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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性课件


§2.3 函数的奇偶性与周期性

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时训练

基础知识

自主学习

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性
偶函数

定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,

图象特点
关于 y轴 对称

都有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 奇函数 关于 原点 对称 都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数

2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取
定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数 y = f(x) 为

周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数,

那么这个 最小正数

就叫做f(x)的最小正周期.

知识拓展 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶× 偶=偶,奇×偶=奇.

2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a(a>0). f?x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a(a>0). f?x?

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ ) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周 期函数.( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ ) (5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )

考点自测

1.(教材改编)下列函数为偶函数的是

答案

解析

A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x

C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),

∴f(x)为偶函数.

2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为
答案 解析

A.-1

B.0

C.1

D.2

∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
又f(x+4)=f(x),∴f(8)=f(0)=0.

3.(2016· 嘉兴教学测试一 )已知奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2(x+3), -2 则f(-1)=________. 答案 ∵f(1)=log2(1+3)=2, 又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2.
解析

4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1

x(1-x) +x),则当x<0时,f(x)=________. 答案
当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).

解析

又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x).

题型分类

深度剖析

题型一 判断函数的奇偶性 例1 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 答案
解析

A.y= 1+x 1 C.y=2 + x 2
x

2

1 B.y=x+ x D.y=x+e
x

选项A中的函数是偶函数; 选项B中的函数是奇函数; 选项C中的函数是偶函数; 选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.

2 ? ?x +x,x<0, (2)判断函数 f(x)=? 2 的奇偶性. 解答 ? ?-x +x,x>0

当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x,
∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x

=-(-x2+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x,

∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x
=-(x2+x)=-f(x).

∴对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).
∴函数f(x)为奇函数.

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤

思维升华

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨

论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关
系,得出结论,也可以利用图象作判断.

跟踪训练1 (1)(2016· 北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是
答案 解析

1 A.y= x C.y=(x-1)2

B.y=lg|x| D.y=2x

选项 B 中,函数 y = lg|x| 的定义域为 {x|x≠0} 且 lg| - x| = lg|x| ,所以
函数y=lg|x|是偶函数.

2x-1 奇 (2)(2016· 余姚模拟)函数 g(x)= x 为________ 函数(填“奇”或“偶”), 2 +1 2 (0,2) 函数 f(x)= x +1 的对称中心为________. 2 +1
答案 解析

2x-1 易知函数 g(x)= x 为奇函数,图象关于原点对称, 2 +1
2 又 f(x)= x +1=-g(x)+2, 2 +1

所以函数f(x)的对称中心为(0,2).

题型二 函数的周期性 例2
答案

(1)(2016· 绍兴模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在
解析

R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 017)+f(2 019)的值为 A.-1 D.无法计算

B.1

C.0

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=- 1 ,当2≤x≤3时, f?x? 2.5 f(x)=x,则f(105.5)=______. 答案 解析

由已知,可得f(x+4)=f [(x+2)+2]

1 1 =- =- 1 =f(x). f?x+2? - f?x?
故函数的周期为4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5.

引申探究

1 例2 (2)中,若将f(x+2)=- 改为f(x+2)=-f(x),其他条件不变,则 f?x?
2.5 . 答案 f(105.5)=_____
解析

f(x+4)=f[(x+2)+ 2]=-f(x+2)=f(x),

∴函数的周期为4(下同例题).

思维升华

函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 .对函数周期性的考查,
主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.

跟踪训练2

定义在 R上的函数f(x) 满足f(x+ 6)=f(x),当-3≤x<-1 时,

f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 018)

339 =________. 答案

解析

题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题 例3 (1)(2016· 温州模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, 1 则满足f(2x-1)<f( )的x的取值范围是 答案 解析 3 1 2 1 2 A.(3,3) B.[3,3)

1 2 C.(2,3)

1 2 D.[2,3)

2a-3 (2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)= , a+1 则实数a的取值范围为 答案 解析
A.(-1,4) C.(-1,0) B.(-2,0) D.(-1,2)

∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,

∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),

2a-3 2a-3 a-4 ∵f(1)<1,f(5)= ,∴ <1,即 <0, a+1 a+1 a+1 解得-1<a<4,故选A.

命题点2 求参数问题

2 例4 (1)(2016· 北京西城区模拟)函数f(x)=lg(a+ )为奇函数, 1+x 答案 解析 -1 则实数a=_____. 2 根据题意得,使得函数有意义的条件为a+ >0且1+x≠0,由奇函数 1+x 的性质可得f(0)=0.
所以lg(a+2)=0,即a=-1,经检验a=-1满足函数的定义域.

(2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[ -1,1] 上,f(x)=
?ax+1,-1≤x<0, ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

其中 a,b∈R.若 f

?1? ? ? ? ? ?2?

=f

?3? ? ? ? ?,则 ?2?

a+3b 的值为

-10 答案 _____.

解析

思维升华
(1) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和
周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

(2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便.
①f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|);

②若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.

