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高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结


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高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结
一.圆锥曲线的两个定义: (1) 第一定义中要重视 “括号” 内的限制条件: 椭圆中, 与两个定点 F 1 , 2 的距离的和等于常数 2a , F 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 , 当常数等于 F1 F2 时, 轨迹是线段 F 1 F 2 , 当常数小于 F1 F2 时, 无轨迹; 双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义 中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若

2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 (2)第二定义中要
注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥 曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二 定义对它们进行相互转化。 练习: 1.已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是(答:C) ; A. PF ? PF2 ? 4 1 C. PF ? PF2 ? 10 1
2 2 2

B. PF ? PF2 ? 6 1 D. PF1
2
2

? PF2

2

? 12

2.方程 ( x ? 6) ? y ? ( x ? 6) ? y ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 3.已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 4

二.圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心 (顶点) 在原点, 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时

x2 y2 ? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? x ? a cos? (参数方程,其中 ? 为参 2 y ? b sin a b

?

数) 焦点在 y 轴上时 ,

y2 x2 2 2 ? =1 a ? b ? 0 ) 方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么? ( 。 (ABC a2 b2

≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。

x2 y2 y2 x2 ? 2 =1,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1( a ? 0, b ? 0 ) (2)双曲线:焦点在 x 轴上: 2 。方程 a b a b
。 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) ( 3 ) 抛 物 线 : 开 口 向 右 时 y ? 2 px( p ? 0) , 开 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0) , 开 口 向 上 时 全力以赴,用拼的精神创造奇迹!
2 2

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x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
练习: 1.已知方程

1 1 x2 y2 ; ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____(答: (?3, ? ) ? (? , 2) ) 2 2 3? k 2?k

2.若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 ) 3.双曲线的离心率等于

x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程_______ 9 4 2

4.设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 方程为_______(答: x ? y ? 6 )
2 2

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的

5.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__ m ?1 2 ? m

三.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2 2 2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2

(2)双曲线:由 x , y

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭圆、 双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 a , b ,确定椭圆、双曲 线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭 圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2

四.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两个 a2 b2

焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其 中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线 x ? ?

c a2 ; ⑤离心率: e ? ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , a c

e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。
(2)双曲线(以

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) :①范围: x ? ? a 或 x ? a, y ? R ;②焦点:两 a 2 b2
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个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其中实

翰林院培训学校 轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为

x ? y ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ?
2 2

c a2 ; ⑤离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 a c b a

? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。
(3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 (

p , 0) ,其中 2

p 的几何意义是: 焦点到准线的距离; ③对称性: 一条对称轴 y ? 0 , 没有对称中心, 只有一个顶点 (0,0) ;
④准线:一条准线 x ? ? 练习: 1.若椭圆

p c ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 2 a

25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5

2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__ 3.双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______(答: 4.双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = (答:4 或

13 13 或 ) ; 2 3

1 ) ; 4

5.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0) 离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值范围是________ 中, a2 b2

(答: [

? ?

, ]) ; 3 2
2

6.设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,

1 ; )) 16 a

2 2 x0 y0 x2 y2 五、 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) 点 ( 的关系: 1) P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 2 ? 2 ? 1 ; ( 点 a b a b

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ?

2 2 x0 y 0 x2 y 2 ? 2 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 0 ? 0 ? 1 a 2 b2 a2 b

六.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定 有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲 线相交的充分条件, 但不是必要条件;? ? 0 ? 直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 , 当直线与抛物线的对称轴平行时, 直线与抛物线相交且只有一个交点, ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交 故 全力以赴,用拼的精神创造奇迹!

