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对数运算法则


对数的运算

a ? 0, 且a ? 1 N ?0 b? R

性质:

1.a

loga N

?a

2.负数和0没有对数

3.loga 1 ? 0
4.loga a ? 1

指数运算法则 :

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R ) am ? a m ? n (m, n ? R) n a m n mn (a ) ? a (m, n ? R) (ab) n ? a n ? b n (n ? R)

loga M + log a N =

?



loga M ? p,

loga N ? q,

由对数的定义可以得:M ∴ MN ? 即得

? a , N ? aq
p
p?q

a a

p

q

?a

? loga MN ? p ? q

loga MN ? loga M ? loga N

积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)

证明:③设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M ∴

?a ,
p

M ?a
n

np

? loga M n ? np

即证得

loga M ? nlog M(n ? R) (3) a
n

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

例1 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
xy log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(1)

xy (1)log a ; z

(2) log a

x

2 3

y z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

x ? 3? log a yz

? 4 ? log a

x

2 3

y z

1 解:(3)原式 ? log a x ? log a y ? log a z 2 1 1 (4)原式=2 log a x+ log a y- log a z 2 3

练习:(1)lg 100
5 2

(2)lg4+lg25

(3)lg2 ? + lg 20 ? lg 5 ? (4)log 2 ? 4 ? 2
7 5

?

练习 1.求下列各式的值:

6 (1) log2 6 ? log2 3 ? log 2 ? log2 2 ? 1 3 ? lg(5 ? 2) ? lg10 ? 1 (2) lg 5 ? lg 2

1 (3) log 5 3 ? log 5 3

1 ? log 5 (3 ? ) ? log5 1 ? 0 3 5 ? log 3 ? log3 3?1 ? ?1 (4) log3 5 ? log3 15 15

7 练习计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法一: 解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 ? lg 7 ? lg(2 ? 32 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

计算:

lg 243 (2) lg 9

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg1.2

lg 243 lg 35 ? 5 lg 3 ? 5 解: (2) ? 2 lg 9 lg 32 2 lg 3

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10) (3) ? 3 ? 22 lg1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ?2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

练习 2. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) (2)

lg(xyz) =lgx+lgy+lgz;

(3)

xy lg z 3 xy lg z

2

=lgx+2lgy-lgz;
1 =lgx+3lgy- lgz; 2

x (4) lg 2 y z

1 ? lg x ? 2 lg y ? lg z 2

其他重要公式1:

log a m
证明:设

n N ? log a N m
n

logam N n ? p,

由对数的定义可以得: ∴

N ? (a ) ,
n m p
m p n

N ?a
n

mp

?N ?a
n

m ? log a N ? p n

即证得

log a m

n N ? log a N m

例1、计算: (1)

5

1? log 0.2 3
4

(2) 3 27 ? log 1 log
2

32

(3)lg 20 ? log100 25

其他重要公式2:

换底公式

log c N log a N ? (a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) log c a
证明:设

loga N ? p

由对数的定义可以得:
p

N ?a ,
p

? logc N ? logc a , ? logc N ? p logc a,
logc N ? p? 即证得 logc a

logc N loga N ? logc a

练习 解 :

log2 3 ? log3 7 ? log7 8 log2 3 ? log3 7 ? log7 8 lg 3 lg 7 lg 8 ? ? ? lg 2 lg 3 lg 7

lg 2 ? 3 lg 2 ? =3 lg 2 lg 2
3

例3、若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2 求 m

1.a (a, b, c ? (0,1) ? (1, ??), N ? 0)
4 2 2.log 2 ?1 ( 2 ? 1) ? ? ? 2lg12 log 2 10 log 3 10
logb (logb a) p 3.a ? 1, b ? 1, p ? ,a ? logb a

计算: loga b?logb c?logc N

其他重要公式3:

1 log a b ? log b a

a, b ? (0,1) ? (1,??)

logc N 证明:由换底公式 loga N ? logc a logb b 取以b为底的对数得: loga b ? logb a 1 ? logb b ? 1, ? loga b ? log a b
还可以变形,得

loga b ? logb a ? 1

例2、计算:
(log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1 4 32
2

小结 : 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)
其他重要公式:

log a m

n N ? log a N m
n

logc N loga N ? logc a
loga b ? logb a ? 1

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) a, b ? (0,1) ? (1,??)

练习: 1.已知log12 27 ? a,求 log6 16的值。
2.已知:2
6a

?3 ?6
3b

2c

3.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方 2 2 2 程 x ? 2x ? lg(c ? b ) ? 2lg a ? 1 ? 0 有等根,判断△ABC的形状.

1 2 3 求证: ? ? a b c


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