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江苏省南京市2016届高三第三次学情调研适应性测试数学试题


2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试 数学Ⅰ
说明:本试卷共 20 题,总分 160 分,考试时间 120 分钟.请将答案填写在答卷纸上. 一?填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填在答卷纸相应位置上. a 1.已知集合 M={0,2,4},N={x|x= ,a∈M},则集合 M∩N= 2 2.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是 ▲ ▲ . . ▲ .

3.若直线 l1:x+2y-4=0 与 l2:mx+(2-m)y-3=0 平行,则实数 m 的值为

4.某学校有 A,B 两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则三人不在 同一个食堂用餐的概率为 ▲ . ▲ .

5.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是

开始
a ? 5, S ? 1
频率/组距 0.0005 0.0004

S ? S ?a a ? a ?1

a≥4 Y

N

0.0003 0.0002

输出S 结束

0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

(第 5 题)

(第 6 题)

6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直 方图(如图) .为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分 层抽样方法抽出100人作进一步调查,则月收入在[2500,3000)范围内的应抽出 7.已知 l 是直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题中的真命题是 号) ①若 l∥α,l∥β,则 α∥β ③若 l∥α,α∥β,则 l∥β ②若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β ④若 l⊥α,l//β,则 α⊥β ▲ ▲ 人.

.(填所有真命题的序

8.如图,抛物线形拱桥的顶点距水面 4 米时,测得拱桥内水面宽为 16 米;当水面升高 3 米后,拱桥内水面的宽度为 ▲ 米.
·1·

9.已知正数 a,b,c 满足 3a-b+2c=0,则

ac 的最大值为 b





10.在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a= 5,b=3,sinC=2sinA,则 ΔABC 的 面积为 ▲ . ▲ .

11.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,若 S2≥4,S4≤16,则 a5 的最大值是

π π? 12.将函数 f(x)=sin(2x+θ)? ?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数 g(x)的图 象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0,

?

3? ,则 φ 的值为 2?





→→ 13.在半径为 1 的扇形 AOB 中,∠AOB=60o,C 为弧上的动点,AB 与 OC 交于点 P,则 OP · BP 的 最小值是 ▲ .

1 14. 用 min{m, n}表示 m, n 中的最小值. 已知函数 f(x)=x3+ax+ , g(x)=-lnx, 设函数 h(x)=min{f(x), 4 g(x)}(x>0),若 h(x)有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二?解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明?证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(cosθ, 2sinθ),B(sinθ,0),其中 θ∈R. → 2π (1)当 θ= 时,求向量 AB 的坐标; 3 → π (2)当 θ∈[0, ]时,求| AB |的最大值. 2 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底面 ABCD, F 为 BE 的中点. (1)求证:DE//平面 ACF; (2)若 AB= 2CE,在线段 EO 上是否存在点 G,使得 CG⊥平面 BDE?若存在,请证明你的 结论;若不存在,请说明理由.

·2·

(第 16 题)

17.(本小题满分 14 分) 如图,某水域的两直线型岸边 l1,l2 成定角 120o,在该水域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC(B,C 分 别在 l1 和 l2 上) ,围出三角形 ABC 养殖区,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB=x 公里,AC =y 公里. (1)将 y 表示成 x 的函数,并求其定义域; A (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区? x B l1 D
(第 17 题)

120o 1

y C l2

18.(本小题满分 16 分) 已知点 P 是椭圆 C 上的任一点,P 到直线 l1:x=-2 的距离为 d1,到点 F(-1,0)的距离为 d2, d 2 且 2= . d1 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B(A,B 都在 x 轴上方),且 ∠OFA+∠OFB=180? . (i)当 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时,求直 线l的 方程; (ii)是否存在一个定点,无论∠OFA 如何变化, 总过该定点?若存在,求出该定点的坐标; 存在,请说明理由.
·3·

直线 l 若 不

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 g(x)=2alnx+x2-2x,a∈R. (1)若函数 g(x)在定义域上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 A,B 是函数 g(x)图象上的不同的两点,P(x0,y0)为线段 AB 的中点. (i)当 a=0 时,g(x)在点 Q(x0,g(x0))处的切线与直线 AB 是否平行?说明理由; (ii) 当 a≠0 时, 是否存在这样的 A, B, 使得 g(x)在点 Q(x0, g(x0))处的切线与直线 AB 平行? 说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an},{bn}满足:bn=an+1-an(n∈N*) . (1)若 a1=1,bn=n,求数列{an}的通项公式; (2)若 bn+1bn-1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2. (i)记 cn=a6n-1(n≥1) ,求证:数列{cn}为等差数列; a (ii)若数列{ n}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满 n 足的条件.

