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教案5(教师用) 等差数列与等比数列(3)


教案 5
一、课前检测

等差数列与等比数列(3)

1.x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( D )条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要

2.等比数列 {a n } 中, a2 ? 3, (A)4 (B)5

a3 ? 9 ,若 a k ? 243 ,则 k 等于( C )
(D)42

(C)6

直面考点:1)等比数列的定义;2)等比数列的通项公式。 略解: q ?

a3 ? 3 ? a k ? a 2q k - 2 ? 3k -1 ? 243 ? 25 ? k ? 6 a2

注:等比数列得到的方程,常常用除法消元。

二、知识梳理
1.基本量的思想:常设首项、 (公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。 转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 解读:“知三求二”。

2.等差数列与等比数列的联系 1) 若数列 ? an ? 是等差数列, 则数列 {a n } 是等比数列, 公比为 a , 其中 a 是常数,d 是 ? an ?
a

d

的公差。(a>0 且 a≠1);

2)若数列 ? an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?log a an ? 是等差数列,公差为 log a q ,其 中 a 是常数且 a ? 0, a ? 1 , q 是 ? an ? 的公比。 3)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列。 解读:1) 2)

3)非零常数数列。

1

3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较 等 定 义 通 项 公式 求 和 公 式 中 项 公 式 差 数 列 等 比 数 列 {an}为等差数列 ? an+1-an=d(常 数),n∈N+ ? 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+)

an ? q(n ? 2, a n ? 0, q ? 0) ? {a n }成等比数列 a n?1

a n = a1 +(n-1)d= a k +(n-k)d

a n ? a1q n ?1 ? a k q n ?k .( a1 , q ? 0 )

Sn ?

(q ? 1) ?na1 n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? ? na1 ? d ? A ? n2 ? B? n s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q 2 2 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

等差中项:若 a、b、c 成等差数 a与b的等比中项G ? G 2 ? ab ? G ? ? ab 列,则 b 称 a 与 c 的等差中项, 2 a?c {an}为等比数列是 an+1 =an· n+2 的充分但不必要条 a 且 b= ;a、b、c 成等差数 2 件. 列是 2b=a+c 的充要条件. * 若 m、n、l、k∈N ,且 m+n=k+l,则 am·an=ak·al, m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? ak 反之不成立. (反之不一定成立); 特别地, 当 m ? n ? 2p 时 , 有 1 特别地, 若m ? n ? 2 p, 则a m ? a n ? a p 。另:
2



am ? an ? 2a p ; 特 例 :
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?。

an ? k ? an ?k ? (an ) 2



a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? 即:首尾颠倒相
乘,则积相等 下标成等差数列且公差为 m 的项 ak, k+m, k+2m, a a ? m 组成的数列仍为等比数列,公比为 q .





下标成等差数列且公差为 m 2 的项 ak,ak+m,ak+2m,?组成的 数列仍为等差数列,公差为 md. 3

s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成 等
差数列。

s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等比数列。

三、典型例题分析
题型 1 等差数列与等比数列的联系 例 1 (2010 陕西文 16)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数 列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. 解:(Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去),
an

1 ? 2d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +?+2 =
2 3 n

am

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得

n

2(1 ? 2n ) n+1 =2 -2. 1? 2

变式训练 1 (2010 北京文 16)已知{an}为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ?b n ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?b n ? 的前 n 项和公式 解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 。 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8

所以 ?8q ? ?24 即 q =3。 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n ?
a

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q
d

小结与拓展:数列 ? an ? 是等差数列,则数列 {a n } 是等比数列,公比为 a ,其中 a 是常数,

d 是 ?an ? 的公差。(a>0 且 a≠1).
题型 2 例 2 与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合 ( 2009 广 东 三 校 一 模 ) 数 列 {an} 是 公差 大 于 零 的 等 差 数 列 , a 2 , a 5 是 方 程

x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根。数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1?

1 bn ?n ? N ? ? ,求数列 2

?a n ?, ?bn ? 的通项公式。
解:由 a 2 ? a5 ? 12, a 2 a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a 2 ? 3, a5 ? 9

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? a n ? 2n ? 1?n ? N ? ? 3

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2
b 1 2?1? 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2 ? ? bn ? ? ? 3 ?3? bn ?1 3 2 2
3
n ?1

两式相减得 bn ?

?

2 n? N? n 3

?

?

