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【解析版】江西省吉安市白鹭洲中学2012-2013学年高一(下)第一次月考数学试卷

2012-2013 学年江西省吉安市白鹭洲中学高一 (下)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共有 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本题每小题 5 分,满分 50 分) … 1. (5 分)数列 1,﹣3,5,﹣7,9, 的一个通项公式为( ) n n n A.an=2n﹣1 B.an=(﹣1) (1﹣2n) C.an=(﹣1) (2n﹣1) D.an=(﹣1) (2n+1) 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 首先注意到数列的奇数项为正,偶数项为负,其次数列各项绝对值构成一个以 1 为首项,以 2 为公 差的等差数列,从而易求出其通项公式. 解答: 解:∵ 数列{an}各项值为 1,﹣3,5,﹣7,9,… ∴ 各项绝对值构成一个以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, ∴ |an|=2n﹣1 又∵ 数列的奇数项为正,偶数项为负, n+1 n ∴ an=(﹣1) (2n﹣1)=(﹣1) (1﹣2n) 故选 B 点评: 本题给出数列的前几项,猜想数列的通项,挖掘其规律是关键.解题时应注意数列的奇数项为正, 偶数项为负,否则会错. 2. (5 分) A. =( B. ) C. D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 判断数列的是等比数列,利用等比数列求和公式求解即可. 解答: 解:因为 ,所以 是等比数列,首项为 ,公比为 .

所以

=

=



故选 D. 点评: 本题是基础题,考查等比数列前 n 项和的求法,考查计算能力,高考会考常考题型. 3. (5 分)不等式 A.{x|x≤2,或 x≥3} 的解集为( B.{x|2≤x≤3} ) C.{x|x<2,或 x≥3} D.{x|2<x≤3}

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用分式不等式的解法即可求得 解答: 解:∵ ≥0?

≥0 的解集.

?



∴ 不等式

≥0 的解集为{x|x<2 或 x≥3}.

故选 C. 点评: 本题考查分式不等式的解法,考查转化思想,属于中档题. 4. (5 分) (2012?上海)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 考点: 余弦定理的应用;三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由 sin A+sin B<sin C,结合正弦定理可得,a +b <c ,由余弦定理可得 CosC= C 的取值范围 2 2 2 解答: 解:∵ sin A+sin B<sin C, 2 2 2 由正弦定理可得,a +b <c 由余弦定理可得 CosC= ∴ ∴ △ ABC 是钝角三角形 故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用,属于基础试题 5. (5 分) (2007?天津) 设等差数列{an}的公差 d 不为 0, a1=9d. 若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则 k= ( A.2 B .4 C.6 D.8 考点: 等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,知 ak2=a1a2k,由此可知 k2﹣2k﹣8=0,从而得到 k=4 或 k=﹣2. 解答: 解:因为 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 2 2 则 ak =a1a2k,[9d+(k﹣1)d] =9d?[9d+(2k﹣1)d], 2 又 d≠0,则 k ﹣2k﹣8=0,k=4 或 k=﹣2(舍去) . 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

可判断

6. (5 分)数列{an}的通项公式

,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于(



A.1006

B.2012

C.503

D.0

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由数列通项公式可求得该数列的周期及其前 4 项,根据数列的周期性及前 4 项和即可求得 S2012. 解答: 解:由 得, 该数列周期为 T= =4,且 ,a2= ﹣1=﹣ ,a3= ,a4= ,

则 a1+a2+a3+a4=

+ + =1,

所以 S2012=503×(a1+a2+a3+a4)=503×1=503. 故选 C. 点评: 本题考查数列的求和及数列的周期性,解决本题的关键是通过观察通项公式求出数列的周期. 7. (5 分)为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°,测得塔 基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( ) A. B. C.20(1+ )m D.30 m 20(1+ ) m 20(1+ ) m

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 如图所示:设观测点为 C,CP=20m 为点 C 与塔 AB 的距离,∠ ACP=30°,∠ BCP=45°.利用直角三 角形中的边角关系求得 AP、CP 的值,即可求得塔高 AB 的值. 解答: 解:如图所示:设观测点为 C,CP=20 为点 C 与塔 AB 的距离,∠ ACP=30°,∠ BCP=45°. 则 AB=AP+CP=PC?tan30°+CP?tan45°=20× +20×1=20(1+ ) ,故塔 AB 的高度是 20(1+ )m,

