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球面距离计算公式的推导及举例

球面距离的计算及其计算公式
在球面上,不在同一直径上的两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的 长度,我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离. (也叫球面上的短程线或测地线) 如图 1,A、B 为球面上不在同一直径上的两点, O 为圆心,⊙ O 为过 A、B 的大圆,⊙ O? 为过 A、 B 的任一个小圆,我们把这两个圆画在同一个平面内. (见图 1)设 ?AOB ? 2? , ?AO?B ? 2? ? ,球半 径为 R ,半径为 r .则有 AB 大圆弧长 L ? 2?R ,

L 2?R ?R ? ? (1) l 2? ?r a?r R sin ? ? 但 AB ? 2 R sin ? ? 2r sin ? ? ,即 ? (2) r sin ? sin ? ? L ? sin ? ? 将(2)代入(1)得 ? ? (3) ? ?? sin ? l a? sin ?
AB 小圆弧长 l ? 2? ?r

?

∵ R ? r ,由(2)式知 ? ? ? ? .由于 0 ? ? ? ? ? ? 减即可. ∴ f ?? x ? ? ∵当 x ? ? 0,

?
2

,故只需证明函数 f ? x ? ?

sin x ? ? ? 在 ? 0. ? 内为单调递 x ? 2?

x cos x ? sin x cos x?x ? tan x ? ? ?0, x2 x2

? ?? ? ?? ? 时,有 tan x ? x )∴ f ?x ? 在 ? 0, ? 单调递减, ? 2? ? 2?
L ? 1 ,即 L ? l . 故大圆劣弧最短。 l

由(3)式不难得到

球面距离公式:设一个球面的半径为 R ,球面上有两点 A??1 , ?1 ? 、 B?? 2 , ? 2 ? . 其中 ?1 , ? 2 为点 的经度数, ?1 、 ? 2 为点的纬度数,过 A 、 B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为 ? ,则有

? ? ? arccos[cos?1 ? ? 2 ?cos ?1 cos ? 2 ? sin ?1 ? sin ? 2 ] (弧度) ? A、B 间的球面距离为: L ? R? ? R arccos[cos?1 ? ? 2 ?cos ?1 cos ? 2 ? sin ?1 ? sin ? 2 ]
证明:如图 1,⊙ O1 与⊙ O2 分别为过 A、B 的纬度圈,过 A、C 的大圆,过 B 、D 的大圆分别为 A、 B 的经度圈,而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直,作 AE ? 面 O2 BC ,垂足 E 位于 O2C 上,连结 EB 、
2 AB . 则 AE2 ? O1O2 ? ?OO1 ? OO2 ?2 ? ?R sin ?1 ? R sin ? 2 ?2 ? R2 ?sin ?1 ? sin ? 2 ?2

在 ?O2 BE 中,由余弦定理,得: BE ? O2 E ? O2 B ? 2O2 E ? O2 B cos??1 ? ? 2 ?
2 2 2

? O1 A2 ? O2 B2 ? 2O1 A ? O2 B cos??1 ? ? 2 ?

? ?R cos ?1 ? ? ?R cos ? 2 ? ? 2R cos ?1 ? R cos ? 2 ? cos??1 ??2 ?
2 2

1

? R2[ cos2 ?1 ? cos2 ? 2 ? 2 cos ?1 ? cos ? 2 ? cos??1 ? ?1 ? ]
故 AB2 ? AE2 ? BE2 ? R2[2 ? 2 sin ?1 sin ? 2 ? 2 cos ?1 cos ? 2 ? cos??1 ? ? 2 ?] 又 AB2 ? ? 2R sin

?

?

? ?

??

2 2 ? 2R 2 ?1 ? cos? ? ,比较上述两式,化简整理得: ? ? 4R sin 2? 2

2

?

cos? ? cos??1 ? ?1 ?cos ?1 cos ? 2 ? sin ?1 sin ? 2 ,从而可证得关于 ? 与 L 的两个式子.

