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任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法探究


任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法探究
鄞州区横溪镇中学 王波 圆与三角形有着密不可分的关系,对于任意一个三角形来说,三角形是圆的内接三角 形或是外切三角形。而对于圆来说,三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各 边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢?下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 ―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法 例 1、已知 Rt△ABC 中,∠C=90 ,AB=13,AC=5,BC=12,求外接圆半径 R 和内切圆半 径 r 值。 解:由题意得; R =
0

c 13 = 2 2

;r =

a + b c 5 + 12 13 = =2 2 2



二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 的外接圆和内切圆半径的求法 例 2、已知△ABC 中,AB=13,AC=14,BC=15,求外接圆半径 R 和内切圆半径 r 值。 解:如图:作 BC 边上的高线 AD;设 BD=x ,则 CD=15-x 。由勾股定理得:AD2 =AB2-BD2=AC2-CD2, 即: 13 2 x 2 = 14 2 (15 x ) ,得 x=
2

33 ; 5

再得:AD=

56 , 5

1、先求内切圆半径: 根据 s ABC = 得:

1 (a + b + c )r 2

1 56 1 × 15 × = (13 + 14 + 15)r 2 5 2

得: r=4 ; 2、作△ABC 的外接圆⊙O,连接 AO 并延长交⊙O 于 E,连接 CE。则△ABD∽△AEC,

AB AD 则 = AE AC

56 13 ,即 = 5 2 R 14

,得 R=

65 。 8

例 3、已知△ABC 中,AB=13,AC= 5 2 ,BC=17,求 外接圆半径 R 和内切圆半径 r 值。 解:如图:作 BC 边上的高线 AD;设 BD=x ,则 CD=17-x 。由勾股定理得:AD2=AB2-BD2= AC2-CD2, 即: 13 2 x 2 = 5 2 再得:AD=5, 1、先求内切圆半径: 根据 s ABC = 得:

( )

2

(17 x ) ,得 x=12;
2

1 (a + b + c )r 2

1 1 × 17 × 5 = 13 + 17 + 5 2 r 2 2

(

)

得: r=

6 2 2



2、作△ABC 的外接圆⊙O,连接 AO 并延长交⊙O 于 E,连接 CE。则△ABE∽△ADC, 则

AB AE = AD AC

,即

13 2 R = 5 5 2

,得 R=

13 2 。 2

三、小结 例 2 和例 3 中,求三角形内切圆半径是通过 s ABC = 的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一 条边上的高线。 例 2 和例 3 中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形,为了避免在计算中分类的问 题,可统一为选择最长的一边为底边,再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三 角形是锐角还是钝角三角形的问题。

1 (a + b + c )r 公式,根据三角形 2

2009-1-6


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