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(经典1)高一数学下学期期末考试试题

金山中学 2016 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷

(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一、填空题(本大题共 12 小题,满分 54 分,其中 1~6 题每题 4 分,7~12 题每题 5 分)考生应在答题纸相应编号

的空格内直接填写结果.

?

?

?

1. 已知向量 a ? (2, m), b ? (?1,1) ,若向量 a 与 b 垂直,则 m 等于_______.

2. 不等式 2x ?1 ? 0 的解为 ___ . x ?1

3. 已知 tan? ? 2,? 是第三象限角,则 sec? ?



4.方程 log 2 (1 ? 2 x ) ? ?1的 解 x ? __________.

5.函数 f (x) ? arccos x( 1 ? x ?1) 的值域是

.

2

6.若点 (4,2) 在幂函数 f (x) 的图像上,则函数 f (x) 的反函数 f ?1 (x) =

.

7.

数列 ?an ?的通项 an

? n ? sin n? 2

,前 n 项和为 S n ,则 S13

?



? ? ? ? 8.若数列

an

满足 2an?2

?

an

?

0 ( n ? N? ),且 a1

? 1, a2

?

1 2

, lim n??

a1 ? a2 ?

? an ? __.

9.设 f ? x? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1), f ? x? ? log1 ?1? x? ,则函数 f ? x? 在 (1, 2) 上
2

的解析式是 f (x) ?



10.在 ?ABC中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,下列命题正确的是_____________.
①总存在 某个内角? ,使 得 cos? ? 1 ; 2
②存在某 钝角 ?ABC,有 tan A ? tan B ? tanC ? 0 ; ③若 2a ? BC ? b ? CA ? c ? AB ? 0 ,则 ?ABC的最小角小于 ? .
6 11.如图,在直角梯形 ABCD中, AB // CD , AB ? 2, AD ? DC ? 1, P

是线段

BC 上一动点,Q 是线段 DC 上一动点,DQ ? ? DC, CP ? (1? ?)CB, 则

AP? AQ

的最大值为________.

12.设数列 {an} 是首项为

0

的递增数列,函数

f

n

(x)

?

|

sin

1 n

(

x

?

an

)

|

,

x

?[

an

,

an?1]





















m ?[0,1) , fn (x) ? m 总有两个不同的根,则{an}的通项公式是 an ?



二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应

编号上将代表答案的小方格涂黑.
13.已知非零向量 a 、 b ,“函数 f (x) ? (ax ? b)2 为偶函数”是“ a ? b ”的 ( )

-1-

A.充分非必要条件 C. 充要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

14.将函数 f (x) ? cos?x (其中 ? ? 0 )的图象向右平移 ? 个单位,若所得图象与原图象重合,则 f ( ? ) 不可能

3

24

等于

()

A. 0

B.1

C. 2 2

D. 3 2

15.已知各项均不为零的数列 {an} ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) , bn ? (n, n ?1) , n ? N* . 下列命题中真命题是

(

)

A.若对任意的 n ? N* ,都有 cn // bn 成立,则数列{an} 是等差数列 B.若对任意的 n ? N* ,都有 cn // bn 成立,则数列{an} 是等比数列 C.若对任意的 n ? N* ,都有 cn ? bn 成立,则数列{an} 是等差数列 D.若对任意的 n ? N* ,都有 cn ? bn 成立,则数列 {an} 是等比数列

16.函数 f (x) ? x3 ? arctan x 的定义域为 R,数列?an?是公差为 d 的等差数列,若

a1009 ? ?1 , m ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2016 ) ? f (a2017 ) ,则 (



A. m 恒为负数

B. m 恒为正数

C.当 d ? 0 时, m 恒为正数;当 d ? 0时, m 恒为负 数 D.当 d ? 0 时, m 恒为负数;当 d ? 0时, m 恒为正数

三、解答题(本大题共 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题 满分 8 分.

已知| a |? 3 ,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为1200 .

(1)求 b 在 a 上的投影;

(2)求| 2a ? 3b | .
解:

18.(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 8 分,第二小题满分 6 分.
已知向量 m ? (sin(2x ? ? ) , sin x) , n ? (1, sin x) , f (x) ? m ? n . 6
(1)求函数 y ? f (x) 的最小正周期及单调递减区间;
-2-

(2)记△ ABC的内角 A , B ,C 的对边分别为 a , b, c .若 f ( B ) ? 2 ? 1 ,

2

2

b ? 5, c ? 3 ,求 a 的值.
解:

19.(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 8 分,第二小题满分 6 分.