计算球面距离的三种类型
现行课本中,介绍了球面距离的概念,这方面的习题很多,同学们学习时普遍感到困难.下面给出这 类习题解答的示范,以供同学们参考. 1.位于同一纬度线上两点的球面距离 例 1 已知 A , B 两地都位于北纬 45 ,又分别位于东经 30 和 60 ,设地球半径为 R ,求 A , B 的 球面距离. 分析:要求两点 A , B 的球面距离,过 A , B 作大圆,根据弧长公式,关键要求圆心角 ?AOB 的大 小(见图 1) ,而要求 ?AOB 往往首先要求弦 AB 的长,即要求两点的球面距离,往往要先求这两点的直 线距离. 解:作出直观图(见图 2) ,设 O 为球心, O1 为北纬 45 圈的圆心,连结 OA , OB , O1 A
? 由于地轴 NS ? 平面 AO B . ?O O 1 与 ?OBO 为纬度 45 , AO B 为二面角 A - OO1 - B ∴ O1B ,AB . A ? 1 1 1 ? ? ? ?

的平面角.∴ ?AO B ? 60? ? 30? ? 30? (经度差) . 1

Rt △ OAO 中, O1 A ? OA cos?OAO1 ? R ? cos 45? ? 1

2 R. 2

△ O1 AB 中,由余弦定理, AB2 ? O1 A2 ? O1B2 ? 2O1 A ? O1B cos?AO B 1

? 2 ? ? 2 ? 2 2 2? 3 2 ? ? ? ? ?? ? 2 R ? ? ? 2 R ? ? 2 ? 2 R ? 2 R ? cos30 ? 2 R . ? ? ? ?
OA 2 ? OB 2 ? AB 2 ? △ OAB 中,由余弦定理: cos ?AOB ? 2OA ? OB
∴ ?AOB ? 21 .∴ AB 的球面距离约为
?

2

2

R2 ? R2 ?

2? 3 2 R 2? 3 2 ? , 2 2R 4

?R
180

? 21 ?

7 ?R . 60
?

2.位于同一经线上两点的球面距离 例 2 求东经 57 线上,纬度分别为北纬 68 和 38 的两地 A , B 的球面距离. (设地球半径为 R ) . 解:经过 A、B 两地的大圆就是已知经线.
? ?

?AOB ? 68? ? 38? ? 30? , AB ?

30 ? ? ? R ?R ? . 180 6
2

3.位于不同经线,不同纬线上两点的球面距离 例3 图 4) 解: 设 O 为球心,O1 ,O2 分别为北纬 30 和北纬 60 圈的圆心, 连结 OA ,OB ,
? ? ? ? ? A 地位于北纬 30? , 东经 60 ,B 地位于北纬 60 , 东经 90 , A ,B 两地之间的球面距离. 求 (见

AB .\ Rt △ OO1 A 中,由纬度为 30? 知 ?OAO ? 30? , 1

O1O ? OA sin ?OAO1 ? R sin 30 ? ?

1 R, 2

AO1 ? OA cos?OAO1 ? R cos30? ?

3 R . Rt △ OO2 B 中, ?OBO2 ? 60? , 2

∴ O2O ? R ? sin 60 ?
?

R 3 3 1 3 ?1 R , O2 B ? R ? cos 60 ? ? ,∴ O1O2 ? OO2 ? OO1 ? R? R ? R. 2 2 2 2 2
? ? ?

注意到 O1 A 与 O2 B 是异面直线,它们的公垂线为 O1O2 ,所成的角为经度差 90 ? 60 ? 30 ,利用异面直 线上两点间的距离公式.
2 AB2 ? O1 A2 ? O2 B2 ? O1O2 ? 2O1 A ? O2 B cos? ( ? 为经度差)

? 3 ? ? 1 ?2 ? 3 ?1 ? 3 1 5?2 3 2 ? ? ? ? ?? R . ? 2 R ? ? ? 2 R ? ? ? 2 R ? ? 2 ? 2 R ? 2 R ? cos30 ? 4 ? ? ? ? ? ?
OA 2 ? OB 2 ? AB 2 ? △ AOB 中, cos ?AOB ? 2OA ? OB R2 ? R2 ? 5?2 3 2 R 4 2R ? R

2

2

?

?R 7 3? 2 3 ? 35 ? ?R . ? 0.8205.∴ ?AOB ? 35? .∴ AB 的球面距离约为 180 36 8

3


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