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2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1同步练习:第3章空间向量与立体几何单元检测A卷

第三章 空间向量与立体几何(A)

(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.以下命题中,不正确的个数为( )

①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb;

③若 a·b=0,b·c=0,则 a=c;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c

+a}构成空间的另一个基底; ⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.

A.2

B.3

C.4

D.5

2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若C→A=a,C→B=b,C→C1=c,则A→1B等于( )

A.a+b-c

B.a-b+c

C.-a+b+c

D.-a+b-c

3.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b,则( )

A.x=6,y=15

B.x=3,y=125

C.x=3,y=15

D.x=6,y=125

4.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与A→B,A→C垂 直,则向量 a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) 5.已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin〈A→B,C→D〉等于( )

A.-23

2 B.3

5 C. 3

D.-

5 3

6.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( )

A.60°

B.90°

C.105°

D.75°

7.若平面 α 的法向量为 n,直线 l 的方向向量为 a,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ,则下

列关系式成立的是( )

A.cos θ=|nn|·|aa|

B.cos θ=||nn|·|aa||

C.sin θ=|nn|·|aa|

D.sin θ=||nn|·|aa||

8.若三点 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( )

A.不等边的锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形

9.若两个不同平面 α,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( )

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β 相交但不垂直 D.以上均不正确

10.若两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|A→B|取最小值时,x 的值等于( )

A.19

B.-87

C.87

D.1194

11.

如图所示,在四面体 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角 B—AP—C 的余弦值为( )

2 A. 2

3 B. 3

7

5

C. 7

D.7

12.

如图所示,在直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△AEB 是 等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点 D 到平面 ACE 的距离为( )

3 A. 3

23 B. 3

C. 3

D.2 3

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________. 14.如图所示,

已知正四面体 ABCD 中,AE=14AB,CF=14CD,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为 ________. 15.平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平面 β 所 成二面角的大小为________. 16.
如图所示,已知二面角 α—l—β 的平面角为 θ ??θ∈??0,2π????,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 在
平面 β 内,BC 在 l 上,CD 在平面 α 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1.
18.(12 分)已知四边形 ABCD 的顶点分别是 A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1, -3),D(3,-5,3). 求证:四边形 ABCD 是一个梯形.
19.(12 分) 如图所示,四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M、N 分别是 AC、BF 的
中点,判断 CE 与 MN 是否共线?

20.(12 分)
如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD =∠BCD. 求证:C1C⊥BD.

21.(12 分) 如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB =60°,求 OA 与 BC 所成角的余弦值.
22.(12 分)

如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE, AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的正弦值.

第三章
1.C [只有命题④正确.] 2.

空间向量与立体几何(A)

D [如图,A→1B=→AB-A→A1=→CB-→CA-A→A1=→CB-→CA-C→C1=b-a-c.] 3.D [∵a∥b,∴存在实数 λ,

??3=2λ ? 使 x=4λ
??y=5λ

??x=6 ,∴???y=125 .]

4.C [设 a=(x,y,z),∵A→B=(-2,-1,3), →AC=(1,-3,2), 又|a|= 3,a⊥A→B,a⊥A→C,

??x2+y2+z2=3, ?∴ -2x-y+3z=0, ??x-3y+2z=0.

??x=1, ?∴ y=1, ??z=1

??x=-1, ? 或 y=-1,
??z=-1.

∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1).] 5.C [∵A→B=(1,0,0),→CD=(-2,-2,1),

∴cos〈A→B,C→D〉=

AB ? CD AB ? CD

=-23,

∴sin〈→AB,→CD〉=

5 3 .]

6.B [

建立如图所示的空间直角坐标系,设 BB1=1,则 A(0,0,1),B1?? 26, 22,0??,C1(0, 2,
0),
B?? 26, 22,1??. ∴A→B1=?? 26, 22,-1??,C→1B=?? 26,- 22,1??, ∴A→B1·C→1B=64-24-1=0,
即 AB1 与 C1B 所成角的大小为 90°.]
7.D [若直线与平面所成的角为 θ,直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为 β, 则 θ=β-90°或 θ=90°-β,cos β=|nn|·|aa|,∴sin θ=|cos β|=||nn|·|aa||.] 8.A [→AB=(3,4,2),A→C=(5,1,3),B→C=(2,-3,1),A→B·→AC>0,得∠A 为锐角;C→A·→CB>0, 得∠C 为锐角;→BA·B→C>0,得∠B 为锐角,所以△ABC 是锐角三角形且|A→B|= 29,|→AC|= 35, |B→C|= 14.]
9.A [∵v=-3u,∴v∥u.故 α∥β.] 10.C [→AB=(1-x,2x-3,-3x+3), 则|→AB|= ?1-x?2+?2x-3?2+?-3x+3?2
= 14x2-32x+19= 14??x-87??2+57. 故当 x=87时,|→AB|取最小值.]
11.C [如图所示,

作 BD⊥AP 于 D,作 CE⊥AP 于 E,设 AB=1,则易得 CE= 22,EP= 22,PA=PB= 2, 可以求得 BD= 414, ED= 42.∵→BC=→BD+→DE+→EC, ∴→BC2=B→D2+D→E2+E→C2+2B→D·→DE+2→DE·E→C+2E→C·→BD.
∴→EC·→BD=-14,∴cos〈→BD,→EC〉=- 77, 即二面角 B—AP—C 的余弦值为 77.] 12.B [

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2). →AD=(0,0,2),A→E=(1,1,0),A→C=(0,2,2),设平面 ACE 的法向量 n=(x,y,z),

?? x+y=0;



即?

