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2014届高三数学(文)一轮总复习课件:第四篇 第3节平面向量的数量积及平面向量的应用(人教A版)




节 平面向量的数量积及平 面向量的应用

基础自主梳理
考向互动探究

最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量 数量积的运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系.

4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他 一些实际问题.

1.(2012 年高考陕西卷)设向量 a=(1,cos θ )与 b=(-1,2cos θ )垂直,则 cos 2θ 等于( C )

(A) (C)0

2 2

1 (B) 2
(D)-1

解析:∵a ? b, ∴1×(-1)+cos θ·2cos θ=0, 即 2cos θ-1=0. ∴cos 2θ=2cos θ-1=0. 故选 C.
2 2

2.(2012 皖北协作区联考)已知 e1,e2 是两夹角为 120°的单位向量,a=3e1+2e2,则|a|等于( D ) (A)4 (B)

11

(C)3

(D)

7

解析:由题意知 a =(3e1+2e2) =9 e =7, 所以|a|= 故选 D.
2 1

2

2

+4 e

2

2

+12|e1|·|e2|·cos 120°

7.

3.(2012 年高考浙江卷)设 a、b 是两个非零 向量( C )

(A)若|a+b|=|a|-|b|,则 a ? b (B)若 a ? b,则|a+b|=|a|-|b| (C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a (D)若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|

解析:由|a+b|=|a|-|b|两边平方,得 a2+b2+2a· b=|a|2+|b|2-2|a|· |b|,即 a· b=-|a|· |b|, 故 a 与 b 方向相反.又|a|≥|b|,则存在实数 λ∈[-1,0),使得 b=λa.故选项 A、B 不正确,选项 C 正确,而两向量共线,不一定有|a+b|=|a|-|b|,即 选项 D 不正确.故选 C.

4.(2013 东阳中学月考)已知一物体在共点力 F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移 s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功为 . 解析: F1+F2=(1,2lg 2), W=(F1+F2)·s=2lg 5+2lg 2=2. 答案: 2

1.向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量 a 和 b, 如图所示,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做 向量 a 与 b 的夹角,也可记作<a,b>=θ .

(2)范围 向量夹角θ 的范围是[0,π ],a 与 b 同向时, 夹角θ =0;a 与 b 反向时,夹角θ =π . (3)垂直关系 如果向量 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直, 记作 a ? b.

2.平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ ,则向 量 a 与 b 的数量积是数量|a||b|cos θ ,记作 a?b, 即 a?b=|a||b|cos θ .

(2)向量的投影 设θ 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方向上的投 影是|a|cos θ ;向量 b 在 a 方向上的投影是 |b|cos θ . (3)数量积的几何意义 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上 的投影|b|cos θ 的乘积.

3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a、b 的 夹角. 见附表 4.平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c 和实数λ ,则: (1)交换律:a?b= b?a; (2)结合律:(λ a)?b=λ (a?b)= a?(λ b); (3)分配律:(a+b)?c= a?c+b?c.

质疑探究:若非零向量 a、 b、 c(1)满足 a· c=b· c, 则 a=b 吗?(2)(a·b)c=a(b·c)恒成立吗? 提示:(1)不一定有 a=b,因为 a·c=b·c? c·(a-b)=0,即 c 与 a-b 垂直,但不一定有 a=b. 因此向量数量积不满足消去律. (2)因为(a·b)c 与向量 c 共线,(b·c)a 与向量 a 共线.当 c 与 a 不共线时(a·b)c≠a(b·c),即向 量的数量积不满足结合律.

5.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 相似、长度、夹角等问题.

运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、

6.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量, 它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可 以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F?s=|F||s|cos θ (θ 为 F 与 s 的夹角).

平面向量数量积的运算

【例 1】 (2012 年高考北京卷)已知正方形 ABCD 的边 长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值 为 ; DE ? DC 的最大值为 .

思维导引:在正方形 ABCD 中存在垂直关系.因此我们 可以建立平面直角坐标系写出各向量的坐标.利用坐 标求解使运算更简便.