翰林院培训学校 的充分条件,但不是必要条件。如 (2)相切:? ? 0 ? 直线与椭圆相切;? ? 0 ? 直线与双曲线相切;? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离:? ? 0 ? 直线与椭圆相离;? ? 0 ? 直线与双曲线相离;? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如 果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点; 如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公 a2 b2

共点的情况如下: ①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别 与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐 近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条: 一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总 有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习: 1.若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______
2 2

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 2.直线 y―kx―1=0 与椭圆 5 m
3.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条 1 2
2

4.过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2) ; 5.过点(0,2)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 9 16

6.过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有____ 2
2
2

7.对于抛物线 C: y ? 4 x ,我们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛 物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离) ; 8.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,则
2

1 1 ; ? ? _______(答:1) p q

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x2 y2 9.设双曲线 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右准线分别于 16 9
; P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于)

10.求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答:

8 13 ) ; 13

11.直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支 上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:① ? 3, 3 ;② a ? ?1 ) ; 七、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到 相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 练习: 1.已知椭圆

?

?

35 x2 y2 ) ; ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为____(答: 3 25 16

2.已知抛物线方程为 y 2 ? 8x , 若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5, 则它到抛物线的焦点的距离等于____; 3.若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答: 7, (2, ?4) ) ; 4.点 P 在椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为_______ 25 9

5.抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______ 6.椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 之值最小,则 4 3
2 6 ; ,?1) ) 3

点 M 的坐标为_______(答: (

八、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、 余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分别为 r , r2 ,焦点 ?F PF2 的 1 1 面积为 S ,则在椭圆

x2 y2 2b 2 ? 2 ? 1 中, ① ? = arccos( ? 1) ,且当 r1 ? r2 即 P 为短轴端点时,? 最大 a2 b r1r2

为?

max = arccos

? b2 ? c2 2 ;② S ? b tan ? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 2 2 a
? 1 ? ? ;② S ? r1 r2 sin ? ? b 2 cot 。 ? 2 2 ?
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bc;对于双曲线

? 2b 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点三角形有:①? ? arccos ?1 ? ? r1 r2 a2 b ?

翰林院培训学校 练习: 1.短轴长为 5 ,离心率 e ?

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 3

的周长为________(答:6) ; 2.设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若 PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6, 则该双曲线的方程为 (答: x2 ? y 2 ? 4 ) ;

3.椭圆

x2 y 2 → → ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ?PF1 <0 时,点 P 的横坐标的取值范 9 4
(答: (?

围是

3 5 3 5 ; , )) 5 5 6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、 2

4.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________(答: 8 2 ) ; 5.已知双曲线的离心率为 2, 1、 2 是左右焦点, 为双曲线上一点, ?F1 PF2 ? 60? , ?PF1F2 ? 12 3 . F F P 且 求 S

x2 y 2 ? ?1) 该双曲线的标准方程(答: ; 4 12
九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2) 设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影 分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反 之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 十、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标, 则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?
2

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在 k2

直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k

y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的

计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 练习: 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A 1, 1) B 2, 2) (x y ,(x y 两点, x1+x2=6, 若 那么|AB|等于_______ 2.过抛物线 y ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ ABC 重心的
2

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翰林院培训学校 横坐标为_______(答:3) ; 十一、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

b 2 x0 x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ;在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 a b a2 b2 a y0

P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
p 。 y0

b 2 x0 ;在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦 2 a y0

所在直线的斜率 k= 练习: 1.如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9 x ? 2y ?8 ? 0 ) ;

(答:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L:x- a 2 b2 2 2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; 2
2.已知直线 y=-x+1 与椭圆 特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时, 务必别忘了检验 ? ? 0 ! 十二.你了解下列结论吗?
2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 x ? y ? ? (? 为参 a a2 b2 a2 b2

数, ? ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ;

2b 2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离) a


b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

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翰林院培训学校 (6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ; ② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点

(2 p, 0) 13.动点轨迹方程:
(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ;如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x 等于 4,求 P 的轨迹方程.(答:

? 3 的距离之和

y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) );

② 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、 B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: ; y2 ? 2x )

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点 P 向圆 x
2

? y 2 ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方程为
0

(答:x (答: 迹为

2

; 点 则点 ? y 2 ? 4 )(2) M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1, M 的轨迹方程是_______ 一动圆与两圆⊙M: x
2

y 2 ? 16 x );(3)

? y 2 ? 1 和⊙N: x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨

(答:双曲线的一支); ④代入转移法:动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上,则可

先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点 P 是抛物线 y 定点为

? 2x 2 ? 1 上任一点,

A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ?

