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苏州大学2016届高考考前指导卷1 (2)


苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {1, a} , B ? {1,3, 4} ,且 A ? B ? {1,3} ,则实数 a 的值为 ▲ . 2.i 是虚数单位,复数 z 满足

z ? 3i ? i ,则 | z | = ▲ . 4i

3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 200, 右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在 区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品, 其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ . 4.某学校高三有 A,B 两个自习教室,甲、乙、丙三名同学随机选择其中一 个教室自习,则他们在同一自习教室上自习的概率为 ▲ .

5. 执行如图所示的流程图, 会输出一列数, 则这列数中的第 3 个数是 ▲ .

x2 y 2 6.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l:y a b
=2x+10,且它的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为 ▲ . 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2S3-3S2=12,则数列{an}的公差是 ▲ . 8.已知一个圆锥的底面积为 2 ? ,侧面积为 4 ? ,则该圆锥的体积为 ▲ . 9.已知直线 x ? y ? b 是函数 y ? ax ?

2 的图象在点 P(1, m) 处的切线,则 a ? b ? m ? x

▲ .

π 3 5π π 10.若 cos( -θ)= ,则 cos( +θ)-sin2(θ- )= ▲ . 6 3 6 6 11.在等腰直角△ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 ,M,N 为 AC 边上的两个动点,且满足 ???? ? ???? MN ? 2 ,则 BM ? BN 的取值范围为 ▲ . 12.已知圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线 l:3x ? 4 y ? 17 ? 0 .若在直线 l 上任取一点 M 作圆 C 的切线 MA,MB,切点分别为 A,B,则 AB 的长度取最小值时直线 AB 的方程为 ▲ .

?e x , x ≤1, g ( x) ? kx ? 1 ,若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个不同的实根,则实 13.已知函数 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1), x ? 1,
数 k 的取值范围是 ▲ . 14.已知不等式 (ax ? 3)( x ? b) ≤0 对任意 x ? (0, ??) 恒成立,其中 a , b 是整数,则 a ? b 的取值的
2

集合为 ▲ .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? 已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ? ? ?? A ? 0,0 ? ? ? ?? 的最小值是-2,其图象经过点 M ( ,1) . 3 (1)求 f ( x) 的解析式; ? 8 24 (2)已知 ? , ? ? (0, ) ,且 f (? ) ? , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 2 13 5

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,侧面
PBC 是直角三角形, ?PCB ? 90? ,点 E 是 PC 的中点,且平面 PBC ? 平面 ABCD .证明:

A

D

(1) AP // 平面 BED ; (2)平面 APC ? 平面 BED .

B E P

C

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,OM,ON 是两条海岸线,Q 为海中一个小岛,A 为海岸线 OM 上的一个码头.已知
tan ?MON ? ?3 , OA ? 6 km ,Q 到海岸线 OM,ON 的距离分别为 3 km,

6 10 km.现要在海 5

岸线 ON 上再建一个码头,使得在水上旅游直线 AB 经过小岛 Q. (1)求水上旅游线 AB 的长; (2)若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P,从水波生成 t h 时的半径 为 r ? 3 at (a 为大于零的常数) .强水波开始生成时,一游轮以 18 2 km/h 的速度自码头 A 开往 码头 B,问实数 a 在什么范围取值时,强水波不会波及游轮的航行.
N B P

Q O A M

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 0 , 2 ) 椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 , 点 P( a b
(1)求椭圆 M 的方程; (2)如图,椭圆 M 的上、下顶点分别为 A,B, 过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C,D.

关于直线 y ? ?x 的对称点在椭圆 M 上.

y P C Q O D B x A

???? ???? ①求 OC ? OD 的取值范围;
②当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵 坐标是否是定值?若是,求出该定值;若不是,说明 理由.

3

19. (本小题满分 16 分) 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,其中 n ? N * . (1)若 a1 ? b1 ? 2 , a3 ? b3 ? 9 , a5 ? b5 ,试分别求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 A ? ?k ak ? bk , k ? N *? ,当数列 ?bn ? 的公比 q ? ?1 时,求集合 A 的元素个数的最大值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x ?