解析:以 A 点为原点,AB 边所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系,如图所示,则正方形各顶点坐 标分别为 A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1),设 E(a,0),0≤a≤1.

DE · CB =(a,-1)·(0,-1)=a×0+(-1)×(-1)=1. DE · DC =(a,-1)·(1,0)=a+(-1)×0=a≤1,
故 DE · DC 的最大值为 1. 答案:1 1

数量积的计算方法: (1)已知向量 a、b 的模及夹角θ,可以选用公式 a·b=|a||b|cos θ求解. (2)已知向量 a、b 的坐标形式,可以选用数量积 的坐标形式计算.

变式训练 1-1:(2013 昆明三中月考) 如图所示,在等腰直角△ABO 中,设

OA =a, OB =b,OA=OB=1,C 为 AB 上靠近点 A 的四
等分点,过 C 作 AB 的垂线 l,设 P 为垂线上任一点,
?

OP

=p,则 p?(b-a)等于(

)

1 (A)2

3 (C)2 1 AB , 解析:由题意知 AC = 4

1 (B) 2

3 (D) 2

OP = OA + AC + CP ,
所以 p·(b-a)= OP · AB ,

即( OA + = OA · = OA ·

AC + CP )· AB

AB + AC · AB + CP · AB AB + AC · AB

2 1 =| OA |·| AB |cos< OA , AB >+ AB 4

=

2

×cos

1 135°+ 4
1 )+ 2

×(

2

)

2

=

2 2 ×( 2

1 =-1+ 2

1 =2

,

所以 p·(b-a)=-

1 2

,故选 A.

变式训练 1-2:若 a=(3,-4),b=(2,1),则 (a-2b)?(2a+3b)= =2a -a·b-6b = 2×5 -(3×2-4×1)-6×5 =50-2-30=18.
2 2 2

.

解析:法一 (a-2b)·(2a+3b)

法二 a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6), 2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5), ∴(a-2b)·(2a+3b)= (-1)×12+(-6)×(-5)=-12+30=18. 答案:18

利用平面向量的数量积解决长度 及垂直问题

【例 2】已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)

?

(ka-b)?

思维导引:(1)根据公式|a+b|= 解即可.(2)利用(a+2b)

( a ? b)

2



?

(ka-b)?

(a+2b)·(ka-b)=0.列出关于 k 的方程,进而求 k 的值.

1 ( - ) =-16. 解:由已知得,a?b=4?8? 2
(1)①∵|a+b| =a +2a?b+b = 16+2?(-16)+64=48, ∴|a+b|=4
2 2 2

3.

②∵|4a-2b| =16a -16a?b+4b = 16?16-16?(-16)+4?64=768, ∴|4a-2b|=16

2

2

2

3.

(2)若(a+2b)

?

(ka-b),

则(a+2b)?(ka-b)=0, ∴ka +(2k-1)a?b-2b =0, 即 16k-16(2k-1)-2?64=0, ∴k=-7.即 k=-7 时, a+2b 与 ka-b 垂直.
2 2

(1)利用数量积求解长度问题的处理方法 ①a = a·a =|a| 或|a|= ②|a±b|=
2 2

a ?a .

( a ? b)

2

=
2

a ? 2a ? b ? b
2
2

2

.

③若 a=(x,y),则|a|=

x ?y

.

(2)两向量垂直的判断方法及应用 ①若 a,b 为非零向量,则 a ? b?a·b=0;若非零 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b?x1x2+y1y2=0. ②一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致 的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向 量问题的两大途径.

变式训练 2 1: (2013 北大附中河南分校月考) 向量 a、b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则 |5a-b|= .

解析:a·b=|a|·|b|cos
2 2

3 120°=2
2

,

所以|5a-b| =25a -10a·b+b

3 =25-10×(2
=49,

)+9

所以|5a-b|=7. 答案:7

变式训练 2 2:(2012 年高考新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= |b|= .