? ??

1 ); 3

⑤参数法:当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x, y 均用一中间变量 (参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB, 垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。(答: x
2

? y 2 ? a | y | );(2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆

1 2 (3)过抛物线 x ? 4 y x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____(答: y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) ); 2
的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________(答: x
2

? 2 y ? 2 );

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注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F , a2 b2
的动点,满足 | F Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 1 且满足

Q 是椭圆外

F2Q 上,并

PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. ( 1 ) 设 x 为 点

P 的横坐标,证明

| F1 P |? a ?

c 2 x ; 求点 T 的轨迹 C 的方程; 试问: T 的轨迹 C 上, (2) (3) 在点 是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b . a

若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

b2 ? a 时不存在; (答: (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当 c
2 2 2



b2 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) c
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备

性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到 角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量 范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 u (2)给出 OA ? OB 与 (3)给出 PM

?

? ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ;
AB
的中点;

AB

相交,等于已知 OA ? OB 过 的中点;

? ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN

(4)给出 AP ? (5 )

AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线;
;③若存在实数

?

?

? ? AB// AC ; ② 存 在 实 数 ?, 使AB ? ? AC ??? ? ??? ? ??? ? ? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
给出以下情形之一: ① (6) 给出 OP

?

OA ? ? OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, ? 为定比,即 AP ? ? PB 1? ?
? MB ,即 ?AMB
是锐角, 是直角,给出 MA ? MB ?

(7) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA 是钝角, 给出 MA ? MB ?

m ? 0 ,等于已知 ?AMB

m ? 0 ,等于已知 ?AMB

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? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP ? MA MB ? ? ?
(9)在平行四边形

是 ?AMB 的平分线/

ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形;

(10) 在平行四边形

??? ???? ??? ???? ? ? ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;
2 2

(11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB 外心是三角形三边垂直平分线的交点) ;

? OC

2

,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的

(12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC 线的交点) ;

? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形三条中 ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心是三

(13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC 角形三条高的交点) ;

??? ? ??? ? AB AC ? ? ? (14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) (? ? R ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心; | AB | | AC |
(15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出

???? 1 ??? ???? ? AD ? AB ? AC 2

?

? ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线;

求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种 定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义,灵活解题 灵活运用定义,方法往往直接又明了。

y2 ? 1 ,P 为双曲线上一点。 例 1. 已知点 A(3,2) ,F(2,0) ,双曲线 x ? 3 1 求 | PA|? | PF | 的最小值。 2
2

解析:如图所示,

1 ?双曲线离心率为 2,F 为右焦点,由第二定律知 | PF | 即点 P 到准线距离。 2 1 5 ?| PA|? | PF | ?| PA|?| PE | ? AM ? 2 2
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二. 引入参数,简捷明快 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点 F 到准线 l 的距离为 p(定值) ,椭圆中心坐标为 M(t,0) 为参数) (t

b2 ?p? ,而 c ? t c ? b 2 ? pc ? pt
再设椭圆短轴端点坐标为 P(x,y) ,则

?x ? c ? t ? ? ? y ? b ? pt ?
消去 t,得轨迹方程 y
2

? px

三. 数形结合,直观显示 将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能 使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例 3. 已知 x , y

? R ,且满足方程 x 2 ? y 2 ? 3( y ? 0) ,又 m ?

解析:? m 示

?

y?3 2 2 的几何意义为,曲线 x ? y ? 3( y ? 0) 上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所 x?3

y?3 ,求 m 范围。 x?3

k PA ? m ? k PB

?

