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高二数学选修2-1测试卷[3]


高二数学选修 2-1 质量检测试题(卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 顶点在原点,且过点 ( ? 4, 4) 的抛物线的标准方程是 A. y 2 ? ? 4 x C. y 2 ? ? 4 x 或 x 2 ? 4 y 2. 以下四组向量中,互相平行的有( ? ? (1) a ? (1, 2,1) , b ? (1, ? 2, 3) ; ? ? (3) a ? (0,1, ? 1) , b ? (0, ? 3, 3) ; A. 一 B. 二 B. x 2 ? 4 y D. y 2 ? 4 x 或 x 2 ? ? 4 y )组. ? ? (2) a ? (8, 4, ? 6) , b ? (4, 2, ? 3) ; ? ? (4) a ? ( ? 3, 2, 0) , b ? (4, ? 3, 3)

C. 三 D. 四 ? ? 3. 若平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) , 平面 ? 的法向量为 n 2 ? (2, 0, ? 1) , 则平 面 ? 与 ? 夹角的余弦是 A.
70 14 70 10 70 14 70 10

B.
5 12

C. ?

D. -
1 2

4.“ ? ? k ? ?

?,

k ? Z ”是“ sin 2? ?

”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5.“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”“直线 l 与平面 ? 垂直”( 是 的 条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要



6.在正方体 ABC D ? A1 B1C 1 D1 中, E 是棱 A1 B1 的中点,则 A1 B 与 D1 E 所成角 的余弦值为 A.
5 10

B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5

7. 已知两定点 F1 (5, 0) , F2 ( ? 5, 0) ,曲线上的点 P 到 F1 、 F2 的距离之差的绝 对值是 6,则该曲线的方程为 A.
x
2

? x
2

y

2

?1 y
2

B. D.

x

2

? y
2

y

2

?1 x
2

9

16 ? ?1

16

9 ? ?1

C.

25

36

25

36

1

? 8. 已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a ? (2,1,1) ,平面 ? 过直线 l 与 点 M(1,2,3),则平面 ? 的法向量不可能是

D. (0,-1,1) ) 4 2 4 2 9. 命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题是 A. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b B. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b C. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b D. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b 10 . 已知椭圆
x
2

A. (1,-4,2)

B. ( , ? 1, )

1

1

C. ( ?

1

,1, ?

1

10 ? m

?

y

2

A. 4 . C. 7 . 11.以下有四种说法,其中正确说法的个数为: (1) 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件; “m

m?2 B. 5 .

? 1 ,若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ,则 m 等于

D. 8 .

(2) “ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的充要条件; (3) “ x ? 3 ”是“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; ? (4) A ?B B ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. “ A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 12。双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1, F2 ,过 F1 作

倾斜角为 3 0 ? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 M F2 垂直于 x 轴,则双曲线 的离心率为 A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 .
29 且

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 13.请你任意写出一个全称命题 ;其否命题为

? ? ? ? 14.已知向量 a ? ( 0 , ? 1,1) , b ? ( 4 , 1, 0 ) ,| ? a ? b |?

? ? 0 ,则 ? = ____________. 15. 已知点 M(1,-1,2) ,直线 AB 过原点 O, 且平行于向量(0,2,1) ,则 点 M 到直线 AB 的距离为__________. 16.已知点 P 到点 F (3, 0) 的距离比它到直线 x ? ? 2 的距离大 1,则点 P 满足的 方程为 . 17.命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 .
三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

≤ 18. 设 命 题 p : 4x ? 3

1 命 题 q : x ? ( 2 a? 1 )x? a ( a ≤ ) , 若 , ? 1 0
2

“ ? p ? ? q ”为假命题, ? q ? ? p ”为真命题,求实数 a 的取值范围. “

2

19.已知椭圆的顶点与双曲线
13 5

y

2

?

x

2

? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为

4

12

,若椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程.

20.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是 边长为 1 的菱形, A B C ? ?
?
4

, OA ? 底 面 ABCD ,

O

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点,以 A

为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解 答以下问题: (Ⅰ)证明:直线 M N ‖ 平 面 O C D ;
B A

M

D N C

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

3

21.已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为

5 5

.

(1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M、N 两点,且 M N ?
16 9 5 ,求直线 l 的方程.

22.已知向量 m1 ? ( 0 , x ), n1 ? (1,1), m 2 ? ( x , 0 ), n 2 ? ( y 2 ,1) (其中 x,y 是实数) , 又设向量 m ? m1 ?
2 n2 , n ? m 2 ? 2 n1 , m // n , 点 P(x,y)的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|= 线 l 的方程.
4 2 3