已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1 ,等差数列?bn? 满足 b3 ? 3, b5 ? 9 .

(1)分别求数列?an? ,?bn?的通项公式;

(2)若对任意的

n?

N*



(Sn

?

1)?k 2

?

bn

恒成立,求实数 k

的取值范围.

解:

20.(本题满分 16 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 8 分,第二小题满分 8 分.

如图,在四边形 ABCD中,已知 ?ABC ? 2 ? ,?ACD ? ? , ?BAD ? ? , AD ? 24,

3

3

2

设 ?BAC ?? ( ? ? ? ? ? ) .

12

6

C

(1)求 AB (用? 表示);
B
(2)求 AB ? BC 的最小值.(结果精确到 0.01米)
-3-

解:
21.(本题满分 18 分)本题有 3 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 6 分, 第二小题满分 8 分.
给定常数 c ? 0 ,定义函数 f (x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |.数列 a1 , a2 , a3 ,…满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . (1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ; (2)求证:对任意 n ? N *, an?1 ? an ? c ; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , a3 ,…, an …成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ;若不存在,说明理
由. 解:
-4-

金山中学 2016 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案

一、填空题

4. 2

2 . ?1 ? x ? 1 2

3. ? 5

4. ? 1

5. (0,? ) 6. x2 ( x ? 0 ) 3

7. 7

8.1

9. log 1 ?x ?1?

10.①③ 11. 2

12. n(n ?1)? 2

2

二、选择题

13.C

14.D

15.A

1 6.A

三、解答题
17. 解: (1) ? 2

(2) 6 3

18. 解:(1) f (x) ? 3 sin 2x ? 1 ,

2

2

最小正 周期为 ? ,单调递减区间为[k? ? ? , k? ? 3?],k ? Z ;

4

4

(2) a ? 1 ? 3 或 a ? ?1 ? 3 .

19. 解:(1)由 an?1 ? 2Sn ?1 ----①得当 n ? 2 时 an ? 2Sn?1 ?1----②,

① ? ②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1) ,? an?1 ? 3an , ;

当 n ?1 时 a2 ? 2a1 ?1 ? 3 ? 3a1 , ? an ? 3n?1

b5 ? b3 ? 2d ? 6,?d ? 3,?bn ? 3 ? (n ? 3)? 3 ? 3n ? 6 ;

(2) Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

1? 3n ?
1?3

?

3n ?1 , 2

3n ?1 1 ?( ? )k
22

? 3n ? 6 对 n ? N* 恒成立,

即? k

?

2

3n ? 3n

6



n

?

N

*

恒成立,

令 cn

?

2

3n ? 6 3n

, cn

? cn?1

?

3n ? 6 3n

?

3n ? 9 3n?1

?

?2n ? 7 3n



当 n ? 3 时, cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn?1 ,

?(cn )max

?

c3

?

2 9

,k

?

2 9



-5-

20. 解:(1)三角形 ACD 中, ?CDA ? ? ? ? , 6

由 AD ? AC ,得 AC ? AD ?sin ?CDA ? 16 3 sin(? ? ? )

sin ?ACD sin ?CDA

sin ?ACD

6

三角形 ABC 中, ?ACB ? ? ?? 由 AB ? AC ,得

3

sin ?ACB sin ?ABC

AB ? 32sin(? ? ? )sin(? ?? )( ? ? ? ? ? )

6 3 12

6

(2)三角形 ABC 中,

由 BC ? AC ,得 sin ?BAC sin ?ABC

BC ? AC ?sin ?BAC ? 32sin(? ? ? )sin?

sin ?ABC

6

所以 AB ? BC ? 32sin(? ? ? )sin(? ?? ) ? 32sin(? ? ? )sin?

63

6

? 16sin 2? ? 8 3

因为 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2? ? ?

12

6

6

3

所以当? ? ? 时, AB ? BC 取得最小值 8 ? 8 3 ? 21.86 12

最 小值约为 21.86 米.

21. 解:( 1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 , a3 ? f (a1) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ?10 (2)要证明原命题,只需证明 f (x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,
f (x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c 即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | +x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | +x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | +x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f (x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N* , an?1 ? an ? c (3)由(2)知,若{an}为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增 大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8
-6-

即d ?c?8 故 a2 ? f (a1) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8, 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时{an}为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则| a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8, , an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意; 综上,满足题意的 a1 的取值范围是[?c, ??) ?{?c ? 8} 。
-7-