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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第3章 第1节 导数及导数的运算


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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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第三章
第一节 导数及导数的运算

第三章

导数及其应用

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第三章

导数及其应用

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高考目标导航

第三章

导数及其应用

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考 纲 要 求 1 . 了 解 导 数 概 念 的 实 际 背 景 . 2. 理 解 导 数 的 几 何 意 义 . 3.(文)能 根 据 导 数 定 义 , 求 函 数 1 为 常 数 ),y=x,y=x2,y=x 的 导 数 . (理 )能 根 据 导 数 定 义 , 求 函 数 y =c ( c 为 常 1 数),y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y= x的 导 数 . 4. (文)能 利 用 给 出 的 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 求 简 单 函 数 的 导 数 . (理 )能 利 用 给 出 的 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 求 简 单 函 数 的 导 数 , 能 求 简 单 的 复 合 函 数 复 合 函 数 )的 导 数 . (仅 限 于 形 如 f (a x +b)的 y=c(c

命 题 分 析 由 高 考 试 题 统 计 分 析 可 知 , 主 要 是 以 导 数 的 运 算 为 工 具 , 考 查 导 数 的 几 何 意 义 为 主 , 最 常 见 的 问 题 就 是 求 过 曲 线 上 某 点 的 切 线 的 斜 率 、 方 程 、 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 , 以 平 行 或 垂 直 直 线 斜 率 间 的 关 系 为 载 体 求 参 数 的 值 , 以 及 与 曲 线 的 切 线 相 关 的 计 算 题 . 考 查 的 题 型 以 选 择 题 、 填 空 题 为 主 , 多 为 容 易 题 和 中 等 难 度 题 . 预 测 2 0 1 6 年 高 考 在 保 持 稳 定 的 基 主 , 考 查 内 .
第三章 导数及其应用

础 上 可 能 对 条 件 的 设 置 情 景 进 行 创 新 , 考 查 方 式 仍 然 会 以 客 观 题 为 容 以 导 数 的 运 算 公 式 和 运 算 法 则 为 基 础 , 以 导 数 的 几 何 意 义 为 重 点

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课前自主导学

第三章

导数及其应用

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1 .导 数 的 概 念 ( 1 ) 函 数 y=f(x)在 x=x0 处 的 导 数 ①定 义 : 称 函 数 y=f(x)在 x=x0 处 的 瞬 时 变 化 率 Δy f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx lim_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Δx _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ 为 函 数 y=f(x)在 x=x0 处 的 导 → Δ x 0 Δx→0 Δy 数 , 记 作 f ′(x0)或 y′|x=x0,即 f ′(x0)= lim Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx → =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Δ x 0

第三章

导数及其应用

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②几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上 (x0,f(x0)) 处的____________( 切线的斜率瞬时速度就是位移函数s(t)对 点___________ y-f(x0)=f ′(x0)(x-x. 时间t的导数).相应地,切线方程为___________________ 0)

(2)函数f(x)的导函数 f?x+Δx?-f?x? lim Δx 为f(x)的导函数. 称函数f ′(x)=_______________ Δx→0

第三章

导数及其应用

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2.基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)=c(c 为常数) f(x)=x (n∈Q+) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx
n

导函数

0 f ′(x)=____
n-1 nx f ′(x)=____

cosx f ′(x)=______ -sinx f ′(x)=______
1 f ′(x)=cos2x

第三章

导数及其应用

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原 函 数 f(x)=c o t x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=o lg ax f(x)=lnx

导 函 数 f ′( x) = -s n i 2x
xlna a f ′ ( x ) =_ _ _ _ _ _

1

ex f ′ ( x ) =_ _ _ _ _ _ 1 f ′ ( x ) =_ _ _ _ _ _a x ln 1 f ′ ( x ) =_ _ _ _ _ _x

第三章

导数及其应用

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3 .导 数 的 运 算 法 则

f ′_ (x)±g′(x ) _ ( 1 ) [ f(x)± g(x)]′=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; f ′( g(x)_ + f(x)· g′( x_ )_ ( 2 ) [ f(x)· g(x) ] ′ =_ _ _ _ _ _ _ _ _x)· _ _ _ _ _ _ __ _;
f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f ? x? (g(x)≠0) _ 2_ ( 3 ) [ ]′=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . g ? x? g?x?

