当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省武城县第二中学人教B版高二数学习题必修五《第三章不等式》专题训练(无答案)

不等式专题训练

一、关于不等式性质的问题:

不等式的性质包括四个性质定理及五个推论,它是解不等式和证明不等式的主要依据.

1.对于实数 a, b, c ,下列结论中正确的是( )

A.若 a ? b ,则 ac2 ? bc2

B.若 a ? b ? 0 ,则 1 ? 1 ab

C.若 a ? b ? 0,则 a ? b ba

D.若 a ? b , 1 ? 1 ,则 ab ? 0 ab

2.下面四个条件中,使 a ? b 成立的条件是( )

A. a ? b ?1 B. a ? b ?1 C. a2 ? b2

D.| a |? b

3.如果 a ? 0,b ? ?1,那么下列不等式成立的是( )

A.

a

?

a b

?

a b2

B. a b2

?

a b

?

a

C.

a b

?

a

?

a b2

D. a b

?

a b2

?

a

4.如果实数 a,b, c 满足 c ? b ? a 且 ac ? 0 ,那么下列选项中不一定成立的是( )

A. ab ? ac

B. c(b ? a) ? 0

C. ac(a ? c) ? 0 D. cb2 ? ab2

二、关于利用不等式性质求取值范围问题:

例 1.已知函数 f (x) ? ax2 ? c , ?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5,求 f (3) 的取值范围.

解:

??4 ? ???1 ?

f f

(1) (2)

? ?1 ?5

?

??4 ? ???1 ?

a ? c ? ?1 4a ? c ? 5



f

(3)

?

9a

?c

?

m(a

?

c)

?

n(4a

?

c)

可得

?m ?? m

? ?

4n ? 9 n ?1



???m ? ?

? ???n

?

8 3

5 3

,∴

?5 ??3

?

??-8

?? 3

? 5 (a ? 3
? 8 (4a 3

c) ? ? c)

20 3 ? 40
3

① ②

①+②得-1? 9a ? c ? 20 ,即 ?1 ? f (3) ? 20
仿照上例解以下几题.
1.(青岛模拟)已知 ?1? a ? b ? 5,1? a ?b ? 3 ,求 a ? 3b 的取值范围.

2.(辽宁高考)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3,求 z ? 2x ? 3y 取值范围.

三、关于均值不等式条件考察问题(一正,二定,三相等)

1.下列结论正确的是( )

A.当 x ? 0 且 x ?1时, lg x ? 1 ? 2 lg x

B.当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 x

C.当 x ? 2 时, x ? 1 最小值是 2 x
2.下列函数中,最小值为 4 的是( )

D.当 0 ? x ? 2时, x ? 1 无最大值 x

A. f (x) ? 4x ? 4 x

B. f (x) ? 2x2 ?10 x2 ? 4

C. f (x) ? 3x ? 4 ? 3?x

D.

f

(x)

?

lg

x

?

log

10 x

3.下列函数中,最小值为 2 的是( )

A. y ? x ? 1 x

B. y ? sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? ex ? e?x

D.

y

?

log3x

?

log

3 x

4.下列说法中,正确的是

.

① x2 ? 4 的最小值为 2 3 ;② x2 ? 5 最小值为 2;③ 2 ? 3x ? 4 的最小值为 2.

x2 ?1

x2 ? 4

x

四、有关利用均值不等式求分式最值问题.

x2 ? 3x ? 3

例 1.求函数 y ?

