? k1 ? k2 ? 0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
……………………14 分

故直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.


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