故选 C. 点评: 本题主要考查解三角形,直角三角形中的边角关系应用,考查基本运算,属于中档题. 8. (5 分)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为( A.9 B.12 C.16 ) D.17

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质可得, S4, S8﹣S4, , S12﹣S8S16﹣S12, , S20﹣S16 成等差数列, 设公差为 d, 由 S4=1,

S8=4,S8﹣S4=3 可求 d=2,利用等差数列的通项公式可求 解答: 解:由等差数列的性质可得,S4,S8﹣S4, ,S12﹣S8S16﹣S12, ,S20﹣S16 成等差数列,设公差为 d ∵ S4=1,S8=4,S8﹣S4=3 ∴ d=2 ∴ S20﹣S16=1+4×2=9 即 a17+a18+a19+a20=9 故选:A 点评: 本题主要考查了等差数列的性质(等差 数列中,Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 成等差数列)在解题中的应 用

9. (5 分)在设 Sn、Tn 是等差数列{an}、{bn}的前 n 项和,若 A. B. C.

=( D.



考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列求和公式和等差数列的性质, 可得 = =

, 再将 n=60 代入



可得到所求

的值.

解答: 解:∵ 数列{an}、{bn}都是等差数列,前 n 项和分别为 Sn、Tn, ∴ S119= ,T119= ,

可得

=

=

∵ a1+a119=2a60,b1+b119=2b60, ∴ = =



取 n=60,得

=

=



=



故选:C 点评: 本题给出等差数列{an}、 {bn}的通项比的式子, 求前 n 项和的比值. 着重考查了等差数列的求和公式、 等差数列的性质等知识,属于中档题.

10. (5 分) (2008?江西)在数列{an}中,a1=2, A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn

,则 an=(

) .

D.1+n+lnn

考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 解答: 解:∵ . , … ∴ ,

,用迭代法整理出结果,约分后选出正确选项.

故选 A 点评: 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立, 因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n﹣1 等, 这种办法通常称迭代或递推. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项. 二、填空题(本题共有 5 小题,每题填对得 5 分,本题满分 25 分.) 11. (5 分)等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在每相邻两项之间各插入一个数,使之成为等差数列,那么 新的等差数列的公差是 ﹣ .

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的通项公式,算出数列{an}公差 d═ ﹣ ,可得 an=﹣ n+ 各插入一个数,得到新等差数列{bn},可得 b1=a1=8 且 b3=a2= 到新等差数列{bn}的公差. 解答: 解:∵ 等差数列{an}中,a1=,a5=2, ∴ 公差 d=

.若在{an}每相邻两项之间

,再用等差数列的通项公式即可得

=﹣ ,可得{an}的通项公式为 an=8+(n﹣1)×(﹣ )=﹣ n+

若在{an}每相邻两项之间各插入一个数,得到新的等差数列{bn},可得 b1=a1=8,b3=a2=﹣ ×2+ =

∴ 数列{bn}的公差 d1= 故答案为:﹣

=﹣

点评: 本题给出等差数列{an},求在{an}每相邻两项之间各插入一个数,得到的新等差数列{bn}的公差,着

重考查了等差数列的定义与通项公式等知识,属于基础题.

12. (5 分)在△ ABC 中,已知



,则△ ABC 的面积为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 4×cosA=﹣2, 解得 cosA 的值, 可得 A 的值, 再由△ ABC 的面积为 运算求得结果. 解答: 解: ∵ 在△ ABC 中, 已知 故△ ABC 的面积为 × , ×sinA=

×

×sinA,

, 可得 4×cosA=﹣2, 解得 cosA=﹣ , ∴ A= = ,



故答案为 . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,三角形的面积公式,属于基础题. 13. (5 分)在数列{an}中 ,若{an}为递增的数列,则 λ 的范围为 λ>﹣3 .

考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据所给的数列的项,写出数列的第 n+1 项,根据数列是一个递增数列,把所给的两项做差,得到 不等式,根据恒成立得到结果. 2 解答: 解:∵ an=n +λn, 2 ∴ an+1=(n+1) +λ(n+1) ∵ an 是递增数列, 2 2 ∴ (n+1) +λ(n+1)﹣n ﹣λn>0 即 2n+1+λ>0 ∴ λ>﹣2n﹣1 ∵ 对于任意正整数都成立, ∴ λ>﹣3 故答案为:λ>﹣3. 点评: 本题考查数列的函数的特性,本题解题的关键是写出数列的 an+1 项,根据函数的思想,得到不等式 且解出不等式. 14. (5 分)在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围是