(x ? ?1) 的最小值.

x ?1

(可分离变量化为 M ? P 型函数,利用均值不等式求解) M

解:令 x ?1 ? t ? 0 ,则 x ? t ?1,所以 x2 ? 3x ? 3 ? (t ?1)2 ? 3(t ?1) ? 3 ? t2 ? t ?1

即 y ? t2 ?t ?1 ? t ?1?1? 2? t?1 ?1? 3

t

t

t

当且仅当 t ? 1 ,即 t ? 1,即 x ? 0 时函数取最小值 3. t
练习:
1.当 x ? ?1 时,求 f (x) ? x ? 1 最小值. x ?1

2.求函数 y ? x ? 3 (x ? 2) 最小值及相应 x 值. x?2

3.求函数 y ? 2 ? 4 ? x(x ? 0) 最大值及相应 x 值. x
x2 4.求 f (x) ? x4 ? 2 (x ? 0) 最大值及相应 x 值.

5.求 f (x) ? x2 ? x ? 4 (x ?1) 最小值及相应 x 值. x ?1

6.已知 0 ? ? ? ? ,求 f (? ) ? (sin 2? ? 2)2 最小值及相应? 值.

2

sin 2?

五、有关给定一等式条件,求最值问题:

例 1.已知 a, b ? R? 且 a ? b ?1,求 1 ? 1 的最小值. ab

解法一:∵ 1 ? 1 ? a ? b ? 1 ,又 ab ? ( a ? b)2 ? 1 ,∴ 1 ? 4

a b ab ab

2

4 ab

解法二:(代换法) 1 ? 1 ? a ? b ? a ? b ? 2 ? b ? a ? 2 ? 2 b ? a ? 4

ab a b

ab

ab

解法三:(乘 1 法) 1 ? 1 ? (1 ? 1 ) ?1 ? (1 ? 1) ?(a ? b) ? 2 ? b ? a ? 4

ab ab

ab

ab

解法四:(减元法) b ?1? a ? 0 ,则 1 ? 1 ? 1 , a 1? a a(1? a)

∵ a(1? a) ? ( a ? (1? a))2 ? 1 ,∴ 1 ? 4

2

4 a(1? a)

练习:
1. a,b ? 0 且 a ? b ?1,求 1 ? 1 最小值. 1?a 1?b
2.已知正整数 a, b 满足 4a ? b ? 30 ,当 1 ? 1 取得最小值时,试求实数对 (a, b) 的取值. ab
3.若 lg x ? lg y ? 2,求 1 ? 1 的最小值. xy
4.若 x ? 0, y ? 0 且 1 ? 9 ? 1,求 x ? y 的最小值. xy
5.若正数 x, y 满足 x ? 3y ? 5xy ,求 3x ? 4 y 最小值.

6.已知 a ? 0,b ? 0, a ? b ? 1 ,

求证:① 1 ? 1 ? 1 ? 8 ;② (1? 1 )(1? 1) ? 9.

a b ab

ab

例 2.已知 a, b ? R? 且 3a ? 2b ? 2 ,求 ab 的最大值及相应 a, b 的值.

解法一: 2 ? 3a ? 2b ? 2 6ab ? 6ab ? 1 ? ab ? 1 6

当 3a ? 2b ?1即 a ? 1 ,b ? 1 取“=” 32

解法二:配凑法 ab ? 1 ? 3a ? 2b ? 1 ? (3a ? 2b)2 ? 1

6

62

6

当且仅当 3a ? 2b ?1,即 a ? 1 , b ? 1 时取“=”

3

2

解法三:消元法 由 3a ? 2b ? 2 ,得 a ? 2 (1? b) 3

ab ? 2 ? (1? b)?b ? 2 ? ((1? b) ? b)2 ? 2 ? 1 ? 1

3

3

2

34 6

当1?b ? b ,即 b ? 1 时,取“=”,此时 a ? 1

2

3

练习:

1.若 x ? 0, y ? 0, 4x ? 3y ?12 ,求 xy 最大值.

2.点 P(x,y) 在直线 2x ? y ? 4 ? 0 上运动,求它的横纵坐标之积的最大值以及此时 P 的坐标. 3.若 a ? 0,b ? 0 且 ab ? a ? b ? 3,求 ab 的取值范围. 4. ?ABC 中,已知 c ? 6 ? 2 , C ? 30 °,求 a ? b 的最大值. 5.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2y ? 2xy ? 8 ,求 x ? 2y 的最小值. 6.已知 lg(3x) ? lg y ? lg(x ? y ?1) ,①求 xy 最小值;②求 x ? y 的最小值.