10 ,则

解析:把|2a-b|=
2

10 两边平方得
2

4|a| -4|a|·|b|cos 45°+|b| =10. ∵|a|=1, ∴|b| -2 ∴|b|=3 答案:3
2

2 |b|-6=0.
2 或|b|=- 2
(舍去).

2

利用平面向量的数量积解决夹角问题
【例 3】已知向量 4a-2b=(-2,2

3 ),c=(1,

3 ),

a?c=3,|b|=4,求向量 b 与 c 的夹角α .

思维导引:根据数量积的公式 cos

b?c α= ,所 | b || c |

以需要求 b·c 以及|c|,结合已知条件进行转化求解 b·c 是本题的关键.

解:∵4a-2b=(-2,2

3 ),c=(1,

3 ),

∴(4a-2b)·c=-2+6=4, 即 4a·c-2b·c=4. 又∵a·c=3, ∴2b·c=4a·c-4=4×3-4=8. ∴b·c=4.

由题意得|c|=2, ∴cos

b?c 4 1 α= = = | b || c | 4 ? 2 2

.

又∵α∈[0,π],

π ∴α= . 3

(1)求解向量夹角的方法 ①利用向量数量积的定义,cos

a ?b θ= ,其 | a || b |

中两向量夹角的范围为 0°≤θ≤180°,求解时 应求出三个量:a·b、|a|、|b|或者找出这三个量 之间的关系.

②利用坐标公式,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 cos θ=

x1 x2 ? y1 y 2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

.

③三角函数法,可以把这两个向量的夹角放在三角 形中,利用正余弦定理,三角形的面积公式等求解.

(2)求解向量的夹角时的注意事项 ①若 a· b>0,说明两向量夹角为锐角或零(即共线 同向). ②若 a· b<0,说明两向量夹角为钝角或π(即共线 反向).

变式训练 3 1: (2012 佛山模拟)设向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,a?(a-b)=0,则 a 与 b 的夹 角是( (A)30° ) (B)60° (C)90° (D)120°

解析:由 a·(a-b)=0, 2 得 a =a·b, 即 a·b=a2=1, 所以 cos<a,b>=

1 1 a?b = = a ? b 1? 2 2

.

又因为< a,b>∈[0°,180°], 所以<a,b>=60°. 故选 B.

数量积的应用
【例 4】 在△ABC 中,已知 2

AB ? AC = 3 | AB |?| AC |=3| BC | ,
2

求角 A、B、C 的大小.

审题指导:
条件与待求 1.在△ABC 中; 2.2 转化策略 1.A+B+C=π,属于隐含条件 需要挖掘.; 2.转化为对应的 a、b、c,可 以求出 A; 3.转化为对应的 a、b、c,结 合正弦定理、三角形内角和
2

AB · AC =

3 | AB |·| AC |;
3.

3|

AB |·| AC |=3| BC |

及已求的角 A 求解 B、C

解:在△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 由2

AB ? AC = 3 | AB |?| AC |得 2bccos A= 3 bc,
3 , 2

∴cos A=

又∵A∈(0,π ),

π ∴A= . 6



3 | AB |?| AC |=3| BC | 得 bc= 3 a ,由
2 2

正弦定理得 sin C?sin B=

3 sin A=
2

3 , 4

∴sin

? 5π ? 3 -C?= C?sin ? , ? 6 ? 4

即 sin

?1 ? 3 3 ?= sin C C? ? cos C ? , ?2 ? 4 2 ? ?

∴2sin C?cos C+2 ∴sin 2C-

3 sin C= 3 ,
2

3 cos

2C=0,

π? ? ∴sin ? 2C ? ? =0, 3? ?
π 5π 由 A= 知 0<C< , 6 6 π π 4π ∴- <2C- < , 3 3 3

π π 从而 2C- =0 或 2C- =π , 3 3 π 2π 即 C= 或 C= . 6 3 π 2π π π π 故 A= ,B= ,C= 或 A= ,B= 6 3 6 6 6

2π ,C= . 3

在解决平面向量与三角形的问题时, 要先根据向量的运算性质将向量问题转化为三角 形问题,再应用三角形的相关定理来解答.

