当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 应用题(江都中学)


应用题 1.如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱. 污水从 A 孔 流入, 经沉淀后从 B 孔流出. 设箱体 的长度为 a 米, 高度为 b 米. 已知流出的水中该杂质的 质量分数与 a, b 的乘积 ab 成反比. 现有制箱材料 60 平方米. A B 问当 a, b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计). b a 2

2.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投 入生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企 业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年 底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企 业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

3.某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米,栽种 n 年后的高度记为 f(n).经研究发现 f(n)近似地 -2 9A 3 满足 f(n)= ,其中 t = 2 ,a,b 为常数,n∈N,f(0)=A.已知栽种 3 年后该树木的高 a+btn 度为栽种时高度的 3 倍. (1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的 8 倍; (2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.

答案 1.解法一:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= k ab ,其中 k 为比例系数,且 k>0,依 ∴ b= 30-a (0<a<30) 2+a

题意, 即所求的 a,b 值使 y 最小。 据题意有: 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 30-a 30a-a2 64 ∴ ab=a× = =―a+32― 2+a 2+a 2+a 64 =34―(a+2+ )≤34―2 a+2 (a+2)· 64 =18 a+2

64 当 a+2= 时取等号,y 达到最小值。 a+2

…………………8 分

此时解得 a=6,b=3 答:当 a 为 6 米, b 为 3 米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………16 分 解法二:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= k , 其中 k 为比例系数, 且 k>0, 依题意, ab

即所求的 a,b 值使 y 最小。据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 即 2b+ab+a=30 ∵ a+2b≥2 2ab ∴ 30―ab=a+2b≥2 2ab ∴ ab+ 2ab―30≤0…………………7 分 ∵ (a>0,b>0) ∴ 0<ab≤18 当 a=2b 时取等号,ab 达到最大值 18。…………………10 分 此时解得 a=6,b=3 答:当 a 为 6 米, b 为 3 米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ………………………16 分 2.答案(Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 ?? a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? . 2 2 ? 2 2 ?
整理得

3 ? 3 ? an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? 2 ? 2 ?
3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2

由题意, an ? 4000,? ( )

3 2

n ?1

(3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000,

? 3 n ? ( ) ? 2? ?1000 ? 1000(3n ? 2n?1 ) 2 ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ? 2 ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴 000元. 3.解: (1)由题意知 f(0)=A,f(3)=3A.

1000(3n ? 2n ?1 ) 时, 经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为4 3n ? 2n

? ?a+b=A, 所以? 9A 解得 a=1,b=8. 1 =3A, ? ?a+4b
9A -3 9A 所以 f(n)= ,其中 t=2 . 1+8×tn 9A 1 令 f(n)=8A,得 =8A,解得 tn=64, 1+8×tn -3 1 即 2 =64,所以 n=9.
2n 2

……………………4 分

所以栽种9年后,该树木的高度是栽种时高度的 8 倍. ……………………6 分 9A (2)由(1)知 f(n)= . 1+8×tn 9A 9A 第 n 年的增长高度为△=f(n)-f(n-1)= - …………9 分 - . 1+8×tn 1+8×tn 1 72Atn 1(1-t) 72Atn 1(1-t) 所以△= - = - - (1+8tn)(1+8tn 1) 1+8tn 1(t+1)+64t2n 1 72A (1-t) = 1 +64tn+8(t+1) - tn 1 12 分 ≤ 2 72A (1-t) 72A (1-t) 9A (1- t ) = = . 1 8(1+ t )2 1+ t n 64t × n-1+8(t+1) t
n
- -

………………………………

当且仅当 64t = n-1,即 2 t 1

2(2n-1) 3

1 =64时取等号,此时 n=5. ……………………14 分

所以该树木栽种后第 5 年的增长高度最大.

江都中学王志远供稿


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签: