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黑龙江省哈尔滨市第三中学2016届高三下学期第二次高考模拟考试数学文试题(word版)


2016 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整,字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、 试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第 I卷

(选择题, 共 60 分)

一、 选择题(共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. )
2 1.设集合 A ? x 4 x ? 1 , B ? x ln x ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

)

A. ( ?

1 1 , ) 2 2

B. (0, )

1 2

C. [ ,1)

1 2

D. (0, ]

1 2

2 . 设命题

p :若 x, y ? R , x ? y ,则

x ? 1 ;命题 q :若函数 f ? x? ? ex ,则对任意 x1 ? x2 都 有 y
)

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 在命题① p ? q ; ② p ? q ; ③ p ? (?q ) ; ④ (?p) ? q 中, 真命题是( ? 0 成立. x1 ? x2
A.①③ 3.已知复数 z ? A. 1 B. ①④
1? i ,则 z 2016 ? ( 1? i

C. ②③ ) C. i

D. ②④2

B. ?1

D. ?i )

4.口袋中有四个小球, 其中一个黑球三个白球, 从中随机取出两个球,则取到的两个球同色的概率为( A.

1 6

B.

1 2

C.

1 4

D.

3 4
)

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? x ? 2, ?
A. ?

1 2

B. 1

C. 4

D .5

6.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ( ? ? ? )的图象过点 P (0, ) ,如图,则 ? 的值为(

1 2

)

1 / 10

A.

? 6 ? 5? 或 6 6

B.

5? 6

C.

D. ?

?
6



5? 6

7.在平面直角坐标系中,双曲线 C 过点 P(1,1) ,且其两条渐近线的方程分别为 2 x ? y ? 0 和 2 x ? y ? 0 ,则 双曲线 C 的标准方程为( A. ) B.

x2 4 y 2 ? ?1 3 3 4x2 y 2 x2 4 y 2 ? ?1 或 ? ?1 3 3 3 3

4x2 y 2 ? ?1 3 3 4 y 2 x2 ? ?1 3 3

C.

D.

8.如图,给出的是求

1 1 1 ? ? ? …… + 1 的值的一个程序框图, 2 4 6 20
) B. i ? 10 D. i ? 9
3

则判断框内填入的条件是( A. i ? 10 C. i ? 9

9.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( A.

)

6

9 3 4
9 2 4

B. 9 3

3 3

3 3 2

C.

D. 9 6

3

10. 已知数列 ?an ? 为等差数列,且公差 d ? 0 ,数列 ?bn ? 为等比数列,若 a1 ? b1 ? 0 , a4 ? b4 ,则( A. a7 ? b7 B. a7 ? b7 C. a7 ? b7 D. a 7 与 b7 大小无法确定

)

11.等腰直角 ?ABC 中,?A ?

? , AC ? 1 , BC 在 x 轴上,有一个半径为 1 的圆 P 沿 x 轴向 ?ABC 滚动, 2
的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )

并沿 ?ABC 的表面滚过,则圆心

P B

A C x
A. B. C. D.

2 / 10

12. 已知函数 f ? x ? ? ? A. (e, +?)

? ? x 2 ? 4 x , ? x ? 1? ? , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 恰有一个零点, 则 k 的取值范围是( x ? ?e , ? x ? 1?
B. ( ??, e) C. (??, ) (非选择题, 共 90 分)

)

1 e

D. [0, e)

第Ⅱ卷

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.已知圆 M : ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,则过点 O (0, 0) 的圆 M 的切线方程为 14.数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? 2 an ?1 ,则数列 {an } 的通项公式为
n

. .

15.点 P 在 ?ABC 的边 BC 所在直线上,且满足 AP ? m AB ? n AC ( m, n ? R ),则在平面直角坐标系 中,动点 Q (m, m ? n) 的轨迹的普通方程为 .

??? ?

??? ?

????

16.四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 2 的正方形,高为 1,其外接球半径为 2 2 ,则正方形 ABCD 的 中心与点 P 之间的距离为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)

x x x ( 3 cos ? sin ) ? 1 2 2 2 ? 2? (Ⅰ)若 x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域; 6 3
已知 f ( x) ? 2sin

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A 为 BC 边所对的内角若 f ( A) ? 2 , BC ? 1 ,求 AB ? AC 的最大值.

??? ? ????

3 / 10

18.(本小题满分 12 分) 某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度,对到店维修保养的客户进行回访调查,每个用户在到此店维 修或保养后可以对该店进行打分,最高分为 10 分.上个月公司对该 4S 店的 100 位到店维修保养的客 户进行了调查,将打分的客户按所打分值分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四 组[6,8),第五组[8,10],得到频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第四、五组的频率; (Ⅱ)该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查,之 后将从这 6 人中随机抽取 2 人进行物质奖励,求得到奖励的人来自不同组的概率.
频率 组距

0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0 2 4 6 8 10
分数

19.(本小题满分 12 分) 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,沿平面 A 1 ACC1 将正方体分成两部分,其中一部分如图所示, 过直线 A1C 的平面 ACM 与线段 BB1 交于点 M . 1 (Ⅰ)当 M 与 B1 重合时,求证: MC ? AC1 ;

? 平面 A1 ACC1 时,求平面 ACM (Ⅱ)当平面 ACM 分几何体所得两部分体积之比. 1 1
C1 A1 B1 M

C A B

4 / 10

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) ,过其焦点作斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于 M 、 N 两点,且

| MN |? 16 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上,且过定点 D(0,4),若动圆 P 与 x 轴交于 A、B 两点,且

| DA |?| DB | ,求

| DA | 的最小值. | DB |

21.(本小题满分 12 分)
x 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,函数 g ( x) ? ax e ?4 x ,其中 a 为大于零的常数.

