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【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的3角函数]


第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[全盘巩固] 1.θ 是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是( θ 2 θ C.tan 2 A.sin θ 2

)

B.cos

D.cos 2θ

θ θ 解析:选 C 因为 θ 是第二象限角,所以 为第一或第三象限角,所以 tan >0. 2 2 2.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为 ( ) 1 π 5π π 5π A.1 B. C. 或 D. 或 2 6 6 3 3 π π 解析:选 C 因为弦长等于半径,所以此弦所对的圆心角为 ,所以弦所对的圆周角为 3 6 5π 或 . 6 3.点 A(sin 2 013° ,cos 2 013° )在直角坐标平面上位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 C 由 2 013° =360° ×5+(180° +33° )可知,2 013° 角的终边在第三象限,所以 sin 2 013° <0,cos 2 013° <0,即点 A 位于第三象限. α α sin cos 2 2 4.若 α 是第三象限角,则 y= + 的值为( ) α α sin cos 2 2 A.0 B.2 C.-2 D.2 或-2 α 解析:选 A 由于 α 是第三象限角,所以 是第二或第四象限角, 2 α 当 是第二象限角时, 2 α α sin -cos 2 2 y= + =1-1=0; α α sin cos 2 2 α 当 是第四象限角时, 2 α α -sin cos 2 2 y= + =-1+1=0. α α sin cos 2 2 cos α 5.(2014· 温州模拟)若 sin αtan α<0,且 <0,则角 α 是( ) tan α A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选 C 由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限角. cos α 由 <0 可知 cos α,tan α 异号,从而 α 为第三或第四象限角.综上可知,α 为第三 tan α 象限角.

6.已知扇形的周长是 4 cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是( 1 A.2 B.1 C. D.3 2 解析:选 A 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则 2r+l=4, 1 1 面积 S= rl= r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1, 2 2 故当 r=1 时 S 最大,这时 l=4-2r=2. l 2 从而 α= = =2. r 1 7.若角 120° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是________. a a 解析:由题意知- =tan 120° ,即- =- 3,故 a=4 3. 4 4 答案:4 3

)

8.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐 4 标为 ,则 cos α=________. 5

4 解析:因为 A 点纵坐标 yA= ,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 点 5 3 3 横坐标 xA=- ,由三角函数的定义可得 cos α=- . 5 5 3 答案:- 5 |sin α| |cos α| 9.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 - =________. sin α cos α 解析:因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上, 所以角 α 是第二象限角,因此 sin α>0,cos α<0, |sin α| |cos α| sin α -cos α 故 - = - =1+1=2. sin α cos α sin α cos α 答案:2 10.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ+cos θ 的值. 1 解:∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0),∴tan θ=- . x 2 又 tan θ=-x,∴x =1,即 x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sin θ=- ,cos θ= . 2 2 因此 sin θ+cosθ=0; 2 2 当 x=-1 时,sin θ=- ,cos θ=- , 2 2 因此 sin θ+cos θ=- 2. 故 sin θ+cos θ 的值为 0 或- 2. 11.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

解:设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,

1 ? ? ?2lr=1, ?r=1, 则? 解得? ?l=2. ? ? ?l+2r=4, l 则圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1, 故 AH=1· sin 1=sin 1 cm,故 AB=2sin 1 cm. 12.角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直 线 y=x 对称,求 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β 的值. 解:由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a),点 Q 的坐标为(2a,a). -2a 2 所以 sin α= 2 , 2=- 5 a +?-2a? a 1 cos α= 2 = , 5 a +?-2a?2 -2a tan α= =-2, a a 1 sin β= , 2 2= 5 ?2a? +a 2a 2 cos β= = , 5 ?2a?2+a2 a 1 tan β= = , 2a 2 故有 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β= -2 1 1 2 1 × + × +(-2)× =-1. 2 5 5 5 5 [冲击名校] 1.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 5 解析: 选 B 取终边上一点(a,2a)(a≠0), 根据任意角的三角函数定义, 可得 cos θ=± , 5 3 2 故 cos 2θ=2cos θ-1=- . 5 2.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] 解析:选 A ∵由 cos α≤0,sin α>0,∴角 α 的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴 上. ? ?3a-9≤0, ∴? ?a+2>0, ? ∴-2<a≤3. 3.角 θ 的终边上有一点(a,a),a∈R 且 a≠0,则 sin θ 的值是________. 解析:由已知得 r= a2+a2= 2|a|, a sin θ= = r 2 ? 2 a = 2|a| ? 2 ?- 2 ?a>0?, ?a<0?.

所以 sin θ 的值是 答案: 2 2 或- 2 2

2 2 或- . 2 2


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