3 -2 跟踪训练3 (1)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.
答案 解析

函数f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数, 故f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,

1+e 1+e 2ax 化简得 ln 3x 6x=2ax=ln e ,即 3x 6x=e2ax, e +e e +e
3x 3x

整理得 e +1=e
3x

2ax+3x

3 (e +1),所以 2ax+3x=0,解得 a=-2.
3x

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是 增函数,则 答案 A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)
解析

高频小考点1

抽象函数问题

考点分析

抽象函数问题在高考中也时常遇到,常常涉及求函数的定义域,由函数的 周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现,有 时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象,易失分,应引起足够重视.

f?x2-1? 典例1 已知函数y=f(x)的定义域是[0,8],则函数g(x)= 2-log2?x+1? [1,3) 的定义域为________. 答案 解析

一、抽象函数的定义域

二、抽象函数的函数值

典例2 若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=
对任意x∈R恒成立,则f(2 019)等于 答案
解析

1 , f ?x ?

A.4

B.3

C.2

D.1

三、抽象函数的单调性与不等式 典例3 设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+

f(y).若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求实数a的取值范围. 规范解答

课时训练

1.(2016· 嘉兴高三上学期期末)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞) 上为增函数的是 答案 A.y=ln x C.y=x2



B.y=x3 D.y=sin x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2.已知 f(x)=ax3+b 值为
答案

3

x+4(a,b∈R),f[lg(log32)]=1,则

f[lg(log23)]的

解析

A.-1

B.3

C.7 √

D.8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

3.已知f(x)在 R上是奇函数,且满足f(x+ 4) = f(x),当 x∈ (- 2,0) 时, f(x) =2x2,则f(2 019)等于 答案 A.-2 B.2 √
解析

C.-98

D.98

由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4 的周期函数,f(2 019)=f(504×4+3) =f(3), 又f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1), 由-1∈(-2,0)得f(-1)=2, ∴f(2 019)=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4.已知f(x)=lg(
答案 解析

2 +a)为奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是 1-x
B.(-1,0) √

A.(-∞,0) C.(0,1)

D.(-∞,0)∪(1,+∞) 2 2 由 f(x)+f(-x)=0,即 lg( +a)+lg( +a) 1-x 1+x

?2+a?2-a2x2 =lg =lg 1=0,可得 a=-1, 2 1-x 1+x 1+x 所以 f(x)=lg ,解 0< <1, 1-x 1-x
可得-1<x<0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

? π ?cos x?0<x≤8?, 6 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=? ? ?log2x?x>8?,

则f(f(-16))等于
1 A.- 2

答案

解析

3 B.- 2


1 C. 2

3 D. 2

由题意f(-16)=-f(16)=-log216=-4,

4π 1 故 f(f(-16))=f(-4)=-f(4)=-cos = . 6 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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*6.(2016· 天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上 单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)>f(- 2),则 a 的取值范围是 答案
? 1? ? A.?-∞,2? ? ? ? ? ?3 ? 1? ? ? ? B.?-∞,2?∪?2,+∞? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? D.?2,+∞? ? ?

解析



?1 3? ? ? C.?2,2? ? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2 ? ?x +2x+1,x>0, ? 7.(2016· 宁波高三上学期期末 ) 若函数 f(x)=?a,x=0, ? ? ?g?2x?,x<0

为奇函

0 -25 数,则 a=________ ,f(g(-2))=________. 答案 ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=0,

解析

又g(-2)=f(-1)=-f(1)=-4,
∴f(g(-2))=f(-4)=-f(4)=-25.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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8.(2016· 金华模拟 ) 设 f(x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f(x) = 2x(1 3 5 -2 答案 解析 +x),则f(- )=________. 2 因为f(x)是周期为2的奇函数,

5 5 1 1 1 3 所以 f(-2)=-f(2)=-f(2)=-[2×2(1+2)]=-2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

9.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时, - -x-1 f(x)=_____________. 答案 解析

∵f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)= x+1,
∴当x<0时,-x>0,

f(-x)= -x+1=-f(x),

即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

10.(2016· 余姚模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)

1 上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)+f(ln )≤2f(1),那么t的取值范围 t 1 [e ,e] 答案 解析 是________.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2 ? - x +2x,x>0, ? ? 11.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? 2 ? ?x +mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数m的值; 解答

设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
于是x<0时,f(x)=x2+mx=x2+2x,

所以m=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解答

要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
? ?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? 所以 1<a≤3, ? ?a-2≤1,

故实数a的取值范围是(1,3].

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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12.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x. (1)求f(π)的值; 解答 由f(x+2)=-f(x),得

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.

∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
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(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.

解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

*13. 函数 f(x) 的定义域为 D = {x|x≠0} ,且满足对于任意 x1 , x2∈D ,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; 解答 ∵对于任意x1,x2∈D,

有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; 解答 f(x)为偶函数.

证明 令x1=x2=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),

1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令x1=-1,x2=x,则f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.
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(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值 范围. 解答

依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,

∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数,

∴0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1,
∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


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