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三角形的外接圆与内切圆半径的求法


三角形的外接圆与内切圆半径的求法
一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例 1 已知:在△ABC 中,AB=13,BC=12,AC=5 求△ABC 的外接圆的半径. C 解:∵AB=13,BC=12,AC=5, 2 2 2 ∴AB =BC +AC , A B O ∴∠C=90°, ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径, ∴△ABC 的外接圆的半径为 6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例 2 如图,在△ABC 中,AB=10,∠C=100°, 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.(用三角函数表示) C 分析:利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形. A B 解:作直径 BD,连结 AD. O D 则∠D=180°-∠C=80°,∠BAD=90° ∴BD=
AB 10 = sin D sin 80° 5 . sin 80°

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为

注:已知两边和其中一边的对角,以及已知两角和一边,都可以利用本题的方法求出三 角形的外接圆的半径. 例 3 如图,已知,在△ABC 中,AB=10,∠A=70°,∠B=50° C 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. D 分析:可转化为①的情形解题. 解:作直径 AD,连结 BD. O A B 则∠D=∠C=180°-∠CAB-∠BAC=60°,∠DBA=90° ∴AD=
AB 10 20 = = 3 sin D sin 60° 3 10 3. 3

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为

②已知两边夹一角 例 4 如图,已知,在△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析:考虑求出 AB,然后转化为①的情形解题. 解:作直径 AD,连结 BD.作 AE⊥BC,垂足为 E. 则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°,CE= AC=1,AE= 3 , BE=BC-CE=2,AB= AE 2 + BE 2 = 7
1 2

C E A O D B

∴AD=

AB 7 2 = = 21 sin D sin 60° 3

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为

1 21 . 3

③已知三边 例 5 如图,已知,在△ABC 中,AC=13,BC=14,AB=15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析:作出直径 AD,构造 Rt△ABD.只要求出△ABC 中 BC 边 上的高 AE,利用相似三角形就可以求出直径 AD. 解:作直径 AD,连结 BD.作 AE⊥BC,垂足为 E. 则∠DBA=∠CEA=90°,∠D=∠C ∴△ADB∽△ACE
2 2

C E A O D B


2

AC AE = AD AB
2 2

设 CE=x, ∵AC -CE =AE =AB -BE ∴AE=12 ∴
13 12 = AD 15

∴13 -x =15 -(14-x)

2

2

2

2

x=5,即 CE=5
65 . 8

AD=

65 4

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为

二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形 例 6 已知:在△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 解:可证四边形 ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为 r, 则 CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r, ∴(a-r)+(b-r)=c,
a +b?c a +b?c ∴r= ,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为 . 2 2

A

c
O B

b
E C

aD

2、一般三角形 ①已知三边 例 7 已知:如图,在△ABC 中,AC=13,BC=14,AB=15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径 r. 分析:考虑先求出△ABC 的面积,再利用“面积桥” ,从而 求出内切圆的半径.

A F B O D E C

解:利用例 5 的方法,或利用海伦公式 S△= s(s ? a )(s ? b)(s ? c) (其中 s= 出 S△ABC=84,从而
1 1 1 AB?r+ BC?r+ AC?r=84, ∴r=4 2 2 2

a +b+c )可求 2

②已知两边夹一角 例 8 已知:如图,在△ABC 中,cotB=
4 ,AB=5,BC=6 3

A O B D C

求△ABC 内切圆⊙O 的半径 r. 分析:考虑先通过解三角形,求出△ABC 的面积及 AC 的长, 再利用“面积桥” ,从而求出内切圆的半径.

解:作△ABC 的高 AD.解直角三角形可得 AD=3,CD=2,AC= 13 , 因为
11 ? 13 1 1 1 1 AB?r+ BC?r+ AC?r= BC?AD, 可求得 r= 2 2 2 2 6

③已知两角夹一边 例 9 已知:如图,在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,BC=6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径 r.(精确到 0.1) 分析:思路方法同上,读者可完成. 总之,只要通过边、角能确定三角形,就可以借鉴上面的方法求 出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.

A O B D C


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