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【轻松突破120分】2014高考数学精炼2 文


2014 高考数学(文)轻松突破 120 分 2
1.设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a,b,c 之间的大小关系是________. 2 2 解析: 分别由 a<0,b>0,c>0,再由 b -c <0 得 b<c 判断. 答案: c>b>a 2 2 2.设 a,b∈R,若 a +b =5,则 a+2b 的最大值为________. 2 2 2 2 2 解析: 由柯西不等式得(a +b )(1 +2 )≥(a+2b) , 2 2 2 因为 a +b =5,所以(a+2b) ≤25. 答案: 5 2 2 2 3.已知 x +4y +kz =36(其中 k>0)且 t=x+y+z 的最大值是 7,则 k=________. ? 1 1? 2 2 2 2 解析: ∵由柯西不等式得(x +4y +kz )·?1+ + ?≥(x+y+z) ,又 tmax=7, ? 4 k? ?5 1? ∴36? + ?=49,∴k=9. ?4 k? 答案: 9 2 2 2 4.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x +y +z =1 的一切实数 x、y、z 恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. 2 2 2 2 2 2 2 解析: 由柯西不等式得(x+2y+2z) ≤(1 +2 +2 )(x +y +z )=9,由题意|a-1|≥3, ∴a≥4 或 a≤-2. 答案: a≥4 或 a≤-2 1 1 5.已知 a>0,求证: a2+ 2- 2≥a+ -2.

a

a

证明: 要证原不等式成立, 1 1 只需证 a2+ 2+2≥a+ + 2,

a

a

1 2 即证 a + 2+4

a

a2+ 2+4≥?a+ ?2+2 2?a+ ?+2, a ? a? ? a? a2+ 2≥?a+ ?, a ? a?
1

1

?

1?

?

1?

只需证 2·

?

1?

? 2 1? 2 1 即证 2?a + 2?≥a + 2+2, a ? ?
a
1 2 只需证 a + 2≥2.

a

1 2 由基本不等式知 a + 2≥2,上式显然成立.

a

∴原不等式成立.

x y z 1 1 1 + ≥ + + . yz zx xy x y z x y 1?x y? 2 y z 2 z x 证明: 因为 x,y,z 均为正数,所以 + = ? + ?≥ ,同理可得 + ≥ , + yz zx z?y x? z zx xy x xy yz
6.已知 x,y,z 均为正数,求证: + 2 ≥ ,

y

当且仅当 x=y=z 时, 以上三式等号都成立, 将上述三个不等式两边分别相加, 并除以 2, x y z 1 1 1 得 + + ≥ + + .

yz zx xy x y z

18 2 2 2 7.已知 x +2y +3z = ,求 3x+2y+z 的最小值. 17 ? 1 ?2? 2 2 2 ? 2 2 解析: ∵(x +2y +3z )?3 +? 2? +? ? ? ? ? 3? ?

-1-

? ≥?3x+ 2y· 2+ 3z· ?
2

1 ?2 2 ? =(3x+2y+z) , 3?