考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由已知 C=2B 可得 A=180°﹣3B, 再由锐角△ ABC 可得 B 的范围, 由正弦定理可得, 而可求 解答: 解:因为锐角△ ABC 中,若 C=2B 所以 A=180°﹣3B

. 从



∴ 30°<B<45° 由正弦定理可得, ∵ ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了三角形的内角和定理,正弦定理在解三角形的应用.属于基础试题. 15. (5 分)科技周活动中,数学老师展示出一个数字迷宫:将自然数 1,2,3,4,…排成数阵,在 2 处转 第 1 个弯,在 3 处转第 2 个弯,在 5 处转第 3 个弯,…,则第 100 个弯处的数是 2551 .

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由图表观察可得:由 1 起每一个转弯时增加的数字可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,由此结 合等差数列的求和公式能求出在第 100 个转弯处的数. 解答: 解:观察由 1 起每一个转弯时增加的数字, 可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”, 即第一、二个转弯时增加的数字都是 1, 第三、四个转弯时增加的数字都是 2, 第五、六个转弯时增加的数字都是 3, 第七、八个转弯时增加的数字都是 4, … 故在第 100 个转弯处的数为: 1+2(1+2+3+…+50) =1+2 =2551.

故答案为:2551. 点评: 本题考查等差数列的求和公式,对图表转弯处数字特征规律的发现是解决问题的关键,属基础题. 三、解答题(本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)在等比数列 {an}中, .

考点: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等比数列的公比,有已知条件列方程组求出首项和公比,则 a4 和 S5 可求. 解答: 解:设等比数列 {an}的公比为 q,由已知得,



② ÷① 得:

,∴



把 q= 代入① 得:a1=8. ∴ ,



所以,



点评: 本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式,考查了方程组的解法,是基础题. 17. (12 分)在△ ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 求: (1)角 C 的度数; (2)边 AB 的长. 考点: 余弦定理;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: (1)根据三角形内角和可知 cosC=cos[π﹣(A+B)]进而根据题设条件求得 cosC,则 C 可求. (2)根据韦达定理可知 a+b 和 ab 的值,进而利用余弦定理求得 AB. 解答: 解: (1) ∴ C=120° (2)由题设: ∴ AB =AC +BC ﹣2AC?BCcosC=a +b ﹣2abcos120° = ∴ 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.考查了学生综合分析问题和函数思想,化归思想的应用. 18. (12 分)递减的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3?a5=63,a2+a6=16, (1)求{an}的通项公式 (2)当 n 为多少时,Sn 取最大值,并求其最大值. (3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
2 2 2 2 2

的两个根,且 2cos(A+B)=1.

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 综合题;分类讨论;等差数列与等比数列. 分析: (1)a2+a6=a3+a5=16,由此可把 a3 与 a5 看作方程 x2﹣16x+63=0 的两根,解出 a3 与 a5,根据通项公 式可得公差及首项; (2)由递减等差数列性质可知,要使 Sn 取最大值,则有 an≥0,an+1≤0,解出 n,即可求得正整数 n 值; (3)分① 当 n≤12 时,② 当 n>12 时两种情况进行讨论,借助等差数列前 n 项和公式即可求得答案; 解答: 解: (1)a2+a6=a3+a5=16,又 a3?a5=63, 2 所以 a3 与 a5 是方程 x ﹣16x+63=0 的两根, 解得 ,

又该等差数列递减,所以



则公差 d=

,a1=11,

所以 an=11+(n﹣1) (﹣1)=12﹣n; (2)由
*

,即

,解得 11≤n≤12,

又 n∈N ,所以当 n=11 或 12 时 Sn 取最大值,最大值为 S11= (3)由(2)知,当 n≤12 时 an≤0,当 n>12 时 an>0, ① 当 n≤12 时, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣(a1+a2+a3+…+an) =﹣Sn=﹣ =﹣ = ﹣ ;

=66;

② 当 n>12 时, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣(a1+a2+a3+…+a12)+(a13+a14+…+an) =Sn﹣2S12= ﹣2×66=﹣ ;

所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=



点评: 本题考查等差数列通项公式、前 n 项和公式及数列求和,考查分类讨论思想,熟练掌握等差数列的 通项公式及前 n 项和公式是解决该类问题的基础. 19. (13 分) (2013?惠州一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 csinA=acosC. (I)求角 C 的大小; (II)求 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

考点: 正弦定理的应用;三角函数的最值. 专题: 计算题.