第三章

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4.复合函数求导的运算法则(理) 一般地,设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y= f(u) 在u处有导数 y′u =f ′(u) ,则复合函数 y =f(φ(x)) 在点 x处也有 y ′u · u′x f ′(u)· φ′(x) 导数,且y′ =_________= ________________.
x

f ′(u)φ′(x) 复 合 函 数 y = f(ax + b) 的 导 数 为 (f(u))′ = ____________ = af ′(ax+b) ___________.

第三章

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1.(文)下 列 求 导 过 程 1 1 1 ①( x)′=-x2;②( x)′= ; 2 x lnx 1 ③o ( lg ax)′=(lna)′=xlna;④(ax)′=axlnA. 其中正确的个数是( A.1 C.3 [ 答案] ) B.2 D.4

D 这 4 个求导公式都正确.
第三章 导数及其应用

[ 解析]

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(理)下 列 函 数 求 导 运 算 正 确 的 个 数 为
x x

(

)

1 x x ①(3 )′=3 o lg 3e;②o ( lg 2x)′=xn ;③ (e ) ′= e ; l · 2 1 ④(lnx)′=x;⑤(x· ex)′=ex+1 . A.1 C.3 B.2 D.4

[ 答案] [ 解析]

B 求 导 运 算 正 确 的 有 ②③2 个,故选 B.

第三章

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2 . (2015· 淄博模拟 ) 已知函数 f(x) = ax2 + 3x - 2 在点 (2 ,
f(2))处的切线斜率为7,则实数a的值为( A.-1 C.±1 [答案] B B.1 D.-2 )

[解析]

因为f′(x)=2ax+3,所以由题意得2a×2+3=7,

解得a=1.故选B.

第三章

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3.(文)一 质 点 沿 直 线 运 动 , 如 果 由 始 点 起 经 过 13 32 为 s=3t -2t +2t, 那 么 速 度 为 零 的 时 刻 是 A.0 s C.2 s 末 [ 答案] D
[解 析]

ts 后 的 位 移 ( )

B.1 s 末 D.1 s 末 和 2 s 末

13 32 ∵s=3t -2t +2t,

∴v=s′(t)=t2-3t+2. 令 v=0, 得 t2-3t+2=0,t1=1,t2=2 .

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(理)若 函 数 f(x)=2x2-1 的 图 像 上 一 点 Δy Δ x , 1+Δy), 则 Δx等 于( A.4 C.4+2Δx ) B.4x D.4+2Δx2

( 1 1 ,)

及 邻 近 一 点

(1+

[ 答案] C [ 解析 ] ∵ Δy = f(1 + Δx) - f( 1 ) =2 ( 1 + Δx)2 - 1 - 1 = 4Δx +
Δy 2(Δx) ,∴Δx=4+2Δx.
2

第三章

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4.(文)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为(
A.y=3x-1 C.y=3x+5 [答案] A [ 解析 ] B.y=-3x+5 D.y=2x

)

该题考查导数的几何意义,注意验证点在曲线

上.
y′=-3x2+6x在(1,2)处的切线的斜率k=-3+6=3, ∴切线方程为y-2=3(x-1).即y=3x-1.

第三章

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(理)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+
1=0,则( ) B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 [答案] A

[解析]
义.

本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意

y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1, 将(0,b)代入切线方程得b=1.

第三章

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5 . ( 文 )( 教 材 改 编 题 ) 已 知 f(x) = (2x + 1)2 , 则 f ′(x) = ________. [答案] 8x+4 [解析] ∵f(x)=(2x+1)2=4x2+4x+1,

∴f ′(x)=8x+4.

