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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 理

第3讲

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系 训练提示:根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数 ,可以研究直线与圆锥曲线 的位置关系,方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次 项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,才可以用 判别式Δ 的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系. 1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: + =1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1) 在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; 2 (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. 解:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1, 将点 P(0,1)代入椭圆方程 + =1,得 =1, 即 b =1,所以 a =b +c =2, 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由
2 2 2 2 2 2 2

消去 y 并整理得,
2

(1+2k )x +4kmx+2m -2=0, 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 2 2 2 2 所以Δ 1=16k m -4(1+2k )(2m -2)=0, 2 2 整理得 2k -m +1=0, ① 由
2 2

消去 y 并整理得,
2

k x +(2km-4)x+m =0, 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 2 2 2 所以Δ 2=(2km-4) -4k m =0, 整理得 km=1, ② 综合①②,解得 或

1

所以直线 l 的方程为 y= x+

或 y=- x-

.

2.若双曲线 E: -y =1(a>0)的离心率等于 (1)求 k 的取值范围; (2)若|AB|=6 ,点 C 是双曲线上一点,且

2

,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点.

=m(

+

),求 k,m 的值.

解:(1)由


2 2

故双曲线 E 的方程为 x -y =1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得(1-k )x +2kx-2=0.(*)
2 2

因为直线与双曲线右支交于 A,B 两点, 故



所以 k 的取值范围为(1,

).

(2)由(*)得 x1+x2=

,x1x2=

,

所以|AB|=

?

=2
4 2

=6

,

整理得 28k -55k +25=0, 所以 k = 或 k = .
2 2

又 1<k<

,所以 k= ,

所以 x1+x2=4

,y1+y2=k(x1+x2)-2=8.
2

设 C(x3,y3),由

=m(

+

),得

(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4 因为点 C 是双曲线上一点, 所以 80m -64m =1,得 m=± .
2 2

m,8m).

故 k= ,m=± .

圆锥曲线中的弦长、面积问题 训练提示:解决弦长、 面积问题的关键是联立直线与圆锥曲线方程,借助根与系数的关系求得 弦长,选择合适的公式求解面积. 3.(2015 天津模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0)的中心为 O,它的一个顶点为(0,1),离心率为 , 过其右焦点的直线交该椭圆于 A,B 两点. (1)求这个椭圆的方程; (2)若 ? =0,求△OAB 的面积.

解:(1)因为 = ,所以 c = a ,

2

2

依题意 b=1,所以 a -c =1,所以 a - a =1,

2

2

2

2

所以 a =2,所以椭圆的方程为 +y =1.

2

2

(2)椭圆的右焦点为(1,0),当直线 AB 与 x 轴垂直时,A,B 的坐标为(1, ),(1,- ),此时

?

= ≠0,

所以直线 AB 与 x 轴不垂直. 设 直 线 AB 的 斜 率 为 k, 则 直 线 AB 的 方 程 为 y=k(x-1), 与 (2k +1)x -4k x+2k -2=0,
2 2 2 2

+

=1, 联 立 得

3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0), 所以 x1+x2= ,x1x2= ,

M(

,

),

因为

?

=0,

即(x1,y1)?(x2,y2)=0, 所以 x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)?k(x2-1) 2 2 2 =(k +1)x1x2-k (x1+x2)+k =0, 即 +k =0,
2

所以 k =2,所以 k=±

2

,

所以|AB| =4|OM| =4[(

2

2

) +(

2

) ]= ,

2

所以|AB|=

.

Rt△OAB 斜边高为点 O 到直线 AB 的距离 d= = ,

所以△OAB 的面积为 d|AB|= ? ?
2

=

.

4.(2015 昆明模拟)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,M∈C,以 M 为圆心的圆 M 与 l 相切于点 Q,Q 的纵坐标为 p,E(5,0)是圆 M 与 x 轴的不同于 F 的一个交点.

(1)求抛物线 C 与圆 M 的方程; (2)过 F 且斜率为 的直线 n 与 C 交于 A,B 两点,求△ABQ 的面积.

解:(1)由抛物线的定义知,圆 M 经过焦点 F( ,0),

Q(- ,

p),点 M 的纵坐标为

p,

4

又 M∈C,则 M( ,

p),|MF|=2p.

由题意,M 是线段 EF 的垂直平分线上的点, 所以 = ,解得 p=2,

故抛物线 C:y =4x,圆 M:(x-3) +(y-2

2

2

) =16.

2

(2)由题意知直线 n 的方程为 y= (x-1),



解得



设 A(4,4),B( ,-1),则|AB|= .

点 Q(-1,2

)到直线 n:4x-3y-4=0 的距离 d=

,

所以△ABQ 的面积 S= |AB|?d=

.

圆锥曲线的轨迹问题 训练提示:求动点的轨迹方程的关键:根据题目条件选择合适的方法,寻找关于动点,横纵坐 标所满足的关系式. 5.(2015 甘肃兰州第二次监测)已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上的动点,点 F(1,0)为 定点,且满足 + =0, ? =0.

(1)求动点 N 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A,B,试判断在 x 轴上是否存在点 C,使得 2 2 2 |CA| +|CB| =|AB| 成立,请说明理由. 解:(1)设 N(x,y),则由 得 P 为 MN 的中点. 所以 P(0, ),M(-x,0). + =0,

所以

=(-x,- ),

=(1,- ).
5

所以

?

=-x+ =0,即 y =4x.
2

2

所以动点 N 的轨迹 E 的方程 y =4x. (2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 由 消去 x 得 y - y-4=0.
2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2=-4. 假设存在点 C(m,0)满足条件, 则 =(x1-m,y1), =(x2-m,y2),

所以

?
2

=x1x2-m(x1+x2)+m +y1y2 =( ) -m(
2

)+m -4

2

=- [(y1+y2) -2y1y2]+m -3

2

2

=m -m( +2)-3.

2

显然关于 m 的方程 m -m( +2)-3=0 有解. 即在 x 轴上存在点 C,使得|CA| +|CB| =|AB| 成立. 2 2 2 2 6.已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹 为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P、圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 |AB|. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1; 圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、 右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 的椭圆(左顶
2 2 2

2

6

点除外), 其方程为 + =1(x≠-2). (2)对于曲线 C 上任意一点 D(x,y), 由于|DM|-|DN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合, 可得|AB|=2 .

若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 = ,

可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4), 由 l 与圆 M 相切得 =1,

解得 k=± .

当 k= 时,y= x+
2

代入 + =1,

并整理得 7x +8x-8=0, 解得 x1,2= .

所以|AB|=

|x2-x1|= .

当 k=- 时,

由图形的对称性可知|AB|= .

综上,|AB|=2

或|AB|= .

7

类型一:直线与圆锥曲线的位置关系 1. 如图,F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、 右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线

交椭圆的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q.

(1)若点 Q 的坐标为(4,4),求椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. (1)解:将点 P(-c,y1)(y1>0)代入 + =1 得 y1= ,

PF2⊥QF2?
2

?

=-1, ①

即 2b =ac(4-c).

又 Q(4,4),所以 =4, ② c =a -b (a,b,c>0), ③ 由①②③得 a=2,c=1,b= ,
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为 + =1.

(2)证明:设 Q( ,y2).由(1)知 P(-c, ).

所以

=

=-

,

=

=

.

所以 PF2⊥QF2?-

?

=-1?y2=2a,

8

所以 kPQ=

= .

则直线 PQ 的方程可表示为 y- = (x+c), 即 cx-ay+a =0, 由 消去 y 可得 a x +2ca x+a -a b =0. 因为 a>0, 2 2 2 所以 x +2cx+a -b =0, 2 2 即 x +2cx+c =0, 2 2 此时Δ =(2c) -4c =0. 故直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 2.(2014 湖北卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1. 记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、 两个公共点、 三个公共点时 k 的相应取值范围. 解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 化简整理得 y =2(|x|+x). 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y = (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组 可得 ky -4y+4(2k+1)=0.(*)
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

=|x|+1.

①当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程, 得 x= .

故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点( ,1). ②当 k≠0 时,方程(*)根的判别式为Δ =-16(2k +k-1).(**) 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=.(***)
2

9

(ⅰ)若

由(**)(***)解得 k<-1 或 k> .

即当 k∈(-∞,-1)∪( ,+∞)时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点. 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. (ⅱ)若 或 由(**)(***)

解得 k∈(-1, ),或- ≤k<0.

即当 k∈(-1, )时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点.

当 k∈[- ,0)时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点.

故当 k∈[- ,0)∪(-1, )时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.

(ⅲ)若

由(**)(***)解得-1<k<- 或 0<k< .

即当 k∈(-1,- )∪(0, )时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 综合①②可知,当 k∈(-∞,-1)∪( ,+∞)∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点;当 k

∈[- ,0)∪(-1, )时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈(-1,- )∪(0, )时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公 共点. 类型二:弦长、面积及与弦中点、弦端点相关的问题 3.(2015 安徽卷)设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),

点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 .