(Ⅰ)求函数

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)求证: g ( x) ? 2 f ( x) ? 2(ln a ? ln 2) .

5 / 10

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AC 、 BD 交于点 Q , AC 平分 ?DAB , AP 为梯形 ABCD 外 接圆的切线,交 BD 的延长线于点 P . (Ⅰ)求证: PQ2 ? PD ? PB ;

P A Q D

4 (Ⅱ)若 AB ? 3 , AP ? 2 , AD ? ,求 AQ 的长. 3

B

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 2t ? ?y ? ? 2 ? t
2 1 ? 3sin 2 ?

( t 为参数), 在以 O 为极点, x 轴的正半

轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 的方程为 ? ?
(Ⅰ)求曲线 C1 、 C 2 的直角坐标方程;



(Ⅱ)若 A 、 B 分别为曲线 C1 、 C 2 上的任意点,求 AB 的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;

(Ⅱ)若 ?x ? R ,不等式 f ( x) ? a x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

6 / 10

2016 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷(文史类)答案
一、选择题 DDAB CABB BCDB
( n ? 2)( n ?1) 2

二、填空题 13. y ? ?2 x 14. an ? 2 15. y ? 2 x ? 1 16. 2 2 -------------3 分

17.(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ?

?
6

),

? 2? ? ? 5? ? x ? [ , ] ? x ? ? [ , ] ,? f ( x) 的值域为 [1, 2] ;-------------6 分 6 3 6 3 6
(Ⅱ)? f ( A) ? 2 ,? sin( A ?
2 2 2

?

6

) ? 1 ,? A ?

?

3



AB ? AC ? BC 1 ? cos A ? ? 2 AB AC 2
2 2

-------------9 分

? AB AC ? AB ? AC ? 1 ? 2 AB AC ? 1 ,? AB AC ? 1

??? ? ???? 1 1 ? AB ? AC ? AB AC cos A ? AB AC ? . 2 2 ??? ? ???? 1 ? AB ? AC 的最大值为 . -------------12 分 2 18.解:(1)由直方图知,第四组的频率为 0.175 ? 2 ? 0.35 ,第五组的频率为 0.15 ? 2 ? 0.30 所以第四、五
组的频率分别为 0.35 和 0 .3 . ………………………4 分

(2) 由直方图知,第二、三组客户人数分别为 10 人和 20 人,所以抽出的 6 人中,第二组有 2 人,设 为 A,B,第三组有 4 人,设为 a,b,c,d. 从中随机抽取 2 人的所有情况如下: AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 15 种.…8 分 其中,两人来自不同组的情况共有 8 种, 所以,得到奖励的人来自不同组的概率为 ………………………10 分

8 . 15

………………………12

C1 B( 1 M)

19.(Ⅰ)连接 C1B ,在正方形 B1BCC1 中, BC1

? B1C ,

A1

正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 平面 B 1BCC1 ,

B1C ? 平面 B1BCC1 ,? AB ? B1C ,? B1C ? 平面 ABC1 ,
A

C B

7 / 10

? BC ? AC1 ,即 MC ? AC1 ;-------------4 分
(Ⅱ)当 M 为 B1B 中点时, 取 AC 1 、 AC 中点分别为 N 、 P ,链接 MN 、 NP 、 PB ,

C1 B1 N M C

1 ? MB ∥ A1 A ∥ NP ,且 MB ? NP ? A1 A , 2

A1

? 四边形 MBPN 为平行四边形,? MN ∥ PB , ? 平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC ,? PB ? AC ,
? BP ? 平面 A1 ACC1 ,? MN ? 平面 A1 ACC1 ,

? 平面 MAC 1 ? 平面 A 1 ACC1 .-------------8 分
设 AB ? a ,?V三棱柱A1B1C1 -ABC

A

P B

1 ? S? ABC ? AA1 ? a 3 , 2

1 1 ?V四棱锥A1 -MCC1B1 ? ? S四边形MCC1B1 ? A1B1 ? a 3 , 3 4

?V四棱锥C -MBAA1 : V三棱锥A1 -MCC1B1 ? 1:1.-------------12 分
20. 解:(1) 设抛物线的焦点为 F (0,

p p ) ,则直线 l : y ? x ? , 2 2

p ? ?y ? x ? 由? 2 ,得 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 0 ? x 2 ? 2 py ?