分析: (I)在△ ABC 中,利用正弦定理将 csinA=acosC 化为 sinCsinA=sinAcosC,从而可求得角 C 的大小; (II)利用两角和的余弦与辅助角公式可将 sinA﹣cos(B+C)化为 sinA﹣cos(B+C)=2sin (A+ ) ,从而可求取得最大值时角 A,B 的大小.

解答: 解析: (I)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC, ∵ 0<A<π, ∴ sinA>0, ∴ sinC=cosC,又 cosC≠0, ∴ tanC=1,又 C 是三角形的内角 即∠ C= (II) = …(4 分) sinA﹣cos(B+C)= sinA﹣cos(π﹣A)

sinA+cosA=2sin(A+ , = <A+

)…(7 分) < , )取最大值 2. (10 分) ,B= …(12 分)

又 0<A< 所以 A+

即 A=

时,2sin(A+

综上所述,

sinA﹣cos(B+C)的最大值为 2,此时 A=

点评: 本题考查正弦定理,考查两角和的余弦与辅助角公式,考查求三角函数的最值,掌握三角函数的基 本关系是化简的基础,属于中档题. 20. (13 分) (2012?宁国市模拟)已知数列{an}满足:a1=1; 和为 Sn,且 . .数列{bn}的前 n 项

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)令数列{cn}满足 cn=an?bn,求其前 n 项和为 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (1)数列{an}为等差数列,首项为 1,公差为 1;根据 Sn+bn=2,再写一式,两式相减,化简可得数 列{bn}为等比数列,从而可求数列的通项; (2)由已知得: 解答: 解: (1)由已知 a1=1; ∴ 数列{an}为等差数列,首项为 1,公差为 1. ∴ 其通项公式为 an=n…(3 分) ∵ Sn+bn=2,∴ Sn+1+bn+1=2, 两式相减,化简可得 ∴ 数列{bn}为等比数列, 又 S1+b1=2, ∴ b1=1, , ,利用错位相减法求和即可. ,



…(7 分)

(2)由已知得: ∴ ,





…(11 分)



…(13 分)

点评: 本题考查数列的通项,考查数列的求和,解题的关键是确定数列为特殊数列,正确运用通项及求和 公式,属于中档题.

21. (13 分)已知数列{ an}、{ bn}满足: (1)求 a2,a3, ; (2)证数列{ }为等差数列,并求数列{an}和{ bn}的通项公式;



(3)设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求实数 λ 为何值时 4λSn<bn 恒成立. 考点: 数列的求和;数列的函数特性;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由给出的 ,循环代入 an+bn=1 和 可求解 a2,a3;

(2)由 an+bn=1 得 an+1+bn+1=1,结合 理变形后可证得数列{

,去掉 bn 与 bn+1 得到 an+1 与 an 的关系式,整

}是以 4 为首项, 1 为公差的等差数列, 求出其通项公式后即可求得数列{an}

和{ bn}的通项公式; (3)首先利用裂项求和求出 Sn,代入 4λSn<bn,通过对 λ 分类讨论,结合二次函数的最值求使 4λSn <bn 恒成立的实数 λ 的值. 解答: (1)解:∵ ,∴ , ,











(2)证明:由





=



∴ ∴ ∴ 数列{ ∴ ∴ (3)解:由

,即 an﹣an+1=anan+1,

}是以 4 为首项,1 为公差的等差数列. ,则 ; , ,

∴ Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 = = = .


2



要使 4λSn<bn 恒成立,只需(λ﹣1)n +(3λ﹣6)n﹣8<0 恒成立, 2 设 f(n)=(λ﹣1)n +3(λ﹣2)n﹣8 当 λ=1 时,f(n)=﹣3n﹣8<0 恒成立, * 当 λ>1 时,由二次函数的性质知 f(n)不满足对于任意 n∈N 恒成立, 当 λ<l 时,对称轴 n= f(n)在[1,+∞)为单调递减函数. 2 只需 f(1)=(λ﹣1)n +(3λ﹣6)n﹣8=(λ﹣1)+(3λ﹣6)﹣8=4λ﹣15<0 ∴ ,∴ λ≤1 时 4λSn<bn 恒成立.

综上知:λ≤1 时,4λSn<bn 恒成立. 点评: 本题考查了等差、等比数列的通项公式,考查了数列的裂项求和,考查了数列的函数特性,训练了 恒成立问题的求解方法,解答过程中注意分类讨论的数学思想,属中档题.


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