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2010年1月某实验中学八年级数学竞赛试题(部分题含答案)

实验中学 2010-1

八年级(上)数学竞赛试题
班级 一、耐心填一填 1、等腰三角形的底角是 15° ,腰长为 10,则其腰上的高为___________. 2、如图,D 为等边三角形 ABC 内一点,AD=BD, BP=AB,∠DBP=∠DBC,则∠BPD=___________. 3、已知 y= 姓名 座号

(m2 ? m) x m ? 1是关于 x 的一次函数,则 m 为____
第2题
2 2

2

4、观察下列:1×3=3 而 3=22-1,3×5=15 而 15=42-1, 5×7=35 而 35=6 -1,……,11×13=143 而 143=12 -1 你猜想到的规律用只含一个字母 n 的式子表示出来是
2 3 4 5 6
2010

__ 。

5、观察下列规律:3=3, 3 ? 9 , 3 ? 27 , 3 ? 81, 3 ? 243, 3 ? 729…… 用你发现的规律写出 3 6、当 m___ 个位数字为__________

___时,两直线 y=2x+4 与 y=-2x+m 的交点在第二象限 A B C G K H H

7、在△ABC 中, ∠B,∠C 的平分线相交于点 O,若∠A =70?, 则∠BOC=_______ 8、若 AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC=___________

二、精心选一选 9、直线 y ?

1 2 11 x ? 6 与直线 y ? ? x ? 的交点坐标是( 2 31 31

).

A、(-8,-10) B、(0,-6); C、(10,-1); D、以上答案均不对 10、如图,直线 l1、l 2、l3 表示三条相互交叉的公路, 现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有( A、1 处; )

l2

l1

l3

B、2 处; C、3 处; D、4 处

11、若点 P(a,b)在第二象限,则点 Q(a-1,-b) 关于 y 轴对称点( ) D、第四象限

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限

1

12、△ABC 和△A’B’C’中,①AB=A’B’②BC=B’C’③AC=A’C’④ ∠A=∠A’, ⑤∠B=∠B’ ⑥ ∠C=∠C’ 则不能证出△ABC≌△A’B’C’的条件是( ) )

A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 13、如图,∠AOP=∠BOP=15° ,PC//OA,PD⊥OA,若 PC=4,则 PD 等于( A、4 B、3 C 、2 D、1

A

B
第 13 题

1 D

2 E C
(第 16 题)

第 14 题

14、 如图, 已知 AD=AE, BE=CD, ∠1=∠2=110° , ∠BAC=80° , 则∠CAE 的度数是 ( A、20° B、30° C、40° D、50° 15、 已知 abc ? 0 , 并且 A.第一、第二象限 C.第三、第四象限



a?b b?c c?a ? ? ? p, 那么直线 y ? px ? p 一定通过 ( c a b
B.第二、第三象限 D.第一、第四象限

) .

16、如图,在△ ABC 中, AB ? AC, D 点在 AB 上, DE ? AC 于 E , EF ? BC 于 F . 若 ?BDE ? 140 ? ,那么 ? DEF 等于( ).

A.55° B.60° C.65° D.70° 三、从生活中学数学,应用数学到生活中。 17、如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 边上,且 BE=CF, BD=CE. A (1)求证:△DEF 是等腰三角形; (2)当∠A=40°时,求∠DEF 的度数; (3)△DEF 可能是等腰直角三角形吗?为什么? D F B E C

2

18、如图,已知直线 l1 :y=2x+1、直线 l2 :y= -x+7,直线 l1 、l2 分别交 x 轴于 B、C 两点,l1 、

l2 相交于点 A。
(1) 求 A、B、C 三点坐标; (2) 求△ABC 的面积。

l2 B

y A O C

l1

x

19、如图,已知在△ABC 中,∠BAC 为直角,AB=AC,D 为 AC 上一点,CE⊥BD 于 E. 1 (1)若 BD 平分∠ABC,求证 CE= BD; 2 (2)若 D 为 AC 上一动点,∠AED 如何变化,若变化,求它的变化范围;若不变,求出 它的度数,并说明理由。

C D B A E

3

20、设关于 x 的一次函数 y ? a1 x ? b1 与 y ? a2 x ? b2 ,则称函数

y ? m(a1 x ? b1 ) ? n(a2 x ? b2 ) (其中 m ? n ? 1 )为此两个函数的生成函数.
(1)当 x=1 时,求函数 y ? x ? 1 与 y ? 2 x 的生成函数的值; (2)若函数 y ? a1 x ? b1 与 y ? a2 x ? b2 的图象的交点为 P ,判断点 P 是否在此两个 函数的生成函数的图象上,并说明理由. 解:(1) 当 x =1 时,y ? m( x ? 1) ? n(2 x) ? m(1 ? 1) ? n(2 ? 1) ? 2m ? 2n ? 2(m ? n) , ∵

m ? n ?1, ∴

y ? 2.