? ?

2 x

? b ? ,其中 a, b ? R, e ? 2.71828 是自然对数的底数.

? ?

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 的切线方程为 y ? e( x ? 1) ,求实数 a , b 的值; (2)①若 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 既有极大值,又有极小值,求实数 b 的取值范围; ②若 a ? 2 , b ? ?2 ,若 f ( x) ? kx 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的最大值(用 b 表 示).

4

苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1)参考答案
1.3. 10. ? 2. 5 . 3.50. 11. [ , 2] . 4.

1 . 4

5.30.

6.

x2 y2 ? ? 1. 5 20
13. (

7.4.

8.

2 6 ?. 3

9.2.

2? 3 . 3

3 2

12. 6 x ? 8 y ? 19 ? 0 .

e ?1 ) ? (1,e ? 1] . 2

14. {?2,8} .

解答与提示 1.由 A ? B ? { 1,3} 可知 1 ? A 且 3 ? A ,有 a ? 3 . 2.由题意得 z ? 4i 2 ? 3i ? ?4 ? 3i ,那么 | z |? 5 . 4. P ?

3.三等品总数 n ? [1 ? (0,05 ? 0.0375 ? 0.0625) ? 5] ? 200 ? 50 .

2 2? 2? 2

?

2 8

?

1 . 4

5. A ? 3 , N ? 1,输出 3; A ? 6 , N ? 2 ,输出 6; A ? 30 , N ? 3 ,输出 30;则这列数中 的第 3 个数是 30. 6. 由双曲线的渐近线方程 y ? ?

b a

x 可知 b ? 2a ; 又由题意 c ? 5 , 那么 a ? 5 ,

双曲线方程为

x2 5

?

y2 20

? 1 . 7. 方法 1: 2S3-3S2= 2(3a1 ? 3d ) ? 3(2a1 ? d ) ? 3d ? 12 , 则d ? 4. 方

法 2:因为 线 长 为

Sn S S n ?1 d ? a1 ? d ,则 3 ? 2 ? 2 ? ,得到 d ? 4 . 8.设圆锥的底面半径为 r,母 n 2 3 2 2
2 , r ?l ? 4 l , 则 ?r 2 ? , 解 得 r ? 2, l ? 2 2 , 故 高 h ? 6 , 所 以

1 1 2 6 2 V ? ?r 2 h ? ? ? ? ? 6 ? ? . 9 .由于 P 点在函数 y ? ax ? 图象和直线 x ? y ? b 上,则 3 3 3 x

m ? a ? 2 , m ? 1 ? b . 又 由 函 数 y ? ax ?

2 2 的 导 函 数 y' ? a? 2 可 知 , 切 线 的 斜 率 x x
π

k ? ?1 ? a ? 2 ,有 a ? 1 , m ? 3 和 b ? 4 ,则 a ? b ? m ? 2 . 10.设 t=6-θ,
有 cos t= 3 5π π 2+ 3 . 那么 cos( +θ)-sin2(θ- )=cos(π?t)? sin2 t=? . 3 6 6 3 11.方法

1 : 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 B(0, 0) , A(2, 0) , C (0, 2) , 则 利 用 MN ? 2 可 设
N ( x0 , 2 ? x0 )



M ( x0 ? 1,3 ? x0 )







x0 ? [

1

,, 2 那]



???? ? ???? ? 3 ? ???? ? ???? ?3 ? BM ? BN ? 2( x02 ? 3x0 ? 3) ? ? , 2 ? ,则 BM ? BN ? ? , 2? . 方法 2:设 MN 中点为 ?2 ? ?2 ?

???? ? ???? ???? ? ???? BM ? BN D ,则 BM ? BN ?

?

? ? ? BM ? BN ?
2

???? ? ????