3? 3 3? 5 ?m? 2 2

四. 应用平几,一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要 抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。 例 4. 已知圆 ( x ? 3)

? ? y 2 ? 4 和直线 y ? mx 的交点为 P、Q,则 | OP|| OQ| 的值为________。 解:? ?OMP ~ ?OQN | OP|| OQ| ?| OM || ON | ? 5 ? ?
2

五. 应用平面向量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

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x y x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ? 1 ,P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q 在 OP 上且 12 8 24 16 2 满足 | OQ|| OP| ?| OR| ,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程。 ?
例 5. 已知椭圆:

分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便 地解出。

? OP ? ( ?x,?y )

OQ , OR , OP 共线, OR 解: 如图, 设

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? OQ ,OP ? ? OQ ,OQ ? ( x,y ) , OR ? ( ?x,?y ) , 则

? ? ? ?| OQ|| OP| ?| OR|2 ? ?2 ? ? ?| OQ| ? ?2 | OQ|2

? ? ? ?2 ?点 R 在椭圆上,P 点在直线 l 上 ?x ?y ? 2 x 2 ?2 y 2 ? ?1 ? ? ? 1, 12 8 24 16 x2 y2 x y ? ? ? 即 24 16 12 8
化简整理得点 Q 的轨迹方程为:

2 ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 (直线 y ? ? x 上方部分) 5 5 3 2 3
六. 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例 6. 求经过两圆 x
2

且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,

的方程。 解:设所求圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 (1 ? ? ) x 2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 6x ? 6?y ? (28? ? 4) ? 0 ?3 ?3? , ) ,在直线 x ? y ? 4 ? 0 上 则圆心为 ( 1? ? 1? ? ?解得 ? ? ?7 2 2 故所求的方程为 x ? y ? x ? 7 y ? 32 ? 0
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七. 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。 例 7. 过点 A(2,1)的直线与双曲线 x 解:设 P ( x1 ,y1 ) , 1
2

?

y2 ? 1 相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹方程。 2

P2 ( x2 ,y2 ) ,则
?1? ?2?

? 2 y1 ?1 ? x1 ? ? 2 ? 2 ? x 2 ? y2 ? 1 ? 2 2 ?
2

( y 2 ? y1 )( y1 ? y 2 ) 2 y2 ? y1 2( x1 ? x 2 ) 即 ? x2 ? x1 y1 ? y 2 设 P1P2 的中点为 M ( x0 ,y0 ) ,则 y ? y1 2 x0 k P1 P2 ? 2 ? x2 ? x1 y0 y0 ? 1 又 k AM ? ,而 P1、A、M、P2 共线 x0 ? 2 y ? 1 2 x0 ? k P1 P2 ? k AM ,即 0 ? x0 ? 2 y0 ( x 2 ? x1 )( x1 ? x 2 ) ?

<2>-<1>得

? P1 P2 中点 M 的轨迹方程是 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0
解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关 系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 使 AA?B?B , AA?

例1

已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点, AB=2、 OT=t

(0<t<1), AB 为直腰作直角梯形 以

垂直且等于 AT,使 (1)写出直线

BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两点,建立如图所示的直角坐标系.
(2)计算出点 P、Q 的坐标;

A?B? 的方程;
'

(3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图,
'

看出 A , B 点的坐标.
‘ B ?? 1, t ?,于是 1?

'

(1 ) 显然 A

?1,1 ? t ? ,

直线

A?B?

的方程为 y ? ?tx ? 1 ; (2)由方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 1, 2t 1? t 2 , ); 解出 P ( 0,1) 、 Q ( 1? t 2 1? t 2 ? y ? ?tx ? 1,

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1? t2 ?0 2 1? t2 1 ? 1? t ? ? . 2 2t t t (1 ? t ) ?t 2 1? t

(3) k PT ?

1? 0 1 ?? , 0?t t

k QT

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点 Q. 需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2

已知直线 l 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S,求以线段 SR a2 b2

为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 讲解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2, 得 化简后,得关于 x 的一元二次方程

b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 .

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0.

于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . 在直线方程 ①

y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(?

m ,0), S (0, m). k

m y ? ? ?x ? ? k , ?k ? ? x , ? 令顶点 P 的坐标为(x,y) , 由已知,得 ? 解得? ? y ? m. ? ?m ? y. ? ? ? ?
代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 2 2
2 2

即为所求顶点 P 的轨迹方程.

x

y

方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 2 2

2

2

x

y

例 3 已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . 2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线

y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.
ab ab d ? ? ? c 2 3 原点到直线 AB: x y 2 2 ? ? 1 的距离 ? , c a ?b a b a 3 ? b ? 1, a ? 3. 3 . 2 .

