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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:导数几何意义的应用分类解析


导数几何意义的应用分类解析
函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切 线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成为函数知识与解析 几何知识交汇的一个重要载体.因此,用导数解决与切线有关的问题将是高考命题 的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析. 一、切线的夹角问题 例 1 已知抛物线 y=x2﹣4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点,过 A、B 两点的 切线分别为 l1 和 l2.(1)求直线 l1 与 l2 的夹角.
? ? 解析:由方程组? ? ?

y=x2﹣4 ,解得 A(-2,0),B(3,5), y=x+2

由 y?=2x,则 y?|x=-2=﹣4,y?|x=3=6,设两直线的夹角为 θ, -4-6 10 10 根据两直线的夹角公式,tanθ=| |=23,所以 θ=arctan23. 1+(-4)×6 点拨:解答此类问题分两步:第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线 的斜率;第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝 对值符号). 二、两条曲线的公切线问题 例 2 已知抛物线 C1:y=x2+2x 和 C2:y=-x2+a.如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,称直线 l 是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切 线段.(1)a 取什么值时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(2)若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. 解析:(1)函数 y=x2+2x 的导数 y?=2x+2,曲线 C1 在点 P(x1,x2 1+2x1)处的切 线方程是
2 y-(x2 1+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x1…①,

函数 y=-x2+a 的导数 y?=-2x, 曲线 C2 在点 Q(x2, -x 2 2+a)处的切线方程是
2 y-(-x2 2+a)=-2x2(x-x2),即 y=-2x2x+x2+a,…②

如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线,则①式和②式都是直线 l 的方程,
? x1+1=-x2 ? 所以? -x2=x2+a ,消去 x2 得方程 2x2 1+2x1+1+a=0. ? ?
1 2

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1 1 当判别式△=4-4×2(1+a)=0 时,即 a=-2时,解得 x1=-2,此时点 P 和 Q 重合, 1 即当 a=-2时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线,由①得公切线的方程为 y=x 1 -4. (Ⅱ)证明:略 点拨:解答此类问题分三步:第一步分别在两条曲线设出切点,并求出切线 方程;第二步根据两个切线方程表示同切线,利用直线重合的条件建立一个二次 方程;第三步根据切线的唯一性,结合判别式为零求出结果. 三、切线逆向运算问题 例 3 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x+b 的图象与函数 g(x)=x2+bx+c 的图 象相切.求 b 与 c 的关系式(用 c 表示 b); 1-b 解析:(1)依题意,令 f?(x)=g?(x),得 2x+b=1,故 x= 2 , 1-b 1-b 由于 f( 2 )=g( 2 ),得(b+1)2=4c,∵b>-1,c>0,∴b=-1+ 2c. 例 4 曲线 y=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与 x 轴、直线 x=a 所围成的三角 1 形的面积为6,则 a=__________________. 解析:y′ =3x2,切线斜率为 3a2,方程为 y-a3=3a2(x-a) , 2 1 3 2 1 当 y=0 时,x=3a,当 x=a 时,y=a3,则2· |a |· |a-3a|=6,解得 a=±1. 点拨:上面两题通过求导,利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对 应的切线方程,建立等式或不等式,进而解决参数问题. 四﹑其它综合问题 例 5 已知函数 f(x)=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项 xn=1,以后各项按如下 方式取定:曲线 x=f(x)在(xn+1,f (xn+1))处的切线与经过(0,0)和(xn,f (xn))两 1 2 点的直线平行(如图)求证:当 n∈N*时,(Ⅰ)x2 (Ⅱ)(2)n- n+xn=3xn+1+2xn+1;
1

1 ≤xn≤(2)n?2. 证明: (I)因为 f?(x)=3x2+2x 所以曲线 y=f(x)在(xn+1,f (xn+1))处的切线斜率

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2 kn+1=3xn+1 +2xn+1, 2 2 因为过(0,0)和(xn,f (xn))两点的直线斜率是 x2 n+xn,所以 xn+xn=3xn+1+2xn+1.

(II)因为函数 h(x)=x2+x 当 x>0 时单调递增,
2 2 2 而 x2 n+xn=3xn+1+2xn+1≤4xn+1+2xn+1=(2xn+1) +2xn+1,

xn+1 1 xn xn?1 x2 1 所以 xn≤2xn+1,即 x ≥2因此 xn= · ·…·x ≥(2)n?1, xn?1 xn?2 n 1 yn+1 1 2 2 又因为 x2 + x ≥2(x + x ) ,令 y = x + x ,则 n n+1 n n n n+1 n yn ≤2, 1 n?1 1 因为 y1=x2 · y1=(2)n?2, 1+x1=2,所以 yn≤(2) 1 n?2 1 1 因此 xn≤x2 ,故(2)n?1≤xn≤(2)n?2.. n+xn≤(2) 点拨:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的 证明,同时考查逻辑推理能力.上述解法通过利用利用导数的几何意义求出切线的 斜率建立数列递推公式,为第二小题的解答提供了条件. 跟踪练习 1 1、 已知曲线 C1:y=x2-2x+2 和曲线 C2:y=x3-3x2+2x+5 有一个公共点 P (2, 2) , 求过点 P 处两条曲线的切线的夹角. 2、已知函数 f(x)=2x3+ax,g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公 切线,求 a,b,c 及 f(x),g(x)的表达式. 3、确定抛物线方程 y=x2+bx+c 中的常数 b 和 c,使得抛物线与直线 y=2x 在 x =2 处相切. 4、设整数 k≠0,1.过点 P(1,0)作曲线 C:y=xk(x>0)的切线,切点为 Q1,设点 Q1 在 x 轴上的射影是点 P1;又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 Q2,设点 Q2 在 x 轴上的射影是点 P2,…,这样一直作下去,可得到一系列点 Q1,Q2,….设点 Qn(n=1,2,…)的横坐标构成数列{an}.证明{an}是等比数列.

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参考答案
1、解:∵y=x2-2x+2,∴y?=2x-2,∴过点 P 曲线 C1 的切线斜率为 k1=2×2-2 =2, 1 1 又∵y=x3-3x2+2x+5,∴y?=3x2-6x+2,∴过点 P 曲线 C1 的切线斜率为 k2 1 1 =3×22-6×2+2=2, 设两直线的夹角为 θ,根据两直线的夹角公式,得 tanθ=| 3 =arctan2. 2、解:f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),故 a=-8,故 f(x)=2x3-8x, 又 f′(x)=6x2-8,f′(2)=16, 由 g(x)=bx2+c 的图象过点 P(2,0),得 4b+c=0. 又 g′(x)=2bx,g′(2)=4b=f′(2)=16,∴b=4,从而 c=-16, ∴f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16. 3、解: y ? =2x+b,k=y′ |x=2=4+b=2,∴b=-2. 又当 x=2 时,y=22+(-2)×2+c=c,代入 y=2x,得 c=4. 4、解:∵y′ =kx k –1,∴y?|x=an=kank–1, ∴以 Qn(an,ank)为切点的切线方程为 y–ank=kank–1(x–an), k 当 n=1 时,切线过点 P(1,0),∴0–a1k=ka1k–1(1–a1)?a1= , k-1 k 当 n≥2 时,切线过点 Pn–1(an–1,0),∴0–ank=kank–1(an–1–an) ? an= a , k-1 n–1 k ∵整数 k≠0,1,∴a1= ≠0,∴{an}是等比数列. k-1 3 | = 1 2,所以 θ 1+2×2 1 2-2

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