六、有关运用均值不等式解应用题问题
例:如下图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有墙(墙足够长),其 他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36m 长的钢筋网材料,每间虎笼长、宽各设计多少时,可使每间虎笼面积最 大?

(2)若使每间虎笼面积为 24m2,则每间虎笼长、宽各设计多少时,可使四间虎笼面积最大?

练习:

1.(北京高考)某车间分批生产某种产品,每批生产准备费用为 800 元,若每批生产 x 件,

则平均仓储时间为 x 天,且每件产品每天仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品生产准备费 8

用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )

A.60 件

B.80 件

C.100 件

D.120 件

2.(辽宁高考)一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达 B 市,已知两地铁

路线长 400km,为了安全,两车之间距离不得小于 ( v )2 km,那么这批货物全部到达 B 市, 20

最快需要( )

A.6h

B.8h

C.10h D.12h

3.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少 10 层,每层 2000 平

方米的楼房,经测算,如果将楼房建为 x(x ? 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48x

(单元:元)
(1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式;
(2)该楼房应建多少层时,可使楼房每平方米平均综合费用最少;最少值是多少?
购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 建筑总面积 )

4.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm2,画面宽与高比为 ?(?<1),画面的上、下
各留 8cm 空白,左右各留 5cm 空白,问怎样确定画面高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张
面积最小?如果 ? ?[ 2 , 3] ,那么 ? 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 34

七、有关分式不等式的解法问题

f (x) g(x)

?

0

?

? f (x) ??g(x)

? g(x) ?0

?

0



f (x) g(x)

?0?

f (x)? g(x) ? 0

f (x) g(x)

?0

?

? f (x)? g(x) ? ??g(x) ? 0

0


f (x) g(x)

?0

?

f

(x)? g(x)

?0

练习:
1.不等式 x ?1 ? 0 的集为( ) 2x ?1

A. (? 1 ,1] 2
C. (??, ? 1) [1, ??) 2
2. 1? x ? 0 的解集为 x?2
3. 1 ? ?2 的解集为 x ?1

B.[? 1 ,1] 2
D. (??, ? 1] 2

[1, ??)

.

.

4.不等式

x2 ? 2x ? 2 x2 ? x ?1

?

2

的解集为

.

5.不等式 x ? 5 (x ?1)2

?

2 的解集为

.

八、三个“二次”关系的应用 例:若不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为{x | ? 1 ? x ? 2},
3 求不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集.

练习:

1.不等式 ax2 ? 8ax ? 21 ? 0 的解集为{x | ?7 ? x ? ?1},那么 a 的值是

.

2.若不等式 ?2x2 ? 6x ?1 ? 0 的解集为{x | ? 1 ? x ? m} ,则 b, m 的值为

.

2

3.若关于 x 的不等式 ax ?b ? 0 的解集为 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 x?2

.

九、有关不等式恒成立问题

已知某不等式在某区间上恒成立,求其中参数范围的问题称为恒成立问题。对恒成立问 题往往从以下几个方面入手:(1)结合二次函数图象和性质用判别式法;(2)从函数最值入 手,如大于零恒成立可转化为最小值大于零;(3)能分离变量尽量把参数和变量分离出来;(4) 数形结合,结合图形,从整体上把握图形.

例 1.若关于 x 的不等式 ax2 ? 2x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

解:当 a ? 0 时, 2x ? 2 ? 0 解集不为 R 舍去



a

?

0 时,

?a ???

?0 ? 22

?

4?

2a

?

0

?

a

?

1 2

.