时,求直

4

数学选修 2-1 质量检测参考答案及评分标准

2009.2

一、选择题:本答题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1. C. (p75 练习题 1 改) 2. B(p38 练习题 3 改) 3. A(p45 练习题 2 改) 4. B.(复习题一 A 组 4 题改) 5. C. (08 上海卷理 13) 6. B(08 四 川延考文 12) 7. A(p80,练习题 1(2)改) 8. D(复习题二 A 组 13 题改) 9. C(p5, 练习题 2 改) 10 . D(复习题三 A 组 2 题改) 11. A(复习题一 A 组 1 题改) 12。C. (08 陕西高考) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 13.答案不唯一,正确写出全称命题得 3 分,正确写出其否命题得 2 分. 14. 3 (08 海南宁夏卷理 13). 15. 8(选修 2-1,p50 练习题改) 16. y 2 ? 12 x (选修 2-1 p76, A 组 5 题改) 17.没有一个偶数是素 数 18. (p96, 复习题三 A 组 8 题改) 三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. 答案不唯一,每正确写出一个命题得 3 分,正确说出命题的真假每个 得 2 分. 20. (选修 2-1,p96,复习题二,B 组 2 题改) 解:设所求椭圆方程为
y
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,其离心率为 e ,焦距为 2 c ,双曲线

?
2

x

2

4

12

(2 ,则有: ? 1 的焦距为 2 c1 ,离心率为 e1 , 分)

c1 ? 4 ? 1 2 ? 1 6 , c1 =4 (4 分)

∴ e1 ? ∴e ?

c1 2 13

?2

(6 分)
3 5

?2?

,即 ②

c a

?

3 5



(8 分)

5 又 b ? c1 =4

(10 分) (12 分)

a ?b ?c
2 2

2



由①、 ②、③可得 a 2 ? 25 ∴ 所求椭圆方程为
x
2

?

y

2

?1

(15 分)

25

16

21. (本小题满分 15 分) (08 安徽卷理 18) 解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x , y , z 轴建立坐标 系

5

A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), P (0,

2 2

, 0), D ( ?

2 2

,

2 2

, 0), O (0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ?

2 4

,

2 4

, 0)

,(3 分) (1) (5 分)
?
???? ? M N ? (1 ? 2 4 , 2 4 ??? ? , ? 1), O P ? (0, 2 2
? ? ??? ? ????

???? , ? 2 ), O D ? ( ?

2 2

,

2 2

, ?2)

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ?O P ? 0, n ?O D ? 0
? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? 2 2 ? ? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2 ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2 ) (7 分)
2 4 , 2 4 , ? 1) ?(0, 4, 2) ? 0
x B z O

M

取z ?

A N C P

D y

???? ? ? ∵ M N ?n ? (1 ?

? M N‖ 平 面 O C D

(9 分)
??? ? ???? ? 2 2 , 2 2 , ? 1)

(2)设 A B 与 M D 所成的角为 ? ,∵ A B ? (1, 0, 0 ), M D ? ( ?
??? ???? ? ? A B ?M D 1 ? ∴ cos ? ? ??? ???? ? ,∴ ? ? ? ? 2 3 AB ? M D

, A B 与 M D 所成角的大小为

?
3

(13 分)
??? ?
?

(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 O B 在向量 n ? (0, 4, 2 ) 上的投 影的绝对值,
??? ? ? OB ? n ??? ? 2 由 O B ? (1, 0, ? 2 ) , 得 d ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 ? n 3

2 3

(15 分) 解: (1)设椭圆的标准方程为
c a
2 2
2

22. (p87,例 3 改)

x a

2 2

?
2

y b

2 2

? 1 , (2 分)

由已知有: 2 b ? 4, e ?

?

5 5
2

(4 分),

(6 a ? b ? c , 分)
2 2

解得: a ? 5, b ? 2, c ? 1, c ? 1 ∴ 所求椭圆标准方程为
x ? y ?1

①(8 分)

5

4

(2)设 l 的斜率为 k ,M、N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , ∵椭圆的左焦点为 ( ? 1, 0) ,∴l 的方程为 y ? k ( x ? 1)
6

②(10 分)

①、②联立可得 ∴
2

x

2

?
2

k ( x ? 1)
2

2

?1
2

(11 分)

5
2

4

(4 ? 5 k ) x ? 10 k x ? 5 k ? 20 ? 0
10 k
2 2

∴ x1 ? x 2 ? ? 又 ∵ MN ?

4 ? 5k

,
2

x1 x 2 ?

5 k ? 20
2

4 ? 5k
2

2

(13 分)
5

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ?
2 2

16 9

即 ( x1 ? x 2 ) (1 ? k ) ?

16 9

5 1280 81

∴ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? k 2 ) ? ? ?
2 2

? ? 10 k 2 4(5 k ? 20) ? 1280 2 ∴ ?( ) ? ? (1 ? k ) ? 2 2 4 ? 5k 81 ? 4 ? 5k ?

∴ ?100 k 4 ? 4(5 k 2 ? 20)(4 ? 5 k 2 ) ? (1 ? k 2 ) ? ? ? ∴ 320(1 ? k ) ?
2 2

1280 81

(4 ? 5 k )
2

2

1280 81

(4 ? 5 k )
2

2

∴1 ? k ?
2

2 9

(4 ? 5 k )
2

∴ k 2 ? 1,

k ? ?1

∴l 的方程为 y ? x ? 1 命题人: 吴晓英

或 y ? ? x ? 1 (15 分) 检测人:张新会

7


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