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江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 应用题(范水高中)


与几何图形有关的实际应用问题
江苏省宝应县氾水高级中学 高三数学备课组
1、 (江苏省氾水高级中学 2015 届高三 12 月月考) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度 分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1)求 BC 的长度; (2)在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B , C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小? 解:⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 , 设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) ? 9 6 1? ? x x BC 答: 的长度为 18m .………………………………………6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) , 9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .……………8 分 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t 设 f (t ) ? 2 , f ?(t ) ? 2 ,令 f ?(t ) ? 0 , (t ? 18t + 135) 2 ?t + 18t ? 135
因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ? 27 , 当 t ? (0,15 6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数; 当 t ? (15 6 ? 27,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数, 所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值, 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 , 所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) ,

? 2 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. …………………14 分

? 2

因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取最小值.

2、某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑到防 洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米) ,外周长(梯形的上底线段 )为 y .......BC 与两腰长的和 ...... (米). ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域;

?

B
x
60?

C

A

D

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米, 则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与 两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)? 求此时外周长的值.

解:⑴ 9 3 ?

1 x 3 ( AD ? BC ) h ,其中 AD ? BC ? 2 ? ? BC ? x , h ? x, 2 2 2 18 x 1 3 ∴ 9 3 ? (2 BC ? x) x ,得 BC ? ? , x 2 2 2
? 3 h? x? 3 ? ? 2 由? ,得 2 ? x ? 6 ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

∴ y ? BC ? 2 x ? ⑵y?

18 3x ? , (2 ? x ? 6) ; --------------------6 分 x 2

18 3x ? ? 10.5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4] ? [2,6) x 2 ∴腰长 x 的范围是 [3, 4] ------10 分
18 3 x 18 3x 18 3x ,即 x ? 2 3 时等号成立. ? ?2 ? ? 6 3 ,当且仅当 ? x 2 x 2 x 2 ∴外周长的最小值为 6 3 米,此时腰长为 2 3 米。 ------14 分

⑶y?

3、某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的 下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的 中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿 设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. G (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的 面积 S(平方)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值. N M 解:(1)①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动,
1 即 0<x≤1 时, △ EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; 2 ②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动,
D C

A

E

B

即 1<x< 1 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD,∴ △ MNG∽△ DCG. ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . DC GF 3 故△ EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x 2 3 = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; 3 3 综合可得:

G

D M A E

C N B

图1
G

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? 1? 3 ?? 3 x ? ? ?1 ? 3 ? ? x. 1<x< ? ? ?

?

?
M D H F N C

(2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ?

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

A

E

B

图2

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2
2


1 3 ? ? 1, 2 3

∴ S 有最大值,最大值为 1 ? 3 平方米. 2 3


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