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线性相关的证明的方法


线性相关的证明的方法 1. ? ? 0 ? ? 线性相关 2. ? 与 ? 的对应分量成比例 ? ? 与 ? 线性相关 3.含零向量的向量组线性相关 4.向量组 ?1 ,? 2 , ?,? n ?? ? ?? 线性相关 ? 该组中至少有一个向量可由其余的 m-1 向量线 性表示 5.部分线性相关则整体线性相关 6.设向量组 ?1 ,? 2 ,?,? n 可由向量组 ?1 ,? 2 , ?,? n 线性表示 (1)如果 r>s,则 ?1 ,? 2 , ?? n 线性相关 (2)如果 ?1 ,? 2 , ?? n 线性无关,则 r<s 7.该向量的秩小雨该向量个数 ? 向量组线性相关 8.n 个 n 维的向量管构成的行列式=0 ? 向量组线性相关

注 : . 对 ?1 , ? 2 ,?? n 线 性 相 关 ? 存 在 不 全 为 零 的 数 ? 1 , ? 2 ,?? n , 使 得

?1? 1? ? ?2 ?? n? n ? 0
1. ?1 , ? 2 ,?? n 线性相关 ? ?1 , ? 2 , ?? n 中有一向量是其余向量的线性组合。 2.设 ?1 , ? 2 , ?? n 线性相关,其中 ? i ? ??i ?,?? i ? ,?? ? ???, 则 ?1 , ? 2 ,? ? r 也线性相关, 其中 ?i ? ??? ?,??i ??? ? ? ?? ??? r,k ? m. 3.若向量组的部分向量组是线性相关的,则此向量组必线性相关 4.一个 n 级行列式等于零 ? 它的 n 个行(列)构成的向量组线性相关

具体模式: 1. 对 ?1 , ? 2 ,?, ? n , 假设存在一组数 ?1 , ? 2 ,?? n 使得 ?1?1 ??? n ? n ? 0 2. 利用已知条件,代人 1 中的向量方程,将问题转化为已知向量组的关系式来确定

?1 , ? 2 ,?? ? n 的取值关系,进一步判定 ?1,? 2, ,? n 的线性相关 ?

1

例 3.1.1 判断 ? 能否由 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 线性表示, 若可以, 给出线性表示式。 其中 ? ? ?1,2,1,1? ,

?1 ? ?1,1,1,1? , ? 2 ? ? , 1 , - 1 ,,1 ? 3 ? ? , - 1 , 1 ,? - 1 ? 4 ? ? , - 1 , - 1 , 1 , 。 1 ?1 1 ?
解:考虑 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 为系数列向量, ? 为常数列向量的非其次线性方程组

? ?1 +? 2 +? 3 +? 4 =1, ? ? +? -? -? 4 =2, ? 1 2 3 ? ? ?1-? 2 +?3-? 4 =1, ? ?1-? 2-?3 +? 4 =1. ?
易求得 D ? -16,D1 ? -20,D2 ? -4,D3 ? 4,D4 ? 4. 由克拉默法则,得到上述方程组的唯一解

D1 5 = D 4 D 1 ? 3 = 3 =— D 4 5 1 1 1 故 ? = ?1 + ? 2- ? 3- ? 4 4 4 4 4
为 ?1 ?

?2 =

D2 1 = D 4 D 1 ? 4 = 4 =— D 4



3.1.3

? 设 向 量 组 ?1,? ,2, ,? s

( s ? 2 ) 线 性 相 关 , 且

?1 =?1 +? 2 ,?2 =? 2 +?3 ,?,? s =? s +?1 , 讨论向量组 ?1 ,? 2 ,? ? s 的线性相
关性。 证明 设 ?1?1 +? 2 ? 2 +? +? s ? s =0, 即

?1 ??1 +? 2 ? +? 2 ?? 2 +? 3 ? +? +? s ?? s +?1 ? =0,
亦即

? ?1 +? s ? ?1 + ? ?1 +? 2 ? ? 2 +? + ? ? s -1 +? s ? ? s =0.
由题设 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性无关,可知必有

2

??1 +? s =0, ? ??1 +? 2 =0, ? ??? ?? s -1 +? s =0. ?
方程组(3)的系数行列式为

1 1 D= 0 ? 0

0 1 1 ? 0

0 0 1 ? 0

? ? ? ?

0 0 0 ? 1

1 0 0 ? 1
s + s ? 2 , 为奇数, = 1 + ( -11 ) ? = s ?0 , 为偶数.