2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试 数学Ⅱ 附加题部分
说明:本试卷共 4 小题,满分 40 分,考试时间 30 分钟.请将答案填写在答卷纸上. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域 ....... ......... 内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 内接于圆 O,D 为弦 BC 上一点,过 D 作
·4·

P A E B D
(第 21—A 题)

骤.

直 C

线

DP // AC,交 AB 于点 E,交圆 O 在 A 点处的切线于点 P.求证:△PAE∽△BDE.

B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) π 变换 T1 是逆时针旋转 角的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应的变换矩阵是 M2= 2

?1 ?0

1? . 1?

(1)点 P(2,1)经过变换 T1 得到点 P',求 P'的坐标; (2)求曲线 y=x2 先经过变换 T1,再经过变换 T2 所得曲线的方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点 A,B 分别
?x=3+2cosθ, 在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求 AB 的最大值 . ?y=4+2sinθ

D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 已知:a≥2,x∈R. 求证:|x-1+a|+|x-a|≥3. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答. ........ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p>0)的准线 l 与 x 轴交于点 M,过 M 的直 线与抛物线交于 A,B 两点.设 A(x1,y1)到准线 l 的距离为 d,且 d=λp(λ>0) . (1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程; → → (2)若AM+λ AB =0,求证:直线 AB 的斜率为定值.
l

y
B A
O

M
·5·

x

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设 f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2) ,若 f(n)的展开式中,存在某连续 3 项,其二项式系数依次成等差 数列,则称 f(n)具有性质 P. (1)求证:f(7)具有性质 P; (2)若存在 n≤2016,使 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值.

2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学 I 答卷纸
题号 得分 一 15 16 17 18 19 20 总分

注意事项:1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号填写清楚; 2. 在草稿纸、试题卷上答题无效.
得分 评卷人

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请将答案 填写在题号后的横线上. 2. 7. 12. 3. 8. 13.
·6·

1. 6. 11.

4. 9. 14.

5. 10.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.
得分 评卷人

15. (本小题满分 14 分)

得分

评卷人

16. (本小题满分 14 分)

(第 16 题)

y
·7·

B

P

Q

得分

评卷人

17. (本小题满分 14 分) A x B l1 D
(第 17 题)

120o 1

y C l2

·8·

得分

评卷人

18. (本小题满分 16 分)

(第 18 题)

·9·

得分

评卷人

19. (本小题满分 16 分)

·10·

得分

评卷人

20. (本小题满分 16 分)

·11·

2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学 II 答卷纸
题号 得分 21(1) 21(2) 22 23 总分

注意事项:1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号填写清楚; 2. 在草稿纸、试题卷上答题无效. 解答题:共 4 小题,共计 40 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 得分 评卷人 21 . (本小题满分 10 分)

·12·

得分

评卷人

21

. (本小题满分 10 分)

得分

评卷人

22. (本小题满分 10 分)
·13·

l

y
B A
O

M

x

(第 22 题)

得分

评卷人

23. (本小题满分 10 分)

·14·

2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学Ⅰ参考答案与评分建议
一?填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. {0,2} 2.(1, 5) 2 3. 3 3 4. 4 5.20 6.25

·15·

7. ④ 13.- 1 16

8. 8 5 3 14.(- ,- ) 4 4

9.

6 12

10.3

11.9

12.

5π 6

二?解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. → 15、解: (1)由题意,得 AB =(sinθ-cosθ,- 2sinθ), ……………… 2 分 2π 2π 2π 1+ 3 当 θ= 时,sinθ-cosθ=sin -cos = , …… 4 分 3 3 3 2 2π 6 - 2sinθ=- 2sin =- , 3 2 → 1+ 3 6 所以 AB =( ,- ). ……………… 6 分 2 2 → (2)因为 AB =(sinθ-cosθ,- 2sinθ), → 所以 | AB |2=(sinθ-cosθ)2+(- 2sinθ)2 ……………… 8 分 2 =1-sin2θ+2sin θ =1-sin2θ+1-cos2θ π =2- 2sin(2θ+ ). …………10 分 4 π π π 5π 因为 0≤θ≤ ,所以 ≤2θ+ ≤ . …… 12 分 2 4 4 4 → π 5π 2 所以当 2θ+ = 时,| AB |2 取到最大值 2- 2× (- )=3, 4 4 2 → π 即当 θ= 时,| AB |取到最大值 3. ……………… 14 分 2 16、 (1)证明:连接 OF 由四边形 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 的中点 又 F 为 BE 的中点,所以 OF//DE ……………… 2 分 又 OF?平面 ACF,DE?平面 ACF 所以 DE//平面 ACF ……………… 6 分 (2) 解:在线段 EO 上存在点 G,使 CG⊥平面 BDE,证明如下: 取 EO 的中点 G,连接 CG,在四棱锥 E-ABCD 中 2 AB=CE,所以 CG⊥EO 2