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(理)如 图 , 函 数 的 坐 标 分 别 为 ( 0 4 ,)

f(x)的 图 像 是 折 线 段 ,( 2 0 ,) ,( 6 4 ,)

ABC, 其 中

A,B,C
Δx→0

,则 f(f( 0 ) = ________ ; lim

f?1+Δx?-f?1? =________(用数字作答). Δx

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[答案] 2

-2

[ 解析]

∵f(0)=4,∴f(f(0))=f(4)=2.

由导数的几何意义可知 f?1+Δx?-f?1? 4-0 lim =kAB= =-2. Δx 0 - 2 Δx→0

第三章

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6.(文)(2014·江西高考)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行
于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________. [答案] (e,e) [解析] 本题主要考查求导公式及导数的几何意义,∵y= xlnx , ∴ y′ = lnx + 1 ,设 P(x0 , y0) , ∵ P 处的切线平行于直线 2x

-y+1=0,∴y|x=x0=lnx0+1=2,∴x0=e,将x0=e代入y=
x·lnx得y0=e,∴P点坐标为(e ,e),解答本题的关键在于掌握 曲线在某点处的切线斜率为此点处的导数值.

第三章

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( 理 )(2014· 江西理, 13) 若曲线 y = e - x 上点 P 处的切线平行
于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________. [答案] (-ln2,2) [解析] 本题考查导数的几何意义. 依题意,设P点为(x0,y0),又y′=-e-x,

所以y′|x=x0=-e-x0=-2,
解得x0=-ln2,y0=2,即P(-ln2,2).

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课堂典例讲练

第三章

导数及其应用

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根据导数的定义求函数的导数

f?x?-3 (文)已知 f′(x)=2,f(2)=3,则lim +1 x-2 x→2 的值为( A.1 C.3 [ 规范解答] ) B.2 D.4 令 Δx=x-2,

f?x?-3 f?Δx+2?-f?2? 则lim +1= lim +1 Δx x -2 x→2 Δx→0 =f ′(2)+1=2+1=3.
[ 答案] C
第三章 导数及其应用

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(理)用 导 数 的 定 义 求 函 数

1 y=f(x)= 在 x=1 处的导数. x

[ 思路分析]

利 用 导 数 的 定 义 求 函 数 在 某 一 点 处 的 导 数 ,

Δy 其关键是约去Δx的解析式中同时使分子、分母为零的因式.
[ 规范解答] ∵Δy=f(1+Δx)-f( 1 ) -Δx 1 1 1- 1+Δx = -1= = 1+Δx 1+Δx 1+Δx· ?1+ 1+Δx?

第三章

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Δy 1 ∴Δx=- , 1+Δx?1+ 1+Δx? Δy 1 1 ∴ lim Δx= lim [- ]=-2, 1+Δx?1+ 1+Δx? Δx→0 Δx→0 1 ∴f′( 1 ) =-2.

第三章

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[方 法 总 结 ] 本 方 法 . 确 定

1 .根 据 导 数 的 概 念 求 函 数 的 导 数 是 求 导 的 基

y=f(x)在x=x0处 的 导 数 有 两 种 方 法 : 一 是 导 数 的

定 义 法 , 二 是 导 函 数 的 函 数 值 法 . 2. 求 函 数y=f(x)在x=x0处 的 导 数 的 求 解 步 骤 :

第三章

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设函数f(x)在x0点 可 导 , 则 下 列 极 限 等 于 f?x0-Δx?-f?x0? A. lim Δx Δx→0 f?x0?-f?x0-Δx? C. lim Δx Δx→0

f ′(x0)的是(

)

f?x0+3Δx?-f?x0? B. lim Δx Δx→0 f?x0?-f?x0+Δx? D. lim Δx Δx→0

[ 答案]

C

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[解 析]

解法1: 令 x0-Δx=x′0,

则 当 Δx→0时 , x′0→x0, f?x′0+Δx?-f?x′0? ∴ lim =f ′(x′0)=f ′(x0). Δ x Δx→0 f?x0?-f?x0-Δx? 解 法 2: lim Δx Δx→0 f?x0+?-Δx??-f?x0? = lim =f ′(x0). - Δ x -Δx→0

第三章

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导数公式及运算法则

求下列函数的导数: 1 5 4 3 (1)(文)y=5x -3x +3x2+ 2;(理)y=(3x3-4x)(2x+1); x x x x (2)y= ; (3) y = 3 e - 2 +e; 2 1-x+x lnx (4)(文)y= 2 ;(理)y=ln x2+1; x +1 (5)(理)y=cos32x+ex.

