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高中数学恒成立问题的求解策略


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学恒成立问题的求解策略 作者:肖常定 来源:《考试周刊》2013 年第 98 期 摘 要: 对于恒成立问题,一些学生经常是束手无策,不知道从哪里下手,找不到问题的 突破口,因而感觉十分困难.如果运用方程和函数思想,采用换元、化归、数形结合的思想方 法,其实恒成立问题是不难解决的.恒成立问题有利于考查学生的综合解题能力,也是历年高 考的一个热点.本文就高中数学恒成立问题的求解策略作一些归纳和总结,以飨读者. 关键词: 高中数学 恒成立问题 思想方法 求解策略 一、二次函数型——利用“判别式△ ”求解 1.不等式 ax■+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是:a>0△ =b■-4ac 2.不等式 ax■+bx+c 若条件中的不等式含“=”号,则将上述条件中的△ 3.二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理及根的实根分布知识求解. 例 1:不等式(m■-1)x■+2(m-1)x-1≤0 对任意 x∈ R 都成立,求实数 m 的值. 解:当 m■-1=0 即 m=± 1 时,分别代入已知不等式,知 m=1 符合题意; 当 m■-1≠0 时,由题意可得 m■-1 综上可得,实数 m 的取值范围是 0≤m≤1. 例 2:已知函数 f(x)=x■+ax+3-a,若 x∈ [-2,2],f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 分析:要使 x∈ [-2,2]时,f(x)≥0 恒成立,只需 f(x)的最小值 g(a)≥0 即可. 解:f(x)=(x+■)■-■-a+3,令 f(x)在[-2,2]上的最小值为 g(a). (1)当-■4 时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,∴ a≤■,又 a>4, ∴ a 不存在. (2)当-2≤-■≤2,即-4≤a≤4 时,g(a)=f(-■)=-■-a+3≥0, 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∴ -6≤a≤2,又∵ -4≤a≤4,∴ -4≤a≤2. (3)当-■>2,即 a ∴ -7≤a 综上所述,a∈ [-7,2]. 说明:此题属于含参数的二次函数最值问题,且属于轴变区间定的情形,应对轴与区间的 位置进行分类讨论;还有与其相反的,轴动区间定的情形,方法类似. 二、利用“特殊值”求解 等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对选择题、填空题能很快求得结果. 例 3:如果函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图像关于直线对称 x=-■,那么 a=(?摇?摇? 摇?摇) (A)1?摇?摇?摇?摇(B)-1?摇?摇?摇?摇(C)■?摇?摇?摇?摇(D)-■ 解:取 x=0 及 x=-■,则 f(0)=f(-■),即 a=-1,故选 B. 三、利用“主元”求解 在错综复杂的各种矛盾中,抓住了主要矛盾,就犹如抓住了一根主线,从而使次要矛盾迎 刃而解.同样地,在数学问题中,由于多变元的干扰,常会使学生思维的头绪,陷入众多繁复 的岔道中,剪不清,理还乱,而如若分清主次,抓住主元,则犹如抓住一根主线,一目了然. 例 4:对于满足|p|≤2 的所有实数 p,求使不等式 x■+px+1>2x+p 恒成立的 x 的取值范围. 分析:在不等式中出现了两个字母 x 和 p,关键在于把哪个字母看成变量,另一个作为常 数.因为 p 的范围已知,故本题可将 p 视为自变量,上述问题即转化为在[-2,2]上关于的一次 函数大于 0 恒成立的问题. 解:不等式即(x-1)p+x■-2x+1>0,设 f(p)=(x-1)p+x■-2x

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