讲解:∵(1)

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1. 3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 .

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x0 ? y ?1 x1 ? x2 15k 5 1 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , k BE ? 0 ?? . 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0, 即
故所求 k=±

15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

7.

为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.

例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2 的最大值为 90°,直 线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最大值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程.

讲解: (1)设 | PF |? r ,| PF2 1 1

|? r2 ,| F1F2 |? 2c ,

对 ?PF F2 , 由余弦定理, 得 1

cos ?F1 PF2 ?

2 r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e ? 0 , r1 ? r2 2 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( ) 2

解出

e?

2 . 2

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 椭圆方程为

y ? k ( x ? c) ??????①


x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由 e ? 2 . a2 b2 2

a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 .

于是椭圆方程可转化为 将①代入②,消去

x2 ? 2 y2 ? 2 c2 ? 0??????②
x 2 ? 2k 2 ( x ? c) 2 ? 2c 2 ? 0 , (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 .

y得

整理为 x 的一元二次方程,得

2 2c 1 ? k 2 , 2 2c(1 ? k 2 ) , | AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 也可这样求解: AB 边上的高 h ?| F F | sin ?BF F ? 2c ? | k | , 1 2 1 2 1 1? k 2 S ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 | 2 1 1? k 2 |k| S ? 2 2c( ) 2c 2 1 ? 2k 2 1 ? k 2 ? c? | k | ? | x1 ? x2 |
则 x1、x2 是上述方程的两根.且 | x2 ? x1 |?

? 2 2c 2

1? k 2 | k | k 2? k 4 ? 2 2c 2 ? 2 2c 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4

2

1 1 4? 4 k ? k2

? 2c .2

ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得

y??

2 1 c,| AB |? 2c, S ? 2c ? 2c 2 2 2
a 2 ? 12 2

由①②知 S 的最大值为

2c 2

由题意得 2c 2 =12
x2 12 2 ?

所以 c 2 ? 6 2 ? b 2
y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

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下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为: x

? my ? c ????①

(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x , y ), B( x , y ) 1 1 2 2 2 2

a

b

由e ?

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ??② . 2

把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy ? c 2 ? 0 于是 y1 , y 2 是上述方程的两根.

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y 1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m2 | y2 ? y1 | ?
AB 边上的高 h ?

1 ? m2

4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m2 ? 2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

2c 1 ? m2

,

2 1 ? m2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2c ? 2 2c 2 2 2 2 2 2 m ?2 (m ? 2) 2 ? 2 2c 1? m

1 1 m ?1? 2 ?2 m ?1
2

? 2c 2 .

当且仅当 m=0 取等号,即 S max 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

? 2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 5

已知直线

y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 a2 b2

A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线

l : x ? 2 y ? 0 上.(1)求此椭圆的离心率;
(2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x
2

? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

? y ? ? x ? 1, ? 讲解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 y2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ,
根据韦达定理,得



x1 ? x2 ?

2a 2 2b 2 , y1 ? y 2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 , a2 ? b2 a ? b2
).

a2 b2 ∴线段 AB 的中点坐标为( 2 , a ? b2 a2 ? b2
由已知得

2 a2 2b 2 ? 2 ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 ,故椭圆的离心率为 e ? 2 2 2 2 a ?b a ?b

.

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(2)由(1)知

b ? c,

从而椭圆的右焦点坐标为

F (b,0),



F (b,0) 关 于 直 线 l : x ? 2 y ? 0 的 对 称 点 为

( x0 , y0 ),则

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, 解得 x0 ? b 2 2 2

3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5

由已知得

3 4 x2 y2 2 2 x0 ? y 0 ? 4,? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 4,? b 2 ? 4 ,故所求的椭圆方程为 ? ?1 5 5 8 4
已知⊙M: x
2

.

