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[2019]高考数学考点突破——空间向量与立体几何(理科专用):立体几何中的向量方法(二)求空间角

世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 [推荐]高考数学考点突破——空间向量与立体几何(理科专 用) :立体几何中的向量方法(二)求空间角 【考点梳理】 1.异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 a 与 b 的夹角 β 范围 (0,π ) l1 与 l2 所成的角 θ 求法 cos β = a·b |a||b| cos θ =|cos β |= |a·b| |a||b| 2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n, 直线 l 与平面 α 所成的角为 θ ,则 sin θ =|cos〈a,n〉|=. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α -l-β 的两个面内与棱 l 垂直的 直线,则二面角的大小 θ =__〈, 〉. (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α -l-β 的两个半平面 α , β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足|cos θ |=|cos〈n1,n2〉|,二 面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 【考点突破】 考点一、利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 嵿遣将出 海擒之 ,获其 二舟, 贼乃遁 。寻召 掌南京 都察院 事,就 改工部 尚书。 嘉靖六 年大计 京官, 拾遗被 劾,致 仕 ) 1/8 世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 A. C. [答案] C [解析] B .5 D. 2 2 2 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,设 BC=2,则 B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1, 2),=(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角θ 的余弦值 cos θ ===. 【类题通法】 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:①选好基底或建 立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向量 v1,v2;③代入公式|cos 〈v1,v2〉|=求解. 2. 两异面直线所成角的范围是 θ ∈, 两向量的夹角 α 的范围是[0, π ],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线 的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线 的夹角. 【对点训练】 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为( A. [答案] C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为 1,则 A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0). ∴=(1,1,0),=(-1,1,-1), ∵·=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, 嵿遣将出 海擒之 ,获其 二舟, 贼乃遁 。寻召 掌南京 都察院 事,就 改工部 尚书。 嘉靖六 年大计 京官, 拾遗被 劾,致 仕 ) B. C. D. 2 π 2/8 世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 ∴⊥, ∴AC 与 B1D 所成的角为. 考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角 【例 2】 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, B1B=B1A=AB=BC, ∠B1BC =90°,D 为 AC 的中点,AB⊥B1D. (1)求证:平面 ABB1A1⊥平面 ABC; (2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值. [解析] (1)取 AB 中点为 O,连接 OD,OB1, ∵B1B=B1A,∴OB1⊥AB. 又 AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1, ∴AB⊥平面 B1OD, ∵OD? 平面 B1OD,∴AB⊥OD. ∵∠B1BC=90°,即 BC⊥BB1, 又 OD∥BC,∴OD⊥BB1,又 AB∩BB1=B, ∴OD⊥平面 ABB1A1, 又 OD? 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ABB1A1. (2)由(1)知,OB,OD,OB1 两两垂直. 以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴的方向,||为单位长度 1,建立如 图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 B1(0,0,),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0), C1(0,2,). 则=(0,1,-),=(2,2,0),=(-1,0,). 嵿遣将出 海擒之 ,获其 二舟, 贼乃遁 。寻召 掌南京 都察院 事,就 改工部 尚书。 嘉靖六 年大计 京官, 拾遗被 劾,致 仕 3/8 世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 设平面 ACC1A1 的一个法向量为 m=(x,y,z),则由得取 m=(,-, 1). ∴cos〈,m〉= ==-, ∴直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为. 【类题通法】 利用向量法求线面角的方法