[ 思路分析]

可利用导数公式和导数运算法则求导.
第三章 导数及其应用

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[ 规范解答]

( 1 ) (

?1 5? ?4 3? 文 )y′ = ?5x ? ′ - ?3x ? ′ + (3x2)′ + ? ? ? ?

( 2)′=x4-4x2+6x. (理)∵y=(3x3-4x) ( 2 x+1 ) =6x4+3x3-8x2-4x, ∴y′=2 4 x3+9x2-1 6 x-4, 或 y′=(3x3-4x)′(2x+1 ) +(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4 ) ( 2 x+1 ) +(3x3-4x2 ) · =2 4 x3+9x2-1 6 x-4 .

第三章

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x′?1-x+x2?-x?1-x+x2?′ ( 2 ) y′= ?1-x+x2?2 ?1-x+x2?-x?-1+2x? 1-x2 = = . ?1-x+x2?2 ?1-x+x2?2 ( 3 ) y′=(3xex)′-(2x)′+( e ) ′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xn l3 e · =n ( l3 +1 ( 3 ) · e )
x x

+3xex-2xn l2

-2xn l2 .

第三章

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?lnx?′?x2+1?-lnx· ?x2+1?′ ( 4 ) (文)y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-lnx· 2x x2+1-2x2n l ·x x· = = . ?x2+1?2 x?x2+1?2
?1 ? 1 1 2 ? ? (理)y′= 2ln?x +1? ′=2·2 · (x2+1 ) x +1 ? ?



x = 2 . x +1 ( 5 ) ( 理)y′=3 c o s = -6 s n i2 xc · o s
2 2

2x( c · o s 2

x)′+ex

2x+ex.
第三章 导数及其应用

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[ 方法总结 ]

( 文理 ) 一般来说,分式函数求导,要先观察

函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对 数函数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先 利用三角函数公式转化为和或差的形式. (理)复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里

求导.每次求导都针对最外层,直到求到最里层为止.所谓最
里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行 求导.

第三章

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1 1 ( 1 ) y=(x+1 ) ( x+2 ) ( x+3);( 2 ) ( 文)y= + ; 1- x 1+ x x? c o s (理)y=-s n i 2?1-2 ?
x ? e +1 x 2 ?;( ) y= x ; 4? 3 e -1

( 4 ) ( 文)y=xc o s x-s n i x;(理)y=n l( 3 x-2)+e2x-1.
[ 解析] ( 1 ) ∵y=(x2+3x+2 ) ( x+3)

=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+1 1 .
第三章 导数及其应用

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1+ x+1- x 1 1 2 ( 2 ) ( 文)y= + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x
? 2 ? -2?1-x?′ 2 ? ? y′=?1-x?′= = 2 2. ?1-x? ?1-x? ? ?

x? 1 x? o s 2?= s (理)∵y= -s n i 2?-c n i x, 2 ? ?
?1 n i ∴y′=?2s ? ? 1 x?′= c o s 2 ?

x.

第三章

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?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ ( 3 ) y′= ?ex-1?2 ex· ?ex-1?-?ex+1?· ex -2ex = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2 ( 4 ) ( 文)y′=(xc o s x)′-( s n i x)′=c o s x-xsinx-c o s x =-xs n i x.

第三章

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(理)y′=n [ l( 3 =n [ l( 3

x-2)+e2x 1] ′



x-2 ) ] ′+(e2x-1)′

1 = ( 3 · x-2)′+e2x-1( 2 · x-1)′ 3x-2 3 = +2e2x-1. 3x-2

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导数的几何意义 (1) 曲 线 y = x3 - x + 3 在 点 (1,3) 处 的 切 线 方 程 为 ________________.