例6

? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,
,求直线 MQ 的方程; (2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方

(1)如果 | 程.

AB |?

4 2 3

讲解:(1)由 |

AB |?

4 2 3

,可得

| MP |? | MA | 2 ?(

| AB | 2 2 2 2 1 ) ? 12 ? ( ) ? , 2 3 3

由 射 影 定 理 , 得

| MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3,

在 Rt△MOQ 中,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,故 a ? 5或a ? ? 5 ,
所以直线 AB 方程是 2x ?

5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
2 y?2 ? , (*) ?a x

(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y ), Q(a,0), 由点 M,P,Q 在一直线上,得 由射影定理得 | MB |
2

?| MP | ? | MQ |, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**)
7 1 y ? 2 ,可得 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( y ? 2). 4 16

把(*)及(**)消去 a,并注意到

适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.

例7

如图,在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 2

。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB,DO=2,曲线 E 过 C

点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2) D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、 且 M 在 D、 之间, 过 N N 设 试确定实数 ? 的取值范围.

DM ??, DN

C

讲 解 : ( 1 ) 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 如 图 所 示 ∵ | PA |+| PB |=| CA |+| CB |

A O B 全力以赴,用拼的精神创造奇迹!

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y=

x2 2 2 ? y2 ? 1 ? 2 2 ? ( ) 2 ? 2 2 ∴动点 P 的轨迹是椭圆∵ a ? 2, b ? 1, c ? 1 ∴曲线 E 的方程是 2 2 2
(2)设直线 L 的方程为

.

y ? kx ? 2 ,


代入曲线 E 的方程 x

2

? 2 y 2 ? 2 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 设 M1

( x1, y1 ),

N ( x2 , y2 ) ,

? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 2k ? 1 ? 6 ? ? x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 . ?
i) L 与 y 轴重合时, ?

① ② ③

?

| DM | 1 ? | DN | 3
由①得

ii) L 与 y 轴不重合时,

3 k2 ? . 2

又∵ ?

?

x DM x D ? x M ? ? 1 DN x D ? x N x2

,

∵ x2

? x1 ? 0,



x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1 ,

( x ? x2 ) 2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 64k 2 32 1 ? ? ∴ ? ? ? 2 ? ? ? ? 2∵ 2 1 x1 ? x 2 6(2k ? 1) x1 ? x2 x2 x1 ? 3(2 ? 2 ) k
而k
2

?

3 , 2

∴6

? 3( 2 ?

1 ) ? 8. ∴ 4 ? k2

32 3(2 ? 1 ) k2

?

16 , 3



4???

1

?

?2?

16 , 3

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 10 ? 1 2??? ? , ?? ? ? 2, ? 3 ? ? 1 10 ? ?? ? ? ? 3 , ?

?

1 ?1 ? ? ? ? 1. ∴ ? 的取值范围是 ? ,1? 3 ?3 ?

.

值得读者注意的是,直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例8 直线 l 过抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点.

(1)求证: 4 x1 x2

? p 2 ;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线.

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讲解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x x ? P .若 l 不垂直于 x 轴,可设 1 2 2 4

y ? k(x ?

2P P2 P 2 . 综上可知 P ,代入抛物线方程整理得 2 x ? P(1 ? 2 ) x ? ? 0, 则x1 x2 ? ) 2 4 4 k
2p 2p

4x1 x2 ? p 2 .
4p

2 2 2 2 (2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为 y ? c ? d ? ? c ? d ( x ? c ? d )

2

2p

假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得
2 2

(c ? d )(2 p 2 ? c 2 ? d 2 ) ? 0 ? p ? 0

2

2p

2

4p

2 ? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 . 这时 l ? 的方程为 y=0,从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线

有两个不同的交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点, 复课切忌忘掉课本! 例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处, PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工? 讲解: 以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的 点,设这样的点为 M,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,

? | AB |? 50

7 ,∴M 在双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的右支上. 252 25 ? 6

故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工.

全力以赴,用拼的精神创造奇迹!


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