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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:2.3(含答案)

第二章 2.3 第 3 课时
高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.下列函数中,不具有奇偶性的函数是( ) 1+x A.y=ex-e-x B.y=lg 1-x C.y=cos2x D.y=sinx+cosx 答案 D 2.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 答案 D 3.已知 f(x)为奇函数,当 x>0,f (x)=x(1+x),那么 x<0,f(x)等于( ) A.-x(1-x) B.x(1-x) C.-x(1+x) D.x(1+x) 答案 B 解析 当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又 f(-x)=-f(x),∴f(x) =x(1-x). 4.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案 A 解析 由 f(x)是偶函数知 b=0,∴g(x)=ax3+cx 是奇函数. 5.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 答案 D 解析 令 x≤0,则-x≥0,所以 f(-x)=2-x-2x+b,又因为 f(x)在 R 上是奇 函数,所以 f(-x)=-f(x)且 f(0)=0,即 b=-1,f(x)=-2-x+2x+1,所以 f(-1) =-2-2+1=-3,故选 D. 1+x 6. 设 f(x)= , 又记 f1(x)=f(x), fk+1(x)=f(fk(x)), k=1,2, …, 则 f2011(x)=( ) 1-x 1 A.-x B.x x-1 1+x C. D. x+1 1-x 答案 C 1+x x-1 1 1 x-1 解析 由题得 f2(x)=f( )=- x, f3(x)=f(- x)= , f4(x)=f( )=x, f5(x) 1-x x+1 x+1 1+x x-1 = =f1(x),其周期为 4,所以 f2011(x)=f3(x)= . 1-x x+1 7.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4}

C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 答案 B 解析 当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8, 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8, 3 ?x -8,x≥0 ∴f(x)=? 3 . ?-x -8,x<0
3 ? ??x-2? -8,x≥0 ∴f(x-2)=? 3 ?-?x-2? -8,x<0 ?

, ,

? ?x≥0 ? 3 ??x-2? -8>0 ?

或?

? ?x<0 ? ?-?x-2? -8>0
3

解得 x>4 或 x<0.故选 B. 二、填空题 8.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=________. 答案 -1 解析 f(x)=x2+(a+1)x+a. ∵f(x)为偶函数,∴a+1=0,∴a=-1. 9.设 f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中 a,b,c 为常数,x∈R),若 f(-2011)=- 17,则 f(2011)=________. 答案 31 解析 f(2011)=a· 20115+b· 20113+c· 2011+7 5 3 f(-2011)=a(-2011) +b(-2011) +c(-2011)+7 ∴f(2011)+f(-2011)=14,∴f(2011)=14+17=31. 10.函数 f(x)=x3+sinx+1 的图象关于________点对称. 答案(0,1) 解析 f(x)的图象是由 y=x3+sin x 的图象向上平移一个单位得到的. 11.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,总有 f(x+2)=-f(x) 成立,则 f(19)=________. 答案 0 解析 依题意得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 f(x)是以 4 为周期的函数,因此 有 f(19)=f(4×5-1)=f(-1)=f(1),且 f(-1+2)=-f(-1),即 f(1)=-f(1),f(1) =0,因此 f(19)=0. 12.定义在(-∞,+∞)上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数 y= 1 f(x+2)为偶函数,则 f(-1),f(4),f(52)的大小关系是__________. 1 答案 f(52)<f(-1)<f(4) 解析 ∵y=f(x+2)为偶函数 ∴y=f(x)关于 x=2 对称 又 y=f(x)在(-∞,2)上为增函数 ∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而 f(-1)=f(5) 1 ∴f(52)<f(-1)<f(4).