(2) 若 过 原 点 作 曲 线 y = ex 的 切 线 , 则 切 点 的 坐 标 为
________,切线的方程为________________. [思路分析] (1)点(1,3)是切点,求出斜率即可; (2)点(0,0)不是切点,应设出切点坐标,再求切线方程.

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[规 范 解 答 ] ∴切 线 的 斜 率 ∴切 线 方 程 为
x

( 1 ) 由 y=x3-x+3 得 y′=3x2-1, k=y′|x=1=3×12-1=2, y-3=2 ( x-1 ), 即 2x-y+1=0 . y0 ex0 (x0,y0)则x =ex0,即 x =ex0, 0 0 e, 故 切 线 方

( 2 ) y′=e , 设 切 点 的 坐 标 为 ∴x0=1 .因 此 切 点 的 坐 标 为

(1,e), 切 线 的 斜 率 为

程 为 y-e=e(x-1 ) ,即 ex-y=0.

[ 答案]

( 1 ) 2 x-y+1=0 ( 2 ) ( 1

,e) ex-y=0

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[方法总结]

解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目

所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线 方程”,然后求某点处的斜率,用点斜式写出切线方程.

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(1)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e B. 2 1 D.e

)

[答案] A
[ 解析]
? ? ?

本题主要考查导数的意义.

x? e y′= ??′=ex,所以 k=e0=1.

第三章

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(2) 与直线 2x - y + 4 = 0 平行的抛物线 y = x2 的切线方程是
( ) A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 [答案] D B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0

[解析] 直线2x-y+4=0的斜率为k=2.
由y=x2得y′=2x,令2x=2,得x=1.所以切点为(1,1), 斜率 k =2,则所求切线为 y - 1 = 2(x - 1) ,即 2x -y - 1 = 0 为所求.

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切线方程的综合应用 设抛物线C1:y=x2-2x+2与抛物线C2:y=-x2+ ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直.

(1)求a,b之间的关系;
(2)若a>0,b>0,求ab的最大值. [思路分析] 出等式关系. 由交点坐标得出两切线的斜率,利用垂直得

第三章

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[规 范 解 答 ] 由 题 意 知

( 1 ) 设 两 抛 物 线 的 交 点 为

M(x0,y0),

2 x2 - 2 x + 2 =- x x 0+b, 0 0 0 +a

整 理 得 2x2 0-(2+a)x0+2-b=0, 由 导 数 可 知 抛 物 线 C1、C2 在 交 点 M处 的 切 线 斜 率 为

① k1 =

2x0-2,k2= - 2x0+A. ∵两 切 线 垂 直 , ∴k1k2= -1 .

即(2x0-2 ) ( -2x0+a)=-1, 整 理得2 [ 2 x2 0-(2+a)x0]+2a-1=0, 5 联 立 ①、②消 去 x0,得 a+b=2.
第三章 导数及其应用



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5 ( 2 ) 由( 1 ) 知 a+b=2, 又 a>0,b>0, a+b 2 5 1 2 2 5 ∴a b ≤( 2 ) =(2×2) =1 6. 当 且 仅 当 5 a=b=4时 取 等 号 , 2 5 1 6.

故a b 的 最 大 值 为

[ 点评]

对 于 函 数 值 相 等 即

①式不易想到.

第三章

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1 (文)函数 y=lnx(x> 0 ) 的图像与直线 y=2x+a 相 切 , 则 于( ) A.2 n l2 C.n l2 B.n l2 +1 D.n l2 -1

a等

[ 答案]

D

第三章

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[ 解析]

1 1 1 设 切 点 为 (x0 , y0 ) , 且 y′=x , ∴y′|x=x0=x =2, 0

1 则 x0=2,y0=n l2 . 又点(2,n l2 ) 在 直 线 y=2x+a 上, 1 ∴n l2 =2×2+a,∴a=n l2 -1.