(2)点 P 在此两个函数的生成函数的图象上.设点 P 的坐标为(a, b) , ∵

a1 ? a ? b1 ? b ,

a2 ? a ? b2 ? b ,

∴ 当 x = a 时, y ? m(a1 x ? b1 ) ? n(a2 x ? b2 )

? m(a1 ? a ? b1 ) ? n(a2 ? a ? b2 )
? mb ? nb ? b(m ? n) ? b ,
即点 P 在此两个函数的生成函数的图象上.

4

21、我市某镇组织 20 辆汽车装运完 A、B、C 三种脐橙共 100 吨到外地销售。按计划,20 辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满。根据下表提供的信息, 解答以下问题: A B C 脐 橙 品 种 6 5 4 每辆汽车运载量(吨) 12 16 10 每吨脐橙获得(百元) (1)设装运 A 种脐橙的车辆数为 x ,装运 B 种脐橙的车辆数为 y ,求 y 与 x 之间的 函数关系式; (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆,那么车辆的安排方案有几种?并写 出每种安排方案; (3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值. 解: (1)根据题意,装运 A 种脐橙的车辆数为 x ,装运 B 种脐橙的车辆数为 y ,那么装 运 C 种脐橙的车辆数为 ?20 ? x ? y ? ,则有:

6 x ? 5 y ? 4?20 ? x ? y ? ? 100

整理得: y ? ?2 x ? 20

(2)由(1)知,装运 A、B、C 三种脐橙的车辆数分别为 x 、 ? 2 x ? 20 、 x , 由题意得: ?

?x ? 4 ,解得:4≤ x ≤8,因为 x 为整数,所以 x 的值为 4、5、6、7、 ?? 2 x ? 20 ? 4

8,所以安排方案共有 5 种。 方案一:装运 A 种脐橙 4 车,B 种脐橙 12 车,C 种脐橙 4 车; 方案二:装运 A 种脐橙 5 车,B 种脐橙 10 车,C 种脐橙 5 车; 方案三:装运 A 种脐橙 6 车,B 种脐橙 8 车,C 种脐橙 6 车; 方案四:装运 A 种脐橙 7 车,B 种脐橙 6 车,C 种脐橙 7 车; 方案五:装运 A 种脐橙 8 车,B 种脐橙 4 车,C 种脐橙 8 车; (3)设利润为 W(百元)则:

W ? 6 x ?12 ? 5?? 2 x ? 20? ?16 ? 4 x ?10 ? ?48x ? 1600
∵ k ? ?48 ? 0 ∴W 的值随 x 的增大而减小 要使利润 W 最大,则 x ? 4 ,故选方案一

W最大 ? ?48? 4 ? 1600=1408(百元)=14.08(万元)
答: 当装运 A 种脐橙 4 车, B 种脐橙 12 车, C 种脐橙 4 车时, 获利最大, 最大利润为 14.08 万元.

5

22、有依次排列的 3 个数:3,9,8,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数, 所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9, ,8,这称为第一次 , ,9,

操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,

8,继续依次操作下去,问:从数串 3,9,8 开始操作第 100 次以后所产生的那个新 数串的所有数之和是多少? 解:一个依次排列的 n 个数组成一个 n 数串: a1 , a2 , a3 ,??, an 依题设操作方法可得新增的数为:

所以,新增数之和为:

原数串为 3 个数:3,9,8 第 1 次操作后所得数串为:3,6,9, 根据(*)可知,新增 2 项之和为: 第 2 次操作后所得数串为: 3,3,6,3,9, , ,9,8 根据(*)可知,新增 4 项之和为:
………………

,8

按这个规律下去,第 100 次操作后所得新数串所有数的和为: (3+9+8)+100×(8-3)=520

6


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