AB= 2CE,CO=

………… 8 分

又由 EC⊥底面 ABCD,BD?底面 ABCD, 所以 EC⊥BD ……………… 10 分 由四边形 ABCD 是正方形可知,AC⊥BD 又 AC∩EC=C 所以 BD⊥平面 ACE ,而 BD?平面 BDE ……………… 12 分 所以,平面 ACE⊥平面 BDE,且平面 ACE∩平面 BDE=EO 因为 CG⊥EO,CG?平面 ACE,所以 CG⊥平面 BDE … 14 分 17 解:(1)由 SΔABD+SΔACD=SΔABC
·16·

1 1 1 得 xsin60? + ysin60? = xysin120? …………… 2 分 2 2 2 x 所以 x+y=xy,所以 y= …………… 4 分 x-1 5 又 0<y≤5,0<x≤5,所以 ≤x≤5 4 5 所以定义域为{x| ≤x≤5} ……………… 6 分 4 (2)设△ABC 的面积为 S,则结合(1)易得 1 1 x 3x2 5 方法一:S= xysinA= x· · sin120? = ,( ≤x≤5) 2 2 x-1 4(x-1) 4 (x-1)2+2(x-1)+1 x2 1 = =(x-1)+ +2≥4,…………10 分 x-1 x-1 x-1 1 当仅当 x-1= ,x=2 时取等号. x-1 故当 x=y=2 时,面积 S 取最小值 3(平方公里) ……… 12 分 1 1 3 x 方法二:S=SΔABD+SΔACD= xsin60? + ysin60? = (x+ ) 2 2 4 x-1 = = x-1+1 3 3 1 (x+ )= (x+ +1) 4 4 x-1 x-1 3 1 [(x-1)+ +2]≥ 3 4 x-1 1 ,即 x=2 时取等号. x-1 …………10 分

当且仅当 x-1=

故当 x=y=2 时,面积 S 取最小值 3(平方公里) ………12 分 答:该渔民总共至少可以围出 3平方公里的养殖区. …………14 分 18、解: (1)设 P(x,y),则 d1=|x+2|,d2= (x+1)2+y2, …………2 分 (x+1)2+y2 d2 2 x2 2 = = 化简得: +y =1, d1 2 2 |x+2| x2 2 ∴椭圆 C 的方程为: +y =1 …………4 分 2 1-0 (2) (i)由(1)知 A(0,1),又 F(-1,0),∴kAF= =1, 0-(-1) ∵∠OFA+∠OFB=180? ,∴kBF=-1, …………6 分 ∴直线 BF 方程为:y=-1(x+1)=-x-1 x2 代入 +y2=1 得:3x2+4x=0, 2 4 解得 x=0 或 x=- , 3

?x=0 代入 y=-x-1 得? (舍)或 ?y=-1

?x=-3 ? 1 , ?y=3
·17·

4

4 1 ∴B(- , ) ,kAB= 3 3 .