2

4

??? ? 2 ???? ?2 ??? ?2 1 4 BD ? MN ? ? BD ? ;由图形得到 4 2

5

??? ? ? ???? ? ???? ? 3 ? 10 ? BD ? ? 2, ? ,那么 BM ? BN ? ? , 2? . 12.当 AB 的长 2 ? ?2 ? ?
度 最 小 时 , 圆 心 角 ?A C B最 小 , 设 为 2 ? , 则 由

cos ? ?

AC CM

?

1 CM

可知当 ? 最小时, cos ? 最大,即 CM 最小,

那么, CM ? l ,可知 k AB ? k l ? ?

4 ,设直线 AB 的方程为 3
1 1 3? 4? m ,即 ? ,解得 2 2 5

3x ? 4 y ? m .
m?

又由 CM ? 2 可知,点 C 到直线 AB 的距离为

19 9 19 或 ;经检验 m ? ,则直线 AB 的方程 2 2 2
13.画出函数 f ( x ) 的大致图

为 6 x ? 8 y ? 19 ? 0 .

象如下: 则考虑临界情况, 可知当函数 g ( x) ? kx ? 1 的图象过 A(1, e) , B(2, e) 时直线斜率 k1 ? e ? 1 ,

k2 ?

e ?1 ,并且当 k ? 1 时,直线 y ? x ? 1 与曲线 2

y ? ex 相切于点 (0,1) ,则得到当函数 f ( x) 与 g ( x) 图象有两个交点时,实数 k 的取值范围是
( e ?1 2 ,1) ? (1, e ? 1] . 14. 首先, 当 b ? 0 时, 由 (ax ? 3)( x ? b) ≤0 2

得到 ax ? 3 ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 a ? 0 ,且 a ? 0 ? 3 ? 0 , 得 到 矛 盾 , 故 b ? 0 . 当 b ? 0 时 , 由 (ax ? 3)( x2 ? b) ≤0 可 设
2 f ( x) ? a x ? 3 , g ( x) ? x ? b ,又 g ( x) 的大致图象如下,那么由

?a ? 0, ?a ? ?1, ?a ? ?3, ? 题意可知: ? 3 再由 a , b 是整数得到 ? 或? 因此 a ? b =8 或 12.15. (1) b ? 9 b ? 1, ? ? b , ? ? ? ? a
? ? 因为 f ( x) 的最小值是- 2 ,所以 A = 2 .又由 f ( x) 的图象经过点 M ( ,1),可得 f ( ) ? 1 , 3 3 ? 1 ? ? ? ?? ? , 又 0 ? ? ? ?, 所 以 ? ? , 故 sin( ? ? ) ? , 所 以 ? ? ? 2k ? ? 或 ? ? ? 2k ? ? 3 2 3 6 3 6 2 ? 8 24 (2)由(1)知 f (x) ? 2cos x ,又 f (? ) ? , f (? ) ? ,故 f ( x)? 2 s i n x ? ( ,即 ) f (x) ? 2cos x . 2 13 5

6

8 24 4 12 ? 3 5 ,即 cos ? ? ,cos ? ? ,又因为 ? , ? ? (0, ) ,所以 sin ? ? ,sin ? ? , 2cos? ? ,2cos ? ? 5 13 5 13 2 5 13 4 12 3 5 126 ? sin? )? 2( ? ? ? ) ? 所以 f (? ? ? ) ? 2cos(? ? ? ) ? 2(cos? cos? ? sin .16. (1)设 5 13 5 13 65
AC ? BD ? O ,ABCD 是平行四边形, 故 O 为 BD 中点. 连

结 OE , 因为点 E 是 PC 的中点, 所以 AP //OE .OE ? 平 面 BED , AP ? 平面 BED , 所以 AP // 平面 BED . (2) 因 为平面 PBC ? 平面 ABCD , ?PCB ? 90? ,故 PC ? 平面
ABCD.又 BD ? 平面 ABCD ,所以 PC ? BD .而底面 ABCD 是菱形, 故 AC ? BD ,又 AC ? PC ? C , 所以 BD ?

A O

D

B E P

C

平面 APC . 所以平面 APC ? 平面 BED . BD ? 平面 BED , 17. (1)以点 O 为坐标原点,直线 OM 为 x 轴,建立直

角坐标系如图所示.则由题设得: A? 6,0? ,直线 ON 的方程为 y ? ?3x, Q ? x0 ,3?? x0 ? 0? . 由

3x0 ? 3 10

?

6 10 ,及 x0 ? 0 得 x0 ? 3 ,∴ 5
N B

y

Q ?3,3? .∴直线 AQ 的方程为 y ? ? ? x ? 6? ,即
? y ? ?3x, ? x ? ?3, x? y ?6 ? 0, 由? 得? 即 ? x ? y ? 6 ? 0 ? y ? 9,

.
C O

.P . .
Q

B ? ?3,9? ,∴ AB ?

? ?3 ? 6?

2

? 92 ? 9 2 ,即水上

旅游线 AB 的长为 9 2km . (2)设试验产生的强水波 圆 P ,由题意可得 P(3,9) ,生成 t 小时时,游轮在 线段 AB 上的点 C 处,则 AC ? 18 2t , 0 ≤ t ≤ 行即 PC ? r 对t ? 0,
2 2

. A

xM

1 ,∴ C ? 6 ?18t,18t ? .强水波不会波及游轮的航 2

? 1? 恒成立. PC 2 ? (18t ? 3)2 ? (18t ? 9)2 ? r 2 ? 9at ,当 t ? 0 时 , ? ? ? 2?

10 ? 1? a ? 72t ? ? 48 . 上式恒成立, 当 t ? 0时,即t ? ? 0, ? 时, t ? 2?

令g (t ) ? 72t ?

10 5 1 10 ? 1? ? (0, ] 当且仅当 t ? ? 48, t ? ? 0, ? ,g (t ) ? 72t ? ? 48 ? 24 5 ? 48 , t 6 2 t ? 2?

时等号成立,所以,在 0 ? a ? 10 时 r ? PC 恒成立,亦即强水波不会波及游轮的航行.18. (1)
7

2 ,0 ) 因为点 P(0, 2) 关于直线 y ? ?x 的对称点为 (?2,0) , 且 (?

在椭圆 M 上, 所以 a ? 2 . 又 2c ?2 3 ,

故 c ? 3 ,则 b2 ? a 2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1 .所以椭圆 M 的方程为

x2 (2)①当直线 l 的斜率不 ? y2 ? 1 . 4

存在时, C (0,1), D(0, ?1) ,所以 OC ? OD =-1.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为
? y ? kx ? 2, ? y ? kx ? 2, C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , ? x 2 消去 y 整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,由 ? ? 0 ,可 2 ? y ? 1, ? ?4

???? ????

得 4k 2 ? 3 ,且 x1 ? x2 ? ?

??? ? ???? 16k 12 ,所以 , x x ? OC ? OD ? x1x2 ? y1 y2 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
???? ???? 13 17 ? 1 ? OC ? OD ? ,综上 ,所以 1 ? 4k 2 4

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?1 ?

???? ???? 13 y ?1 y ?1 OC ? OD ? [?1, ) .②由题意得,AD: y ? 2 x ? 1 ,BC: y ? 1 x ? 1 ,联立方程组,消去 x2 x1 4
x得y?
2kx1 x2 ? x1 ? 3 x2 xx1 2 ??3 ( x1? x 2) , 又 4k 3x2 ? x1

1 1 , 解得 y ? ? , 故点 Q 的纵坐标为定值 . 2 2

19. (1)

?2 ?2 d ? 2 q2 9 ? , 设数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0 ? , 数列 ?bn ? 的公差为 q ? q ? 0,1? , 则? 2 q ,4 ? 2 ?4 d ?

15 ? ?d ? , 解得 ? 2 ∴ ? ? q ? ?2,

an ?