∴(3x+2y+z) ≤12,-2 3≤3x+2y+z≤2 3. 9 3 3 3 3 当且仅当 x=- ,y=- ,z=- 时, 17 17 17 3x+2y+z 取最小值,最小值为-2 3. 3 3 2 2 8.设 a,b 是非负实数,求证:a +b ≥ ab(a +b ). 证明: 由 a,b 是非负实数,作差得 a3+b3- ab(a2+b2)=a2 a( a- b)+b2 b( b- a) 5 5 =( a- b)[( a) -( b) ]. 5 5 当 a≥b 时, a≥ b,从而( a) ≥( b) , 5 5 得( a- b)[( a) -( b) ]≥0; 5 5 当 a<b 时, a< b,从而( a) <( b) , 5 5 得( a- b)[( a) -( b) ]>0; 3 3 2 2 所以 a +b ≥ ab(a +b ). 2 2 2 9.设 x+y+z=1,求 F=2x +3y +z 的最小值. ?【解析方法代码 108001173】 解析: 由柯西不等式, 1 ?1 ?2 2 ∵1=(x+y+z) =? · 2x+ · 3y+1·z? 3 ? 2 ? 1 1 11 ? ? 2 2 2 2 2 2 ≤? + +1?(2x +3y +z )= (2x +3y +z ), 6 ?2 3 ? 6 2x 3y z 2 2 2 ∴F=2x +3y +z ≥ ,当且仅当 = = , 11 1 1 1 2 3 3 2 6 6 且 x+y+z=1,即 x= ,y= ,z= 时,F 有最小值 . 11 11 11 11 2 2 10.已知 a、b、c 为正数,且满足 acos θ +bsin θ <c. 2 2 求证: acos θ + bsin θ < c. 2 2 证明: 由柯西不等式可得 acos θ + bsin θ 1 2 2 1 2 2 ≤[( acosθ ) +( bsinθ ) ] (cos θ +sin θ ) 2 2 1 2 2 =(acos θ +bsin θ ) < c. 2 11.设 m 是|a|,|b|和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,

?a b ? 求证:? + 2?<2. ?x x ?
证明: 由已知 m≥|a|,m≥|b|,m≥1. 又|x|>m, ∴|x|>|a|,|x|>|b|,|x|>1,

?a b ? ?a? ? b ? ∴? + 2?≤? ?+? 2? ?x x ? ?x? ?x ?


|a| |b| |x| |x| + < + |x| |x|2 |x| |x|2

1 |x| =1+ <1+ =2. |x| |x|

-2-

?a b ? ∴? + 2?<2 成立. ?x x ?
12.已知 n∈N ,求证:
*

n? n+1?

2 ?【解析方法代码 108001174】 k+? k+1? 1 证明: ∵k< k? k+1? < = (2k+1)(k=1,2,…,n), 2 2

< 1×2+ 2×3+…+ n?

n+1? <

?

n+1?
2

2

.

若记 Sn= 1×2+ 2×3+…+ n? n+1? ,则 n? n+1? Sn>1+2+…+n= , 2 2 1 1 2 ? n+1? Sn< (3+5+…+2n+1)= (n +2n)< , 2 2 2 故原不等式成立. 3 1 1 1 1 1 * 13.求证: - <1+ 2+ 2+…+ 2<2- (n≥2,n∈N ). 2 n+1 2 3 n n 2 证明: ∵k(k+1)>k >k(k-1),k≥2, 1 1 1 ∴ < < , k? k+1? k2 k? k-1? 1 1 1 1 1 即 - < < - , k k+1 k2 k-1 k 分别令 k=2,3,…,n 得 1 1 1 1 - < 2<1- ; 2 3 2 2 1 1 1 1 1 - < 2< - ; 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 - < < - ; n n+1 n2 n-1 n 将上述不等式相加得: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - +…+ - < 2+ 2+…+ 2<1- + - +…+ - , 2 3 3 4 n n+1 2 3 n 2 2 3 n-1 n 1 1 1 1 1 1 即 - < 2+ 2+…+ 2<1- , 2 n+1 2 3 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ - <1+ 2+ 2+…+ 2<2- . 2 n+1 2 3 n n 2 2 2 14.求三个实数 x,y,z 使得它们同时满足下列方程 2x+3y+z=13,4x +9y +z -2x+ 15y+3z=82. 解析: 将两方程的左右两边分别相加,变形得 2 2 2 (2x) +(3y+3) +(z+2) =108, 由第一个等式变形得 2x+(3y+3)+(z+2)=18, 于是由柯西不等式得, 2 2 18 =[1×(2x)+1×(3y+3)+1×(z+2)] 2 2 2 2 2 2 ≤(1 +1 +1 )×[(2x) +(3y+3) +(z+2) ]=3×108 2 =18 , 由不等式中等号成立的条件可知:2x=3y+3=z+2=6, 故原方程的解为:x=3,y=1,z=4.

-3-

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