变式训练 2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且 a1+2a2+2 a3+?+ 2
n-1

2

an=8n 对任意的 n∈N 都成立, 数列{bn+1-bn}是等差数列. 求数列{an}与{bn}的通项公式。
2 n-1

*

解:a1+2a2+2 a3+?+2
2

an=8n(n∈N )
n-2

*


*

当 n≥2 时,a1+2a2+2 a3+?+2 ①-②得 2
n-1

an-1=8(n-1)(n∈N )



an=8,求得 an=2

4-n



在①中令 n=1,可得 a1=8=2 ∴an=2
4-n *

4-1



(n∈N ). 由题意知 b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,

∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2,∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6, 法一(迭代法) bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+?+(2n-8) =n -7n+14(n∈N ). 法二(累加法) 即 bn-bn-1=2n-8, bn-1-bn-2=2n-10, ? b3-b2=-2, b2-b1=-4, b1=8, 相加得 bn=8+(-4)+(-2)+?+(2n-8) (n-1)(-4+2n-8) 2 * =8+ =n -7n+14(n∈N ). 2
2 *

小结与拓展:1)在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为:

?a1 ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

(n ? 1) (n ? 2, n ? N)

.是重要考点;2)韦达定理应引起重视;3)迭代法、累

加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。 题型 3 中项公式与最值(数列具有函数的性质)

例3

(2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n ? N ),公比 q ? (0,1),且 a1a5 +


2a3a5 +a 2a8=25,a3 与 as 的等比中项为 2。(1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当

S S1 S2 ? ? ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值。 1 2 n

4

解:(1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25 又 an>o,?a3+a5=5 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4

2

2

而 q ? (0,1),所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q ?

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ?2?

n ?1

? 25 ? n

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。所以, Sn ? 所以,当 n≤8 时,

n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 2 n 2

Sn S S >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n S S S 当 n=8 或 9 时, 1 ? 2 ? ? ? ? ? n 最大。 1 2 n
1 且 4

变式训练 3 (2009 常德期末)已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn , a1 ?

1 119 ? 且 3bn ? bn ?1 ? n (n ? 2且n ? N ) . Sn ? Sn?1 ? an ?1 ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? ? 2 4
(1)求 ?a n ?的通项公式;(2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值. 解:(1)由 2Sn ? 2Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 得

1 2 1 1 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn ?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3

2an ? 2an ?1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an ? bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? ? (bn ?1 ? n ? ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn?1 ? an?1 ? bn?1 ? (n ? 1) ? ? bn?1 ? n ? 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 119 1 1 ? ? ?30 ? ,又 b1 ? a1 ? ? 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项,

1 为公比的等比数列. 3

5

(3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( ) n ?1 ,∴ bn ? an ? 30 ? ( )n ?1 ?
bn ? bn ?1 ? 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 3

1 3

1 1 1 n ? ? 30 ? ( )n?1 2 4 3

1 1 1 1 1 = ? 30 ? ( )n?2 (1 ? ) ? ? 20 ? ( ) n?2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 ? ? 时, b4 ? 且 S3 ?

119 3 5 10 <0;当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0;当 n=3 时, b3 ? ? <0;当 n=4 4 4 4 3

7 10 ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 4 9

1 10 1 (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? ? ?41 4 3 12

小结与拓展:1)利用配方法、单调性法求数列的最值;2)等差中项与等比中项。

四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)
1.重要思想:基本量思想、分类讨论思想、函数与方程思想。 2.重要方法:配方法、迭代法、累加法及累乘法。 3.重要考点:1)数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为:

?a1 ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

(n ? 1) (n ? 2, n ? N)

.

2)韦达定理:一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

b ? ?x 1 ? x 2 ? - a ?x 1 ? x 2 ? m ? 的两个根为 x 1 、 x 2 ,则 ? ;反过来,若 ? ,则 x 1 、 x 2 是方程 ?x 1 x 2 ? n ?x x ? c ? 1 2 a ?
x 2 - (x 1 ? x 2 )x ? x 1 x 2 ? 0 的两根。
4.等差数列与等比数列的联系 1) 若数列 ? an ? 是等差数列, 则数列 {a n } 是等比数列, 公比为 a , 其中 a 是常数,d 是 ? an ?
a

d

的公差。(a>0 且 a≠1);

2)若数列 ? an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?log a an ? 是等差数列,公差为 log a q ,其 中 a 是常数且 a ? 0, a ? 1 , q 是 ? an ? 的公比。 3)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列。

6


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