1 1- 3 4 0-(- ) 3

1 = 2

1 ∴直线 AB 的方程为:y= x+1 …………9 分 2 (ii)解法一:由于∠OFA+∠OFB=180? ,所以 kAF+kBF=0 ……11 分 x2 2 设直线 AB 方程为:y=kx+b,代入 +y =1 2 1 2 2 2 得:(k + )x +2kbx+b -1=0, 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2) b2-1 2kb 则 x1+x2=- ,x1x2= …………13 分 1 1 k2+ k2+ 2 2 kx +b kx +b y y 所以,kAF+kBF= 1 + 2 = 1 + 2 x1+1 x2+1 x1+1 x2+1 (kx +b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1) = 1 =0 (x1+1)(x2+1) 所以,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b b2-1 2kb =2k× -(k+b)× +2b=0 1 1 k2+ k2+ 2 2 , ∴b-2k=0 所以直线 AB 方程为:y=k(x+2) 所以直线 l 总经过定点 M(-2,0) ……16 分 解法二:由于∠OFA+∠OFB=180? , 所以 B 关于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上 …………11 分 x2 2 设直线 AF 方程:y=k(x+1),代入 +y =1 得: 2 1 (k2+ )x2+2k2x+k2-1=0 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), k2-1 2k2 则 B1(x2,-y2)且 x1+x2=- ,x1x2= …………13 分 1 1 k2+ k2+ 2 2 y -y y -y ∴kAB= 1 2,AB:y-y1= 1 2(x-x1),令 y=0,得: x1-x2 x1-x2 x -x x y -x y x=x1-y1 1 2= 2 1 1 2 y1-y2 y1-y2 ∵y1=k(x1+1),-y2=k(x2+1) x y -x y x × k(x1+1)+x1× k(x2+1) 2x1x2+x1+x2 ∴x= 2 1 1 2= 2 = y1-y2 k(x1+1)+k(x2+1) x1+x2+2

·18·

k2-1 2k2 2× - 1 1 k2+ k2+ 2 2 = =-2. 2k2 2- 1 k2+ 2

? 直线 l 总经过定点 M(-2,0)
19、解: (1)函数 g(x)的定义域为(0,+∞), ∵g ′(x)= 2(x2-x+a) 2a +2x-2= , x x

…………16 分

若函数 g(x)在定义域上单调增,则由 g ′(x)≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 即 x2-x+a≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 所以 a≥-x2+x 对 x∈(0,+∞)恒成立, 1 记 h(x)=-x2+x,x∈(0,+∞),易得 h(x)max= , 4 1 ∴a≥ . 4 …………4 分

(2) (i)a=0 时,g(x)=x2-2x,g ′(x)=2x-2,g ′(x0)=2x0-2, ∴kAB= g(x1)-g(x2) (x1+x2-2)(x1-x2) = =x1+x2-2=2x0-2 x1-x2 x1-x2 …………8 分

∴函数在 Q(x0,g(x0))点处的切线与直线 AB 平行.

(ii)当 a≠0 时,若存在 A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2))(0<x1<x2) ,使得 g(x)在点 Q(x0, g(x0))处的切线与直线 AB 平行,则有 g′(x0)=
2

g(x1)-g(x2) , x1-x2



(2alnx1+x1-2x1)-(2alnx2+x2-2x2) 2a +2x0-2= x0 x1-x2

2

x +x 又因为 x0= 1 2, 2 x 2aln 1 x2 2a ∴ +x1+x2-2= +x1+x2-2 x1+x2 x1-x2 2 x 2(x -x ) ∴即 ln 1= 1 2 x2 x1+x2 (* )

2(t-1) x 设 1=t,则(* )式整理得 lnt= , x2 t+1 问题转化成该方程在(0,1)上是否有解.
·19·

…………12 分

2(t-1) (t-1)2 1 4 设函数 h(t)=lnt- ,则 g ′(x)= - ≥0, 2= t (t+1) t(t+1)2 t+1 所以函数 h(t)在(0,+∞)单调递增, 所以当 t∈(0,1)时,h(t)<h(1)=0, 2(t-1) 所以方程 lnt= 在(0,1)上无解, t+1 所以,不存在这样的 A、B,使得 g(x)在点 Q(x0,g(x0))处的切线与直线 AB 平行. …………16 分

20、解: (1)当 n≥2 时,有 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) n2 n =a1+b1+b2+…+bn-1= - +1. ……2 分 2 2 n2 n 又 a1=1 也满足上式,所以数列{an}的通项公式是 an= - +1.……4 分 2 2 b+ b+ 1 (2) (i)因为对任意的 n∈N*,有 bn+6= n 5= = n 1=bn, bn+4 bn+3 bn+2 所以 cn+1-cn=a6n+5-a6n-1 =b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4 1 1 =1+2+2+1+ + =7 2 2 所以,数列{cn}为等差数列.
*