………………………2 分

? x1 ? x2 ? 2 p ,? y1 ? y2 ? 3 p , ? | MN |? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16 ,? p ? 4
………………………4 分

?抛物线 C 的方程为 x 2 ? 8 y

………………………5 分

2 (2) 设动圆圆心 P( x0 , y0 ), A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,则 x0 ? 8 y0 , 2 且圆 P : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? 4)2 , 2 令 y ? 0 ,整理得: x 2 ? 2x0 x ? x0 ?16 ? 0 ,

解得: x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4 ,
8 / 10

………………………7 分

( x0 ? 4) 2 ? 16 | DA | ? ? | DB | ( x0 ? 4) 2 ? 16
当 x0 ? 0 时,

2 x0 ? 8 x0 ? 32 16 x0 , ? 1? 2 2 x0 ? 8 x0 ? 32 x0 ? 8 x0 ? 32 …………9 分

| DA | ? 1, | DB |

当 x0 ? 0 时,

| DA | 16 32 ? 1? ,? x0 ? 0 ,? x0 ? ?8 2 , 32 | DB | x0 x0 ? 8 ? x0

| DA | 16 ? 1? ? 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 ,? 2 ?1 ? 1 | DB | 8?8 2
所以

| DA | 的最小值为 2 ? 1 . | DB |

………………………12 分

21.(1)解: f ?( x) ?

1? x ,----------------------------------------------------------------1 分 x

令 f ??x? ? 0 得 0 ? x ? 1 ,则 f ?x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 令 f ??x? ? 0 得 x ? 1 ,则 f ?x ? 在 ?1,??? 上单调递减。---------------------3 分 (2) g ?x? ? 2 f ?x? ? axex ? 2x ? 2 ln x ? 2 .令 F ?x ? ? axex ? 2 ln x ? 2 x ? 2 ,---------4 分 则 F ??x ? ? ?x ? 1?? aex ? 令 G?x ? ? axe ? 2 ,
x

? ?

2 ? x ?1 axex ? 2 , ?? x? x

?

?

则 G??x? ? a?x ? 1?e ? 0 ,故 G ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增。-------------------------6 分
x

? a ? 2? 而 G?0? ? ?2 ? 0 , G? ,故存在 x0 ? ? 0, ? ,使得 G?x0 ? ? 0 , e ? 1? ? ? ? 2? ? ??0 a ? a? ? ? ? ?
2

?

2?

即 ax0 e

x0

? 2 ? 0 。---------------------------------------------------------------------------8 分

则 x ? ?0, x0 ? 时, G??x? ? 0 ,故 F ??x? ? 0 ; x ? ?x0 ,??? 时, G??x ? ? 0 ,故 F ??x ? ? 0 。 则 F ?x ? 在 ?0, x0 ? 上单调递减,在 ?x0 ,??? 上单调递增,------------------------------------10 分 故 F ?x? ? F ?x0 ? ? ax0 e
x0

? 2x0 ? 2 ln x0 ? 2 ? ?2?x0 ? ln x0 ?

? ?2 ln x0 e x0 ? ?2 ln

?

?

2 ? 2 ln a ? 2 ln 2 。 a

9 / 10

故 ag?x ? ? 2 f ?x ? ? 2?ln a ? ln 2? 。--------------------------------------------------------------12 分 22. (1) ? PA 为圆的切线? ?PAD ? ?ABD ,? AC 平分 ? DAB ??BAC ? ?CAD

??PAD ? ?DAC ? ?BAC ? ?ABC ??PAQ ? ?AQP

? PA ? PQ

? PA









线

? PA2 ? PD ? PB ? PQ2 ? PD ? PB .-------------6 分
(2) ? ?PAD ?PBA ?

8 PA PB 9 ? ? PB ? ? PA2 ? PD ? PB ? PD ? , 9 AD AB 2 8 10 ? AQ ? DQ ? PA ? PD ? 2 ? ? .-------------12 分 9 9

23.(1) C1 : x ? 2 y ? 3 2 ? 0, C2 :

x2 ? y 2 ? 1 .-------------6 分 4

?? ? 2 2 cos ? ? ? ? ? ?3 2 2cos ? ? 2sin ? ? 3 2 4? ? (2)设 B ? 2cos? ,sin ? ? ,则 AB ? , ? 5 5
当且仅当 ? ? 2k? ?

?
4

?k ? Z ? 时

AB min ?

2 10 .-------------12 分 ? 5 5

24.(1)

? ?x x ? 0 或 x ? 4 ? .-------------6 分 3 ?

(2)当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2, a x ? 0 ,原式恒成立; 当 x ? 0 时,原式等价转换为 1 ?

1 1 1 1 . ? 2 ? ? a 恒成立,即 a ? 1 ? ? 2 ? x x min x x

? 1?

1 1 1 ? 1? ? 1? ? 1 ?? 1 ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 , 当 且 仅 当 ?1 ? ?? 2 ? ? ? 0 即 ? x ? 1 时 取 等 , 2 x? x x ? x? ? x? ? x ??

? a ? 1 .-------------12 分

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