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禹州一高2012-2013学年高二上学期期中考试 数学文


禹州市一高 2012—2013 学年度上学期高二期中考试

数学试题(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.“ x 2 ? x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2012-11-20

命题人:赵伟峰

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 p 的否定形式为( A. ?p : ?x ? R, x ? sin x C. ?p : ?x ? R, x ? sin x

B. ?p : ?x ? R, x ? sin x D. ?p : ?x ? R, x ? sin x ) D. ? 2 )

3.在等比数列 {a n } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a7 ? ( A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2

4.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ,那么它的通项公式为 an =( A. n B. 2n C. 2n ? 1 D. n ? 1

x2 y2 5.设 F1,F2 是椭圆 ? ? 1 的两焦点,P 为椭圆上一点,则三角形 PF1F2 的周长 25 9

为(

) B.18 C.20 D.不确定 )

A.16

6.椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形,则此椭圆的离心率为( A.
1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3

7.下列说法中,正确的是(

)

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.已知 x ?R ,则“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是“ x ? 3 ”的必要不充分条件 C.命题“ p ? q ”为真命题,则“命题 p”和“命题 q”均为真命题 D.已知 x ?R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件
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8.已知 a, b, c ? R ,则下列推证中正确的是 ( A. a ? b ? am2 ? bm2 C. a3 ? b3 , ab ? 0 ?
1 1 ? a b

) B.
a b ? ?a?b c c 1 1 ? a b

D. a 2 ? b 2 , ab ? 0 ?

?y ? x ? 9.不等式组 ? x ? 2 y ? 4 表示的平面区域的面积为( ? y ? ?2 ?



A.

25 3

B.

50 3

C.

100 3

D. )

10 3

10.已知 x ? 0, y ? 0 , A. 6

2 8 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为( x y
B. 12 C. 18

D. 24 )

11.已知等差数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和为( A.138 B.135 C.95 D.23

12.在 R 上定义运算 ? :x ? y ? x(1 ? y) , 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实 数 x 成立,则 a 的取值范围为( A. ? 1 ? a ? 1 ) C. ?
3 1 ?a? 2 2

B. 0 ? a ? 2

D. ?

1 3 ?a? 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若 a ? 1, 则 a ?
1 的最小值是__________. a ?1

14.在公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a1 , a3 , a4 成等比数列,则该等比数列的公比 为 .
?0? x?4 ? 15.已知 x, y 满足 ? 0 ? y ? 3 ,则 2x ? y 的最大值为________. ?x ? 2 y ? 8 ? x2 y2 ? ? 1 所截得的弦的中点,则直线 l 的方程为 16.已知点 P (4, 2) 是直线 l 被椭圆 36 9
_____ ____.
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三、解答题(6 道题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (1)求 ?an ? 的通项 an ; (2)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:“ ?x ? [1, 2], x 2 ? a ? 0 ”,命题 q:“ ?x0 ? R, x0 2 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ”, 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集为 B. (1)求 A∩B; (2)若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求不等式 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集.

20.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 cos A ? (1)求 tan C 的值; (2)若 a ?

2 ,sin B ? 5 cos C . 3

2 ,求 ?ABC 的面积.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的两焦点分别为 F1 (? 3 ,0) , F2 ( 3,0) ,离心率 e ? (1)求此椭圆的方程; (2)设直线 l : y ? x ? m ,若 l 与此椭圆相交于 P ,Q 两点,且 PQ 等于椭圆的
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3 . 2

短轴长,求 m 的值.

22.(本小题满分 12 分) 设 {an } 是 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 并 且 对 于 所 有 的 n ? N* , 都 有

8S n ? (a n ? 2) 2 .
(1)写出数列 {an } 的前 3 项; (2)求数列 {an } 的通项公式(写出推证过程); (3) bn ? 设

4 m T , n 是数列 {bn } 的前 n 项和, 求使得 Tn ? 对所有 n ? N* a n ? a n?1 20

都成立的最小正整数 m 的值.

高二文数

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禹州一高高二期中数学(文科)试卷参考答案
一、选择题 BCABB CBCBC 二、填空题 13. 3 14.
1 2

CD 16. x ? 2 y ? 8 ? 0

15. 10

三、解答题 17. (1) ?an ? 的公差为 d , 解: 设 由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (2) Sn ? na1 ?

? a1 ? d ? 1 d , 解出 a1 ? 3 , ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5
┄┄5 分

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 .所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 2 18.解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题.┄┄2 分

若 p 为真命题,a≤x2 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1. ┄┄6 分 ┄┄10 分 ┄┄12 分 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根, Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2, 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 由 x2 ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=(-3,2) , ∴A∩B=(-1,2)
2

19.解: (1)由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=(-1,3) ┄┄ 6 分

(2)由不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2) ,
? 1? a ? b ? 0 ? a ? ?1 所以 ? ,解得 ? ? 4 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2

∴ ? x2 ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R. 20.解: (1)由 cos A ?

┄┄12 分

5 2 , A ? (0, ? ) ,得 sin A ? 1 ? cos 2 A ? . 3 3 5 2 cos C ? sin C ,所以 tan C ? 5 .┄┄6 分 3 3
5 1 5 cos C ? ,∴ sin B ? 5 ? cos C ? . 6, 6 6
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又 5 cos C ? sin B ? sin( A ? C ) ? (2)由 tan C ? 5 可求得 sin C ?

高二文数

由a ?

2 及正弦定理得 c ?

a sin C ? 3. sin A
┄┄12 分

所以 ?ABC 的面积为 S ?

1 5 ac sin B ? . 2 2

x2 y2 c 3 21.解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,则 c ? 3 , ? ,┄┄2 分 a 2 a b
x2 ? y2 ? 1. ? a ? 2, b ? a ? c ? 1 ?所求椭圆方程为 4
2 2 2

┄┄┄┄┄5 分

?y ? x ? m (2)由 ? 2 ,消去 y,得 5 x 2 ? 8mx ? 4(m 2 ? 1) ? 0 , x ? 4y2 ? 4 ?

则 ? ? 64 m 2 ? 80(m 2 ? 1) ? 0 得 m 2 ? 5 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

(*)

4(m 2 ? 1) 8m , x1 x 2 ? , y1 ? y 2 ? x1 ? x2 , 5 5 ┄┄┄┄┄┄┄8 分
8m 2 16(m 2 ? 1) ) ? ]?2 5 5

PQ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(?

解得. m 2 ?

30 15 ,满足(*)? m ? ? . 4 8

22.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2

∴ a1 ? 2 ∴ a2 ? 6 …………4 分

n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2) 2 n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵ 8Sn ? (an ? 2) 2 ∴ a3 ? 10

∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2) 2 (n ? 1) 即 an 2 ? an ?12 ? 4an ? 4an ?1 ? 0

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an ?1 ? 2)2 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 ………… 8 分

∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an ?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
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1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4 n ? 2 2 m m 1 ∵ Tn ? 对所有 n ? N* 都成立 ∴ ? 20 20 2 故 m 的最小值是 10 . …………12 分 ?

即 m ? 10

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