10

(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ,求 E 的方程. 解:(1)由题设条件知,点 M 的坐标为( a, b),

又 kOM= ,从而 = .

进而得 a=

b,c=

=2b.

故 e= =

.

(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为

+ =1,点 N 的坐标为( b,- b).

设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为(x1, ),

则线段 NS 的中点 T 的坐标为( b+ ,- b+ ). 又点 T 在直线 AB 上, 且 kNS?kAB=-1,

从而有

解得 b=3.所以 a=3

,

故椭圆 E 的方程为 + =1.

4.(2015 江西赣州高三模拟)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的焦距为 2,A 是 E 的右顶点,P,Q 是

E 上关于原点对称的两点,且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜率之积为- . (1)求 E 的方程;

11

(2)过 E 的右焦点作直线与 E 交于 M,N 两点,直线 MA,NA 与直线 x=3 分别交于 C,D 两点,设△ ACD 与△AMN 的面积分别记为 S1,S2,求 2S1-S2 的最小值. 解:(1)设 P(x0,y0),Q(-x0,-y0), 则 = (a - ),
2

kPA?kQA=

?

=

=- ,

依题意有 = , 又 c=1,所以解得 a =4,b =3, 故 E 的方程为 + =1. (2)设直线 MN 的方程为 x=my+1, 2 2 代入 E 的方程得(3m +4)y +6my-9=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 y1+y2=,y1y2=,
2 2

直线 MA 的方程为 y=

(x-2),

把 x=3 代入得 yC=

=

,

同理 yD=

.

所以|CD|=|yC-yD|=

=3

,

所以 S1= |CD|=

.

S2= |AF||y1-y2|=

,

2S1-S2=3

-

,



=t(t≥1),则 m =t -1,
12

2

2

所以 2S1-S2=3t-

,

记 f(t)=3t-

,

则 f′(t)=3+

>0,

所以 f(t)在[1,+∞)上是单调递增的, 所以 f(t)的最小值为 f(1)= .

即 2S1-S2 的最小值为 . 类型三:圆锥曲线与向量的综合 5.(2015 吉林模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点到直线 x+y+ =0 的距离为

2

.

(1)求椭圆的方程; (2)过点 M(0,-1)作直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 N 点,且满足 方程. 解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0), =,求直线 l 的



=2

,c+

=±2

,c=

或 c=-3

(舍去).

又离心率 = , = ,

故 a=2

,b=

=

,

故椭圆的方程为 + =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0), 因为 =,
13

所以(x1-x0,y1)=- (x2-x0,y2),y1=- y2,



易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立, 于是设直线 l 的方程为 y=kx-1(k≠0), 联立方程,得 消去 x 得(4k +1)y +2y+1-8k =0, 因为Δ >0, 所以直线与椭圆相交, 于是 y1+y2=,
2 2 2





y1y2=

,



由①③得,y2=
4

,y1=2 2

,

代入④整理得 8k +k -9=0,k =1,k=±1, 所以直线 l 的方程是 y=x-1 或 y=-x-1. 6.(2015 黑龙江高三模拟)已知 A,B,C 是椭圆 M: + =1(a>b>0)上的三点,其中点 A 的坐标为

(2

,0),BC 过椭圆的中心,且

?

=0,|

|=2|

|.

(1)求椭圆 M 的方程; (2)过点(0,t)的直线 l(斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交 点,且| |=| |,求实数 t 的取值范围.

解:(1)因为|

|=2|

|且 BC 过(0,0),则|

|=|

|.

因为

?

=0,

所以∠OCA=90°, 又因为 a=2 ,

14

所以 C(

,

).

设椭圆 M 的方程为 +

=1,

将 C 点坐标代入得 +

=1,

解得 c =8,b =4.所以椭圆 M 的方程为 + =1. (2)由条件知 D(0,-2), 当 k=0 时,显然-2<t<2; 当 k≠0 时,设 l:y=kx+t,

2

2

消 y 得(1+3k )x +6ktx+3t -12=0, 2 2 由Δ >0 可得,t <4+12k , 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), PQ 中点 H(x0,y0), 则 x0= = ,y0=kx0+t= ,

2

2

2



所以 H(

,

).

由|

|=|

|,所以 DH⊥PQ,即 kDH=- .

所以

=- ,
2

化简得 t=1+3k , 所以 t>1,由①②得,1<t<4. 综上实数 t 的取值范围为(-2,4).



15


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