15 11 n (2)不妨设 an ? a ? bn ?b ? 0? , bn ? pqn ? pq ? 0, q ? 1? ,则 n ? , bn ? 2n 或 ? ? ?2? . 2 2
a b ? n ? qn , p p

a ? bn ? pqn , 即

令s ?

a b , t ? ?t ? 0? , 问题转化为求关于 n 的方程 q n ? tn ? s ? 0 p p
n

(*)最多有多少个解.① 当 t ? 0 时,因为 q ? ?1 ,若 n 为奇数,则方程为 q ? tn ? s ? 0 ,左边 关于 n 单调递增,方程(*)最多有 1 个解;若 n 为偶数,则方程为 q ? tn ? s ? 0 ,令
lg ) ? 0 , 则 f ?( 令 f ?( x 得 x0 ? o f ( x) ? q ? tx ? s , x) ? q n l q t? ,
x x n

q

t , 由于 q ? 1 , ∴函数 f ?( x) ln q

单调递增,∴当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,∴ 方程(*)在 ? ??, x0 ? 和 ? x0 , ??? 上最多各有 1 个解. 综上:当 n ? N* 时,方程(*)最多有 3 个 解.② 当 t ? 0 时,同理可知方程(*)最多有 3 个解.事实上,设 an ? 6n ? 8, bn ? (?2)n 时,有
a1 ? b1 , a2 ? b2 , a4 ? b4 ,所以 A 的元素个数最大值为 3. 20. (1) 由题意知曲线 y ? f ( x) 过点(1,0),

且 f '(1) ? e ;又因为 f '( x) ? e x ? a ln x ?

? ?

2 x2

?

a?2 x
8

? b ? ,则有 ?

? ?

? f (1) ? e(2 ? b) ? 0, ? f '(1) ? e(a ? b) ? e,

解得

a ? 3, b ? ?2 .

(2) ①当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 的导函数 f '( x) ? e x ? ?2 ln x ?

? ?

2 x
2

? b ? ? 0 ,若

? ?

f '( x) ? 0 时,得 b ? 2 ln x ?

2 2 ,设 g ( x ) ? 2 ln x ? 2 ( x ? 0) . 由 2 x x
当0 ? x ?

g '( x) ?

2 4 2 x2 ? 4 ? 0 ,得 x ? 2 , g ( 2) ? 1 ? ln 2 . ? ? x x3 x3

2 时, g '( x) ? 0 ,

函数 y ? g ( x) 在区间 (0, 2) 上为减函数, g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ;当 x ?

2 时, g '( x) ? 0 ,函数

y ? g ( x) 在区间 ( 2, ??) 上为增函数, g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ;所以,当且仅当 b ? 1 ? ln 2 时,

b ? g ( x) 有两个不同的解,设为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) .
x

↘ 极大值 此时,函数 y ? f ( x) 既有极大值,又有极小值. ② 由 题 意 e x ? a l nx?

f '( x) f ( x)

(0,x1) ?

x1 0

(x1,x2) ?? ↗

x2 0 极小值

(x2,+∞) ? ↘

? ?

2 x

? b ? ? kx 对 一 切 正 实 数 x 恒 成 立 , 取 x ? 1 得 k ? (2 ? b)e . 下 证

? ?

e x ? a l nx?

? ?

2 x
x

x x ? b e 对一切正实数 x 恒成立.首先,证明 e ≥ex . 设函数 u( x) ? e ? ex , ? ? ( 2? b ) x

? ?

则 u '( x) ? e ? e ,当 x ? 1 时, u '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, u '( x) ? 0 ;得 e ? e x≥u(1) ? 0 ,即 e ≥ex ,
x x

当且仅当都在 x ? 1 处取到等号. 再证 ln x ?

1 x

≥1 . 设 v( x) ? ln x ?

1 x

?1 , 'x ) ? 则 v( 1 x

x ?1 x2

, 当x ?1

时, v '( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, v '( x ) ? 0 ;得 v( x)≥ v(1) ? 0 ,即 ln x ? 取到等号. 由上可得 e x ? a ln x ? 值为 (2 ? b)e .

≥1 ,当且仅当都在 x ? 1 处

? ?

2 x

? b ? ? (2 ? b) e x ,所以 ?

? ?

? f ( x) ? ? ? (2 ? b)e ,即实数 k 的最大 ? x ?min

9


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