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河北省衡水中学高中数学 第一章 综合训练(二) 新人教A版必修1


河北省衡水中学高一数学必修一学案:第一章 综合训练(二)
1.相同函数的判定方法: (1)定义域相同(2)对应关系相同(两点必须同时具备) 。 2.函数的定义域的求法;使函数有意义的自变量的不等关系式,求解 即可求得函数的定义 域。常涉及 的依据为(1)分母不为 0; (2)偶次根式中被开方数不小于 0; (3)零指数幂 的底数不为 0; (4)实际问题要考虑实际意义等。 3.函数值域的求法: (1)配方法(二次或四次) ; ( 2)数形结合; (3)函数的单调性法等。 4.单调性的判断步骤: ( 1)设 x1 , x2 是所研究区间内的任意两个自变量,且 x1 ? x2 ; (2) 作差比较或作商比较判定 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小; (3)得出结论。 5.奇偶性的判断步骤; (1)先求函数的定义域,若定义域关于坐标原点 对称,继续以下步 骤,若不对称,则为非奇非偶函数(2)计算 f (? x) 的值; (3)判断 f (? x) 与 ? f ( x) 中的 哪一个相等; (4)下 结论。 7.画函数图像 函数的图像是函数 的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图像能够掌握 函数重要的性质,如单调性、奇偶性等等,反之,掌握好函数的性质,有助于图像正确的画 出。 函数图像广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题有直观、明了、易懂的优点,在历 届高考试题中,常出现有关函数图像和利用图像解题的试题。 函数图像的画法 (1)画函数图像,不仅要依据函数的解析式,而且还必须考虑它的定义域 ,画图像时,要 先在直角坐标系内画好 x 轴、 y 轴及两轴上的单位长度和坐标原点。 (2) 画函数图像时, 要记住常见的基本初等函数如 y ?

1 2 , y ? ax ? b , y ? ax ? bx ? c 等 x

的图像。 描点法作函数图像的基本步骤: (1)先就函数的关系式探讨函数的一些性质,如定义域、值域以及奇偶性、单 调性等,从 而对函数图像的轮廓有一个大致的认识; (2)选点。将 x 与 y 的一些对应值用表列出(对一些不熟悉的函数值有条件的可用函数计 算器计算出) ; (3)将表 中的 x 与 y 的对应值作为点的坐标在坐标系中描出; (4)用平滑的曲线依次连接各点即可。 一、求函数解析式的方法 求函数的解析式是常见的一类题型, 通常是用待定系数法求解, 即根据条件列出方程组, 然后解方程组,还有复合函数的整体替换(换元)法,以及根据函数的有关性质(单调性、 奇偶性)求函数的解析式。 例1

) (1 4 ,? ( 2 ) 8 f 5 ?2 ⑴已知函数 f ( x) 是二次函数, 且它的图像过点 (0, 2) ,f 3

? ?



求 f ( x) 的解析式。

1

⑵已知函数 f ( x) 在 R 上是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?

1 ,求 f ( x) 的解析式。 x

⑶已知 f ( x ? 1) ? x ? 3x ? 1 ,求 f ( x)
2

二、函数的值域(最值) 函数的值域是重点,也是难点,没有统一的求值域的方法,要根据所给函数解析式的结 构特点,选择恰当的方法,常用的方法有:配方法、换元法、单调性法、判别式法、分离常 数法、数形 结合法以及观察法等,下面通过几个例子介绍几种常用方法。 例 2 ⑴求函数 y ? ? x ? 1 ? 2 x 的值域。

2 x2 ? 4 x ? 7 ⑵求函数 y ? 2 的值域。 x ? 2x ? 3

三、函数的性质及应用 研究函数往往从定义域、值域、单调性、.奇偶性、对称性、及解析式等方面入手,通 过对函数性质的应用使问题得以解决。 例 3 已知函数 f ( x) ?

mx 2 ? 2 5 是奇函数,且 f (2) ? 。 3x ? n 3
2

⑴求实数 m 和 n 的值 ⑵判断函数 f ( x) 在 ? ??, 0 ? 上的单调性,并加以证明。

四、函数图像及其应用 函数的图像是函数的重要表示方法, 它具有明显的直观性, 通过函数的图像能够掌握函 数重要的性质,如单调性、奇偶性等。反之,掌握好函数的性质,有助于图像正确的画出, 函数图像广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点,在历届 高考题中,常出现有关函数图像和利用函数图像解题的试题。 例 4 设函数 f ( x) = x 2 ? 2 | x | ?1(?3 ? x ? 3) (1)证明 f ( x) 是偶函数; (2)画出这个函数的图像; (3)指出函数 f ( x) 的单调区间,并说明在各个单调区间上 f ( x) 是增函数还 是减函数; (4)求函数的值域

课堂小结:
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