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2018学年高中数学选修1-1课件:第2章 圆锥曲线与方程章末归纳总结 精品_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·选修1-1 1-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 圆锥曲线与方程 第二章 章末归纳总结 1 知 识 结 构 3 专 题 探 究 2 知 识 梳 理 4 即 时 巩 固 知识结构 知识梳理 1 .坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法,它是用代数 的方法研究几何问题. 2.利用圆锥曲线的定义解题的策略 (1) 在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定 义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭 圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义 结合解三角形的知识来解决; (3) 在求有关抛物线的最值问题 时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几 何图形,利用几何意义去解决.总之,圆锥曲线的定义、性质 在解题中有重要作用,要注意灵活运用. 3 .圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲 线的方程研究其几何性质,已知圆锥曲线的性质求其方程.重 在考查基础知识,基本思想方法,属于低中档题目,其中对离 心率的考查是重点. 4 .直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆 锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题,它是圆锥曲线的定 义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数 与方程、分类讨论等数学思想方法,直线与圆锥曲线的位置关 系主要有:(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意 数形结合;(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数 的关系;(3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系数的 关系,设而不求,简化运算, 5 .求轨迹方程的方法常用的有:直接法、定义法、代入 法,要注意题目中的限制条件,特别是隐含条件的发掘,直线 与圆锥曲线的位置关系问题,通常用判别式法;要注意有关弦 长问题中韦达定理的应用,需特别注意的是,直线平行于抛物 线的轴时与抛物线只有一个交点,直线平行于双曲线的渐近线 时与双曲线只有一个交点. 6.椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表 曲线 性质 轨迹 椭圆 双曲线 抛物线 {M||MF|=点 {M||MF1|- {M||MF1|+|MF2| |MF2|=± 2a, M 到直线 l 的 =2a,|F1F2|<2a} |F1F2|>2a} 距离} 图形 x y 标准方程 2+ 2=1(a>b>0) a b 2 2 x 2 y2 a2-b2= 1(a>0,b>0) y2=2px(p>0) 曲线 性质 顶点 椭圆 双曲线 抛物线 O(0,0) 轴 焦点 焦距 A1(-a,0), A (-a,0), A2(a,0);B1(0,- 1 A2(a,0) b),B2(0,b) 对称轴 x=0, y 对称轴 x=0, y=0 =0 长轴长:2a 实轴长:2a 短轴长:2b 虚轴长:2b F1(-c,0), F1(-c,0), F2(c,0), F2(c,0), 焦点在 焦点在长轴上 实轴上 |F1F2|=2c, |F1F2|=2c, c= a2-b2 c= a2+b2 对称轴 y=0 p F(2,0),焦点 在对称轴上 曲线 性质 椭圆 双曲线 抛物线 p x=-2,准线与 焦点位于顶点两 侧,且到顶点的 距离相等 准线 c c e=1 e=a,0<e<1 e=a,e>1 P(x0,y0)为抛物线上一点,F1、F2 分别为左、右焦 点 焦半径 p |PF|=x0+2 离心率 专题探究 圆锥曲线定义的应用 求过点 A(2,0)且与圆 x2+4x+y2-32=0 相内切 的圆的圆心轨迹方程. 导学号 92600474 [ 解析 ] 将圆 x2 + 4x + y2 - 32 = 0 的 方程变形为: (x + 2)2 + y2 = 36 ,其中圆 的圆心为B(-2,0),半径为6. 如图, 设动圆的圆心 M 坐标为 (x , y) ,由 于动圆与已知圆相内切,设切点为 C , 则|BC|-|MC|=|BM|. ∵|BC|=6,∴|BM|+|CM|=6. 又∵动圆过点 A,∴|CM|=|AM|, 则|BM|+|AM|=6>4. 根据椭圆的定义知, 点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0) 为焦点的椭圆,其中, 2a=6,2c=4,∴a=3,c=2. ∴b2=a2 -c2=5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 9 + 5 =1. 在△ABC 中,C(-4,0)、B(4,0),动点 A 满足 1 sin B-sin C=2sin A,求点 A 的轨迹方程. 导学号 92600475 1 [分析] 由已知条件 sin B-sin C=2sin A, 可以考虑利用正 弦定理转化为三角形边的关系,再根据双曲线的定义即可写出 点 A 的轨迹方程. 1 [解析] 在△ABC 中, 由 sin B-sin C=2sin A 及正弦定理, 1 得|AC|-|AB|=2|BC|, 又∵点 C(-4,0),B(4,0),∴|BC|=8, ∴|AC|-|AB|=4, ∴点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的双曲线的一支(靠近 B 点, 除去点(2,0)), ∴2a=4,2c=|BC|=8,即 a=2,c=4, ∴b2=c2-a2=12. x2 y2 ∴点 A 的轨迹方程为 4 -12=1(x>2). 已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+ 5=0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程. 导学号 92600476 [解析] 如图,设点 M 的坐标为(x, y),由于点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直 线 l:x+5=0 的距离小 1,则点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 l′:x+4=0 的 距离相等, 根据抛物线的定义可知点 M 的 轨迹是以 F 为焦点,直线 l′为准线的抛 p 物线,且2=4,即 p=8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2=16x.