…………8 分

(ii)设 cn=a6(n-1)+i(n∈N )(其中 i 为常数且 i∈{1,2,3,4,5,6}, 所以 cn+1-cn=a6(n-1)+6+i-a6(n-1)+i =b6(n-1)+i+b6(n-1)+i+1+b6(n-1)+i+2+b6(n-1)+i+3 +b6(n-1)+i+4+b6(n-1)+i+5=7, 即数列{a6(n-1)+i}均为以 7 为公差的等差数列. …………10 分 7 7 7 (i+6k)+ai- i ai- i 6 7 6 a + a +7k 6 设 fk= 6k i = i = = + (其中 n=6k+i, 6 i+6k 6k+i i+6k i+6k k≥0,i 为{1,2,3,4,5,6}中一个常数) 7 a 7 当 ai= i 时,对任意的 n=6k+i,有 n= ; 6 n 6

……12 分

7 7 ai- i ai- i 6 6 -6 7 7 当 ai≠ i 时,fk+1-fk= - =(ai- i) 6 6 [i+6(k+1)](i+6k) i+6(k+1) i+6k a + 7 ①若 ai> i,则对任意的 k∈N 有 fk+1<fk,所以数列{ 6k i }为递 6 6k+i 减数列; a + 7 ②若 ai< i,则对任意的 k∈N 有 fk+1>fk,所以数列{ 6k i }为递 6 6k+i 增数列.
·20·

7 4 1 1 1 7 4 1 1 1 综上所述,集合 B={ }∪{ }∪{ }∪{- }∪{- }={ , , ,- ,- }.当 a1 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6 a + a ∈B 时,数列{ n}中必有某数重复出现无数次;当 a1?B 时,数列{ 6k i }(i=1,2,3, n 6k+i a 4,5,6)均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多出现一次,所以数列{ n}任 n 意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.16 分

2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学Ⅱ参考答案与评分建议
A.选修 4—1:几何证明选讲 【证明】因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线,所以∠PAB=∠ACB. 因为 PD∥AC,所以∠EDB=∠ACB, 所以∠PAE=∠PAB=∠ACB=∠BDE. 又∠PEA=∠BED,故△PAE∽△BDE. …………………… 10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:(1)M1=? 0 -1? , ?1 0? ……………………2 分 ……5 分

2? ?-1? M1? ?1?=?2 ?.所以点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P'的坐标是 P'(-1,2). (2)M=M2·M1=?

?1

1

-1? , 0?

……………………7 分

x? ?x0? 设? ?y?是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是?y ?,
0

? x0-y0=x, ? x0=y, x0? ?x? ? ? 则 M? = , 也就是 即 ?y0? ?y? ? x0=y ? y0=y-x.

所以,所求曲线的方程是 y-x=y2.

……………………10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 C1:(x-3)2+(y-4)2=4,曲线 C2:x2+y2=1 ……………………5 分 曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆, 可求得两圆圆心距为 32+42=5, AB≤5+2+1=8,所以 AB 的最大值为 8. D.选修 4—5:不等式选讲
·21·

………………10 分

证明:因为|m|+|n|≥|m-n|, 所以|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|. ………………… 8 分 又 a≥2,故|2a-1|≥3. 所以|x-1+a|+|x-a|≥3. ………………………………… 10 分 p 22.解: (1)由条件知,A(1- ,1),代入抛物线方程得 p=1. 2 所以抛物线的方程为 y2=2x. ………………………4 分 p (2)设 B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=k(x+ ). 2 k2p2 将直线 AB 的方程代入 y2=2px,消 y 得 k2x2+p(k2-2)x+ =0, 4 -p(k2-2)-2p 1-k2 -p(k2-2)+2p 1-k2 所以 x1= ,x2= . ……6 分 2 2k 2k2 → → p p 因为 d=λp,所以 x1+ =λp,又AM+λ AB =0,所以 x1+ =λ(x2-x1), 2 2 2p 1-k2 所以 p=x2-x1= , k2 …………………………………8 分 ………………10 分

所以 k2=2 2-2,所以直线 AB 的斜率为定值. 23. 解: (1)f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为 C7=7,C7=21,C7=35, 因为 C7+C7=2C7,即 C7,C7,C7成等差数列, 所以 f(7)具有性质 P. (2)设 f(n)具有性质 P, 则存在 k∈N*,1≤k≤n-1,使 C 所以 C
k-1 k+1 k n +C n =2Cn. 1 3 2 1 2 3 1 2 3

…………………………4 分

k-1 k k+1 n CnC n 成等差数列,

整理得,4k2-4nk+(n2-n-2)=0,

…………………7 分

即(2k-n)2=n+2,所以 n+2 为完全平方数. 又 n≤2016,由于 442<2016+2<452, 所以 n 的最大值为 442-2=1934,此时 k=989 或 945. ……10 分

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