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高中数学第1章不等关系与基本不等式1.4第3课时不等式的证明__反证法放缩法几何法学案北师大版选修4

第 3 课时 不等式的证明——反证法、放缩法、几何法 1.了解放缩法、反证法、几何法的概念;理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的 步骤.(重点) 2.会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式.(难点) [基础·初探] 教材整理 1 放缩法与几何法 阅读教材 P18~P20,完成下列问题. 1.放缩法 证明命题时,有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子),或通过放大(或缩小)被 减式(或减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法称为放缩法. 2.几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行.( (2)整式的放缩可以通过加减项来进行.( (3)从 < ) ) ) a a+m 来看,这是通过扩大分子达到了放大的目的.( b b 【解析】 根据放缩法的定义知(1)(2)正确,而(3)中,因 m 的符号不定,所以不一定达 到放大的目的,故错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 教材整理 2 反证法 阅读教材 P20~P21,完成下列问题. 通过证明命题结论的否定不能成立,来肯定命题结论一定成立的证明方法叫反证法.其 证明的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) -1- (1)反证法与同一法实质上是一致的.( ) ) (2)证明“至少”“至多”“否定性命题”时宜用反证法.( (3)证明结论“a,b,c 至少一个为负数”时,提出假设可以是“a,b,c 至多有两个为 负数”.( ) 【解析】 (1)× 从原理上分析,两种方法截然不同. (2)√ 反证法适合于证明这种类型. (3)× 假设应为“a,b,c 没有一个为负数”. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 利用反证法证明否定性结论 1 已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 【导学号:94910023】 【精彩点拨】 当直接证明命题较困难时, 可根据“正难则反”, 利用反证法加以证明. 凡 涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时,常可考虑反证法. 1 【自主解答】 假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即 b-ab> ,c-bc> ,a-ac> , 4 4 4 1 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c> . 64 ∵0<a<1, ① -2- ∴(1-a)a≤? ?1-a+a? =1. ? ? 2 ? 4 2 1 1 同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ . 4 4 又(1-a)a,(1-b)b,(1-c)c 均大于零, 1 ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ , 64 因此①式与②式矛盾. 故假设不成立,即原命题成立. ② 1.反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件 进行推理,否则,仅否定结论, 不从结论的反面推理,就不是反证法. 2. 利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推出与已知条件或定理事实相 矛盾,或自相矛盾. [再练一题] 1.若 0<a<2,0<b<2,0<c<2.求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a 不能同时大于 1. ? ? 【证明】 假设? ? ? 那么 同理 -a +b ≥ 2 -a b>1, -b c>1, -c a>1, -a b>1. ① ② ③ -b +c >1, 2 -c +a >1. 2 ①+②+③得 3>3,矛盾.所以原命题得证. 反证法证明“至少”“至 多” 型命题 已知 f(x)=x +px+q,求证: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2; 1 (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 【精彩点拨】 (1)把 f(1),f(2),f(3)代入函数 f(x)求值推算可得结论. (2)假设结论不成立,推出矛盾,得结论. 2 -3- 【自主解答】 (1)f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)用反证法证明. 1 假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 2 又∵|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2, 互相矛盾,∴假设不成立,∴|f(1)|,|f(2)|, 1 |f(3)|中至少有一个不小于 . 2 1.当证明的题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,常使用反证法证明,在证 明中出现自相矛盾,说明假设不成立. 2.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件, 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾. [再练一题] 2.已知函数 y=f(x)在区间(a,b)上是增函数,求证:y=f(x)在区间(a,b)上至多有 一个零点. 【证明】 假设函数 y=f(x)在区间(a,b)上至少有两个零点. 不妨设 x1,x2(x1≠x2)为函数 y=f(x)在区间(a,b)上的两个零点,且 x1<x2,则 f(x1)= f(x2)=0. ∵函数 y=f(x)在区间(a,b)上为增函数,x1,x2∈(a,b)且 x1<x2,∴f(x1)<f(x2),与 f(x1)=f(x2)=0 矛盾,∴原假设不成立. ∴函数 y=f(x)在(a,b)上至多有一个零点. [探究共研型] 放缩法证明不等式 1 探究 1 若将 2放大(或缩小),常用哪些方法? k 1 【提示】 将分子或分母放大(缩小): 2