??2y+2z=0.

令 y=1,∴n=(-1,1,-1). 故点 D 到平面 ACE 的距离

d=

=??-2??=2 ? 3?

3

3 .]

13. 258

解析 ∵a-2b=(8,-5,13),

∴|a-2b|= 82+?-5?2+132= 258. 4
14.13

解析 因四面体 ABCD 是正四面体,顶点 A 在底面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心,所 以有 BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为 4, 则B→F·→DE=(→BC+→CF)·(→DA+→AE) =0+B→C·→AE+→CF·→DA+0 =4×1×cos 120°+1×4×cos 120°=-4,
BF=DE= 42+12-2×4×1×cos 60°= 13, 所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 θ 的余弦值为:

cos θ=

=143.

15.3π或23π
解析 设 n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),
则 cos〈n1,n2〉=1×0+0×?-2·1?2+?-1?×1=-12, ∴〈n1,n2〉=23π.因平面 α 与平面 β 所成的角与〈n1,n2〉相等或互补,所以 α 与 β 所 成的角为π3或23π. 16. 3-2cos θ 解析 因为A→D=A→B+B→C+C→D, 所以→AD2=→AB2+→BC2+C→D2+2→AB·→CD+2A→B·→BC+2→BC·C→D=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cos θ. 所以|A→D|= 3-2cos θ,

即 AD 的长为 3-2cos θ.

17.证明 以 A 为原点,AC 为 x 轴,AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系.
设 B(a,b,0),C(c,0,0),A1(0,0,d), 则 B1(a,b,d),C1(c,0,d),A→B1=(a,b,d), B→C1=(c-a,-b,d),C→A1=(-c,0,d), 由已知A→B1·B→C1=ca-a2-b2+d2=0, C→A1·B→C1=-c(c-a)+d2=0,可得 c2=a2+b2.

再由两点间距离公式可得: |AB1|2=a2+b2+d2,|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2,
∴AB1=CA1. 18.证明 因为A→B=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),C→D=(3,-5,3)-(-1,1,

-3)=(4,-6,6),因为-42=-36=-63, 所以→AB和→CD共线,即 AB∥CD.

又因为A→D=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1), →BC=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),

因为

0

-4 ≠≠

1

,所以→AD与→BC不平行,所以四边形 ABCD 为梯形.

-2 -1 -2

19.解 ∵M、N 分别是 AC、BF 的中点,四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形,
∴→MN=→MA+→AF+→FN=12→CA+→AF+12 FB . 又∵M→N=M→C+C→E+E→B+B→N =-12C→A+C→E-A→F-12 FB , ∴12→CA+→AF+12 FB =-12C→A+C→E-A→F-12 FB , ∴→CE=→CA+2→AF+ FB =2(→MA+→AF+→FN)=2→MN. ∴→CE∥M→N,即→CE与→MN共线. 20.证明 设→CD=a,→CB=b,C→C1=c,

依题意,|a|=|b|, 又设→CD,→CB,C→C1中两两所成夹角为 θ, 于是→BD=→CD-→CB=a-b, C→C1·B→D=c·(a-b)=c·a-c·b

=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0,

所以 C1C⊥BD. 21.解 因为→BC=→AC-→AB, 所以→OA·B→C=O→A·→AC-→OA·A→B =|→OA||A→C|cos〈O→A,A→C〉-|O→A||→AB|cos〈→OA,→AB〉

=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°

=-16 2+24.

所以 cos〈O→A,B→C〉=
24-16 2 3-2 2 = 8×5 = 5 .
3-2 2 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 5 . 22.(1)解

如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点.设 AB=1,依题意得 D(0,2,0),F(1,2,1),
A1(0,0,4),E??1,32,0??. 易得→EF=??0,12,1??, A→1D=(0,2,-4),

于是 cos〈E→F,A→1D〉=

=-35.

所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为35. (2)证明 易知A→F=(1,2,1),
E→A1=??-1,-32,4??,→ED=??-1,21,0??, 于是→AF·E→A1=0,A→F·→ED=0.

因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED. (3)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y,z),

?21y+z=0,



? 即 ?-x+12y=0.

不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1), 由(2)可知,→AF为平面 A1ED 的一个法向量,

于是 cos〈u,A→F〉=

=23,

从而

sin〈u,A→F〉=

5 3.

所以二面角 A1—ED—F 的正弦值为 35.


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