, , 可见,当 s 为奇数时,D=2 ? 0,即方程组(3)中未知量 ?1 ?2 ? ?s必全为零, , , 故 向 量 组 ?1 ?2 ? ?s 线 性 相 关 ; 当 s 为 偶 数 时 , D=0 , 即 存 在 不 全 为 零 的 ?1 ?2 ? ?s使(3)成立。所以向量组 ?1 ?2 ? ?s线性相关。 , , , ,

, , 例 3.1.4 设 ?1 ?2 ?3 线 性 无 关 , 试 问 常 数 m,k 满 足 什 么 条 件 时 , 向 量 组
k?2 ?1 - ,m?3 ?2 ?1 ?3 线性无关?线性相关? - , -
解:设

?1 ?2 ?1 (k - )+?2 ?3 ?1 (m - )+?3 ?1 ?3 ( - )=0,


(k+k)?1 +(k+k) ?+?+(k +k) ? =0 1 s 1 2 2 s-1 s s
+ =0, ?-?1 ?3 ? k - =0, , , 因 ?1 ?2 ?3 线性无关,故 ? ?1 ?2 ?m? -? =0. 2 3 ?
其系数行列式D=km-1.

= = =0, (1) 当 km-1 ? 0 即 km ? 1 时,以上方程有非零解。所以 ?1 ?2 ?3 故 k?1 ?2 - ,m?3 ?2 ?1 ?3 线性无关. - , -
(2) 当 km-1 , 即 km=1 时 , 以 上 方 程 有 非 零 解 , 所 以 =0

k?2 ?1 - ,m?3 ?2 ?1 ?3 线性相关. - , -

3

, , 例 3.1.5 设 ?1??r 线 性 相 关 , 若 ?1 ?,?r ?r+1 线 性 相 关 , 则 ?r+1 可 用

?1 ?,?r线性表示. ,
证明

, , 由 ?1 ??r ?r+1线性相关, 故存在一组不全为零的数k, k 1 ? r+1使得

k?1 ?+k?r r+1 r+1 ? =0 1 + r +k
则(4)式中k ,否则若k =0,则必有k, k 不全为零,有(4) r+1 r+1 ?0 1? r

, 有 ?1 ??r 线性相关,矛盾。故k 从而 r+1 ?0,

?r+1 =-

k k 1 ?1 ?- r ?r, - 命题得证. k k r+1 r+1

=2?1 ?2 ?2 ?1 ?2 ?3 - , = + , =-?1 +3?2 试证 ?1 ?2 ?3线性表示. . , , 例 3,17 设 ?1 , , , 证明: 显然向量组 ?1 ?2 ?3可由 ?1 ?2 线性表示, 且前组所含向量的个数 3 大于后组所

, , 含向量的个数 2.故 ?1 ?2 ?3线性相关.

, , 例 3.1.8 试求:任意 m 个 n 维向量组 ?1 ?2 ?,?m, m>n 时,是线性相关的。 当 , , ) , ? 证明:因为任意 n 维向量 ?=(?1 ?2 ??n 可由 n 维基本向量组 ?1 ?2 , ,?n 线性表
示.

?=?1?1 ?2?2 ?+?n?n, + +
, , , , 故任意 m 个 n 维向量组 ?1 ?2 ??m 可由向量组 ?1 ?2 ?,?n 线性表示,且 m>n.故

?1 ?2 ??m 线性相关. , ,

4



3.1.9



?1













4









?2 =(2,1,0,0),?3 =(4,1,4,0),?4 =(1,0,2,0),
, , , 若 向 量 组 ?1 ? , ?, 4 可 由 向 量 组 ?1 ?2 ?3 ?4 线 性 表 示 , 试 证 明 向 量 组 , 2 3 ? , , , 试证明向量组 ?1 ?2 ?3 ?4线 ?1 ?2 ?3 ?4可由向量组 ?1 ?2 ?3 ?4线性表示, , , , , , ,
性相关. 证明: 显然 ?3 ?2 于是 , , , = +2?4 故 ?2 ?3 ?4 线性相关, ?1 ?2 ?3 ?4线性相关, , , ,

, , , 故 ?1 ?2 ?3 ?4的一个极大线性相关组所含向量个数小于或等于 3, ?1 ? 2? 3 而 , , ? ,



, , , 均可由 ?1 ?2 ?3 ?4的极大线性相关组表示,前组所含向量的个数(4)大于后组所含

, , , 向量的个数( ? 3) ,故 ?1 ?2 ?3 ?4线性相关.

5


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