第三章

导数及其应用

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(理)已 知 函 数

f(x)= x,g(x)=alnx,x∈R.若曲线 y=f(x) a 的值及该

与曲线 y=g(x)相 交 , 且 在 交 点 处 有 相 同 的 切 线 , 求 切线的方程.
[解 析] 1

a f ′(x)= ,g′(x)=x(x> 0 ) , 由 已 知 得 : 2 x

? x=alnx ? 1 ? 1 , 解 得 a=2e,x=e2. a =x ? ?2 x

第三章

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∴两条曲线交点的坐标为(e2,e), 1 切线的斜率为 k=f ′(e )=2e,
2

1 所以切线的方程为 y-e=2e(x-e2), 即 x-2ey+e2=0.

第三章

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混淆“过某点”与“在某点”而致误 求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.

[ 错解]

f ′(x) = 3x2 - 6x + 2 ,设切线的斜率为 k ,则 k =f
本题的错误在于把求过点P的切线方程,当作

′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x,即2x-y=0. [错因分析] 在P点处的切线方程问题处理了.

第三章

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[正 确 解 答 ]

f ′(x)=3x2-6x+2 .设 切 线 的 斜 率 为 k=f ′( 0 ) =2, y=2x, 即 2x-y=0 . (x0,y0),

k.

( 1 ) 当 切 点 是 原 点 时 , 所 以 所 求 曲 线 的 切 线 方 程 为

( 2 ) 当 切 点 不 是 原 点 时 , 设 切 点 是

2 2 则 有 y0=x3 0-3x0+2x0,k=f ′(x0)=3x0-6x0+2,①

y0 2 又 k=x =x0-3x0+2, 0



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3 y0 1 由①②得 x0=2,k=x =-4. 0 1 ∴所求曲线的切线方程为 y=-4x,即 x+4y=0. 综上所述,过原点的切线方程为 2x-y=0 和 x+4y=0.

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[误区警示]

(1)利用导数的几何意义求切线方程时,应注

意题目的叙述过程:若“求在曲线上某一点处的切线方程”, 则表明该点在曲线上,并且该点即为切点;若“求过某点的曲 线的切线方程”,则该点不一定为切点,也不一定在曲线上, 采用的方法也有别于第一种情况.

(2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与
曲线只有一个公共点,则直线不一定是曲线的切线;同样,直 线是曲线的切线,则直线也可能与曲线有两个或两个以上公共 点.

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一个区别 曲线 y = f(x)“在”点 P(x0 , y0) 处的切线与“过”点 P(x0 ,

y0)的切线的区别:
曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,若切线斜 率存在时,切线斜率为k=f ′(x0),是唯一的一条切线;曲线y= f(x) 过点 P(x0 , y0) 的切线,是指切线经过 P 点,点 P 可以是切 点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

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(文)两个防范 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防 止与乘法公式混淆. (2)要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点

的区别.

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三 个 概 念 函 数 在 点 x0 处 的 导 数 、 导 函 数 、 导 数 在 x0 处 的 值 x而 言 的 . 函 数 (a,b)内的每 f ′(x0), 根 据 函 数 ( 1 ) 函 数 在 一 点 处 的 导 数 f ′(x0)是 一 个 常 数 , 不 是 变 量 .

( 2 ) 函 数 的 导 数 , 是 针 对 某 一 区 间 内 任 意 点 f(x)在区间(a,b)内 每 一 点 都 可 导 , 是 指 对 于 区 间 一 个 确 定 的 值 的 定 义 , 在 开 区 间 数 f(x)的 导 函 数 x0 , 都 对 应 着 一 个 确 定 的 导 数 f ′(x).

(a,b)内就构成了一个新的函数,也就是函 f ′(x0)就 是 导 函 数
?

( 3 ) 函 数 y=f(x)在点 x0 处 的 导 数 在 点 x =x 0 处 的 函 数 值 , 即

f ′(x)

f ′(x0)=f ′(x)? ?x=x0 .
第三章 导数及其应用

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(理)两种法则
(1)导数的四则运算法则. (2)复合函数的求导法则. 三个防范 (1) 利用公式求导时要特别注意商的导数公式中分子的符

号,防止与积的导数公式混淆.
(2)要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点 的区别. (3)正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不 重不漏.
第三章 导数及其应用

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第三章

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