13.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数, 给出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0), 其中正确的序号是________. 答案 ①②⑤ 解析 由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确, f(x)关于直线 x=1 对称,②正确, f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数,f(2)=f(0).因此③、④错误,⑤ 正确.综上,①②⑤正确. 三、解答题 14.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x-2,求 f(x)、g(x) 的解析式. 答案 f(x)=x2-2,g(x)=x 解析 ∵f(x)+g(x)=x2+x-2.① ∴f(-x)+g(-x)=(-x)2+(-x)-2. 又∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(x)-g(x)=x2-x-2.② 由①②解得 f(x)=x2-2,g(x)=x. 15.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且函数 f(x)在[0,1)上单调递减,并满足 f(2-x)=f(x),若方程 f(x)=-1 在[0,1)上有实数根,求该方程在区间[-1,3]上的所 有实根之和. 答案 2 解析 由 f(2-x)=f(x)可知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 又因为函数 f(x) 是奇函数,则 f(x)在(-1,1)上单调递减,根据函数 f(x)的单调性,方程 f(x)=-1 在 (-1,1)上有唯一的实根, 根据函数 f(x)的对称性, 方程 f(x)=-1 在(1,3)上有唯一的 实根,这两个实根关于直线 x=1 对称,故两根之和等于 2. -2x+b 16.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 1 答案 (1)a=2,b=1 (2)k<-3 b-1 解析 (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,即 =0?b=1 a+2 1-2x ∴f(x)= a+2x+1

1-2 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2x (Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)知 f(x)= ,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又 2+2x+1 因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因 f(x)为减函数,由上式推得: t2-2t>k-2t2.即对一切 t∈R 有:3t2-2t-k>0, 1 从而判别式 Δ=4+12k<0?k<-3 又由 f(1)=-f (-1)知

1 1-2

拓展练习·自助餐
1.已知函数 f(x)=ax2+2x 是奇函数,则实数 a=________. 答案 0 2.设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 答案 -1 解析 令 g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知, 函数 h(x)=ex+ae-x 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=- 1. 3.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么 f(x)在区间[- 7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 答案 B 解析 先考查函数 f(x)在[-7, -3]上的最值, 由已知, 当 3≤x≤7 时, f(x)≥5,

则当-7≤x≤-3 时,f(-x)=-f(x)≤-5 即 f(x)在[-7,-3]上最大值为-5.再考 查函数 f(x)在[-7,-3]上的单调性,设-7≤x1<x2≤-3.则 3≤-x2<-x1≤7,由 已知-f(x2)=f(-x2)<f(-x1)=-f(x1),从而 f(x2)>f(x1),即 f (x)在[-7,-3]上是单 调递增的. 4. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且{x|f(x)>0}={x|1<x<3}, 则 f(π)+f(- 2)与 0 的大小关系是( ) A.f(π)+f(-2)>0 B.f(π)+f(-2)=0 C.f(π)+f(-2)<0 D.不确定 答案 C 解析 由已知得 f(π)<0,f(-2)=-f(2)<0,因此 f(π)+f(-2)<0. f?x?-f?-x? 5.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 x 的解集为________. 答案 (-1,0)∪(0,1) 解析 由 f(x)为奇函数,则不等式化为 xf(x)<0

法一:(图象法)由

,可得-1<x<0 或 0<x<1 时,x· f(x)<0.

1 法二:(特值法)取 f(x)=x- x,则 x2-1<0 且 x≠0,解得-1<x<1,且 x≠0. 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)=?
? ?1 ?-1 ?

?-1<x≤0? ?0<x≤1?

,则

f(3)=________. 解析 ∵f(x+1)=-f(x),则 f(x)=-f(x+1)=-[-f(x+2)]=f(x+2),则 f(x) 的周期为 2,f(3)=f(1)=-1.

教师备选题
1.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在 闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)证明函数 f(x)为周期函数; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 解析 ?? (1)由?
? ?f?2-x?=f?2+x? ?f?7-x?=f?7+x? ?

? ?f?x?=f?4-x? ? ?f?x?=f?14-x?

?f(4-x)=f(14-x)

?f(x)=f(x+10) ∴f(x)为周期函数,T=10. (2)∵f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解, 从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 402 个解, 在[-2005,0]上有 400 个解,

所以函数 y=f(x)在[-2005,2005]上有 802 个解.


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