变式训练 4 1:已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、 b、 c,设向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m//n,求证:△ABC 为等腰三角形;

π (2)若 m ? p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3

(1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B, 由正弦定理知 a =b ,即 a=b. ∴△ABC 为等腰三角形.
2 2

(2)解:由题意可知 m·p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a +b -ab=(a+b) -3ab, 即(ab) -3ab-4=0, ∴ab=4(舍去 ab=-1), ∴S△ABC
2 2 2 2

1 = 2

absin

1 C= 2

π ?4?sin = 3 . 3

【例 1】(2013 诸城市月考)以下命题:①若
|a?b|=|a|?|b|,则 a∥b;②a=(-1,1)在 b=(3,4)方向

1 上的投影为 ;③若△ABC 中,a=5,b 5

=8,c =7,则

BC ? CA =20;④若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则
|2b|>|a+2b|.其中所有真命题的序号 是 .

解析:由|a·b|=|a|·|b||cos<a,b>|=|a|·|b|, 所以 cos<a,b>=±1, 即<a,b>=0 或<a,b>=π, 所以 a∥b,所以①正确.

a ?b a 在 b 方向上的投影为|a|cos<a,b>= b
?3? 4 1 = = ,所以②正确. 5 5

cos

5 ?8 ?7 C= 2?5?8
2 2

2

1 = 2

,

即 C=60°. 所以 BC · CA =| BC |·| CA |cos 120°

1 =5×8×(2
所以③错误.

)=-20,

由|a+b|=|b|得, a +2a·b=0, 2 即 2a·b=-a , 若|2b|>|a+2b|, 2 2 2 则有 4b >a +4a·b+4b , 即 a +4a·b=a -2a =-a <0,显然成立,所以④正确. 综上所有真命题的序号为①②④. 答案:①②④
2 2 2 2 2

【例 2】 已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互

π 相垂直,其中θ ? (0, ) . 2
(1)求 sin θ 和 cos θ 的值;

π 10 (2)若 sin (θ - ? )= ,0< ? < ,求 cos ? 的值. 2 10

解:(1)∵向量 a 与 b 互相垂直, 则 a?b =sin θ -2cos θ =0, 即 sin θ =2cos θ , 2 2 代入 sin θ +cos θ =1,

2 5 5 得 sin θ =± ,cos θ =± , 5 5

π 2 5 5 又θ ? (0, ) ,∴sin θ = ,cos θ = . 2 5 5 π π (2)∵0< ? < ,0<θ < , 2 2 π π ∴- <θ - ? < , 2 2

3 10 则 cos (θ - ? )= 1 ? sin (? ? ? ) = , 10
2

∴cos ? =cos [θ -(θ - ? )]

2 =cos θ cos (θ - ? )+sin θ sin (θ - ? )= . 2

分类讨论考虑不全面 【典例】 已知向量 OA =(1,4), OB =(5,10),

OC

=(2,m).

(1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值.

正确解析:(1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三 点不共线, ∵

AB =(4,6), AC

=(1,m-4),故 4(m-4)≠6,

11 ∴实数 m 应满足的条件为 m≠ . 2

若 C 为直角,则 AC

? BC ,

∴-3+(m-4)(m-10)=0, ∴m -14m+37=0,∴m=7±2
2

3.

10 故 m= 或 m=12 或 m=7±2 3 . 3

解决本题容易出现以下两处失误: (1)由于按照三点共线来求 m 的值,但是最后需

11 要取其补集部分,好多同学忽视,误写成 m= , 2
导致错误.

(2)由于△ABC 是直角三角形,但是没有指明哪个 角为直角,有很多同学没有讨论,而是直接把其中 一个角当作直角求解,讨论不全面而不能得全分.

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