综上, a 的取值范围是 (1 , ??) . 2
练习:

1.关于 x 的不等式 mx2 ? (m ? 3)x ?1 ? 0 对任意实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

2.不等式 3x2 ? 2x ? 2 ? m 对任意实数 x 都成立,求自然数 m 的值. x2 ? x ?1

3.已知{x | ax2 ? ax ?1 ? 0} ? ? ,求实数 a 的取值范围. 4.函数 f (x) ? x2 ? 2a(x ?1) ? 3 定义域为 R,试求 a 的取值范围.

例 2.试确定实数 a 的取值范围,使对一切实数不等式 x4 ? (a ?1)x2 ?1 ? 0 恒成立.

解:令 x2 ? t ? 0 ,原不等式可转化为 t2 ? (a ?1)t ?1 ? 0 恒成立.

法一(分离参数求最值): (1? a)t ? t2 ?1

当 t ? 0 时,上式恒成立,此时 a ? R

当 t ? 0时,1? a ? t ? 1 ,又 t ? 0 , t ? 1 ? 2 ,所以1? a ? 2 ,即 a ? ?1

t

t

综上, a ? ?1

法二(最值法):f (t) ? t2 ? (a ?1)t ?1(t ? 0) ,对称轴 t ? ? a ?1 ,二次函数图象还过定点(0,1) 2

当对称轴 t ? ? a ?1 ? 0 ,即 a ?1时,比[0, ??) 为增函数 2

f (t) min ? f (0) ?1 ? 0 恒成立,当 t ? ? a ?1 ? 0 即 a ?1时 2

f (t) min ? (? a ?1)2 ? (a ?1)? (? a ?1) ?1 ? 0 ,

2

2

即 ?1 ? a ? 3,又 a ?1,∴ ?1? a ?1,综上, a ? ?1

练习:

1.对于不等式 1 (2t ? t2 ) ? x2 ? 3x ? 2 ? 3 ? t2 ,试求区间[0,2]上任意 x 都成立的实数 t 的 8

取值范围.

2. f (x) ? x2 ? 2ax ? 2(a ? R) 当 x ?[?1, ??) 时, f (x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围.

十、含参一元二次不等式的解法
解含参一元二次不等式时,一般应对字母系数分类讨论,分类讨论源于以下三个方向.
(1)若二次项系项为字母 a ,应分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况讨论.

(2)若一元二次方程判别式符号不确定,则应分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况讨论.

(3)若一元二次方程的两个不等实根大小不确定,应分两根相等与不等两种情况讨论.

例.解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ?1)x ?1 ? 0

解:若 a ? 0 ,原式可化为 ?x ?1? 0 ,即 x ?1 若 a ? 0 , ax2 ? (a ?1)x ?1 ? (x ?1)(ax ?1) ? 0



(x

? 1)( x

?

1) a

?

0 ,又

x1

?

1,

x2

?

1 a

?

0

,此时的解集为{x

|

x

? 1或x

?

1} a

若 a ? 0 , ax2 ? (a ?1)x ?1 ? (x ?1)(ax ?1) ? 0 ,即 (x ?1)(x ? 1 ) ? 0 a

x1

? 1, x2

?

1 a

,下面对两根讨论

(1)当 1 ? 1,即 a ?1时 (x ?1)2 ? 0 无解; a

(2)当 1 ? 1,即 0 ? a ?1时,解集为{x |1 ? x ? 1};

a

a

(3)当 1 ? 1 ,即 a ?1时,解集为{x | 1 ? x ? 1}

a

a

综上,

当 a ? 0 时解集为{x | x ? 1或x ? 1}, a

当 a ? 0 时解集为{x | x ? 1}

当 0 ? a ?1时解集为{x |1 ? x ? 1}, a
当 a ?1时解集为? , a ?1时解集为{x | 1 ? x ? 1} a
练习:

解关于 x 的不等式, ax2 ? 2(a ?1)x ? 4 ? 0