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题组训练2-8


第8讲

函数与方程

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 西安高新一中测试)方程 2-x+x2=3 的实数解的个数为 A.2 C.1 B.3 D.4 ( ).

解析

构造函数 y=2 x 与 y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象如图,


由图可知有两个交点. 答案 A

2.(2014· 福州质检)若方程 ln x+x-5=0 在区间(a,b)(a,b∈Z,且 b-a=1)上 有一实根,则 a 的值为 A.5 C.3 解析 B.4 D.2 1 设函数 f(x)=ln x+x-5(x>0), 则 f′(x)= +1>0, 所以函数 f(x)在(0, x ( ).

+∞)上单调递增,因为 f(3)· f(4)=(ln 3+3-5)(ln 4+4-5)=(ln 3-2)(ln 4- 1)<0,故函数 f(x)在区间(3,4)上有一零点,即方程 ln x+x-5=0 在区间(3,4) 上有一实根,所以 a=3. 答案 C ( ).

3.若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,则实数 a 的取值为

A.0 1 C.0 或-4 解析

1 B.-4 D.2

当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即

函数仅有一个零点; 当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二 次方程 ax2-x-1=0 有两个相等实根. 1 ∴Δ=1+4a=0,解得 a=-4. 1 综上,当 a=0 或 a=-4时,函数仅有一个零点. 答案 C

2 4.(2013· 广安期末)函数 f(x)=2x- x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的 取值范围是 A.(1,3) C.(0,3) 解析 B.(1,2) D.(0,2) ( ).

2 2 因为函数 f(x)=2x-x-a 在区间(1,2)上单调递增, 又函数 f(x)=2x- x-

?f?1?<0, a 的一个零点在区间(1,2)内,则有? ,所以 0<a<3. ?f?2?>0, 答案 C

5.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2, x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是 A.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 解析 B.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 ( ).

依据零点的意义,转化为函数 y=x 分别和 y=-2x,y=-ln x,y= x

+1 的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得 x1<0<x2<1<x3. 答案 B

二、填空题 6.若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是

________. 解析 由已知条件 2a+b=0,即 b=-2a,

? 1? g(x)=-2ax2-ax=-2ax?x+2?, ? ? 1 则 g(x)的零点是 x=0,x=-2. 答案 1 0,-2

7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函

数值,如 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3, 由于 ln 3>1,所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2

x ?2 -1,x>0, 8.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实 ?-x -2x,x≤0,

数 m 的取值范围是________.

解析

画出 f(x)=

x ?2 -1,x>0, ? 2 的图象,如图. ?-x -2x,x≤0

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). 答案 (0,1)

三、解答题 1? ? 9.已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a,若 y=f(x)在区间(-1,0)及?0,2?内 ? ? 各有一个零点,求实数 a 的范围. 解 1? ? 依题意:要使 y=f(x)在区间(-1,0)及?0,2?内各有一个零点, ? ?

f?-1?>0, ? ?f?0?<0, 只需? ?1? ? ?>0, ?f? ?2? 3-4a>0, ? ?1-2a<0, 即? 3 ? ?4-a>0,

1 3 解得2<a<4.

?1 3? 故实数 a 的取值范围是?2,4?. ? ? 10.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),且满足 f(1)=0. (1)若函数 f(x)有两个不同的零点,求 b 的取值范围; 1 (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)=2[f(x1)+f(x2)]有两个不 相等的实根,证明必有一实根属于(x1,x2). (1)解 由题意知 b+c+1=0,即 c=-(1+b),

∴f(x)=x2+bx-(1+b), 若 f(x)有两个零点,则 f(x)=0 有两个不相等的实根, ∴b2+4(1+b)=(b+2)2>0,∴b≠-2. 即 b 的取值范围是{b|b∈R 且 b≠-2}. (2)证明 1 设 g(x)=f(x)-2[f(x1)+f(x2)]

1 则 g(x1)=2[f(x1)-f(x2)], 1 g(x2)=-2[f(x1)-f(x2)], 1 ∴g(x1)· g(x2)=-4[f(x1)-f(x2)]2, ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)· g(x2)<0, ∴g(x)=0 必有一根属于(x1,x2), 1 即方程 f(x)=2[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1. (2014· 烟台模拟)如图是函数 f(x)=x2+ax+b 的图象, 则函数 g(x)=ln x+f′(x) 的零点所在区间是 ( ).

?1 1? A.?4,2? ? ? ?1 ? C.?2,1? ? ? 解析

B.(1,2) D.(2,3)

由 f(x)的图象知 0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,g(x)=ln x+2x

1 ?1? ?1? +a, g(x)在定义域内单调递增, g?2?=ln 2+1+a<0, g(1)=2+a>0, g?2?· g(1) ? ? ? ? <0,故选 C. 答案 C

2.已知定义在 R 上的函数 f(x)图象的对称轴为 x=-3,且当 x≥-3 时,f(x)= 2x-3.若函数 f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则 k 的值为 A.2 或-7 C.-8 或-7 解析 B.2 或-8 D.-2 或-8 ( ).

当 x≥-3 时,由 f(x)=2x-3=0,解得 x=log23,因为 1≤log23≤2,

即函数的零点所在的区间为(1,2),所以 k=2.又函数的图象关于 x=-3 对称, 所以另外一个零点在区间(-8,-7)内,此时 k=-7,所以选 A. 答案 A

二、填空题 1-|x-1|,x∈?-∞,2?, ? ? 3. (2013· 杭州第一次质检)若函数 f(x)=?1 f?x-2?,x∈[2,+∞?, ? ?2 =xf(x)-1 的零点的个数为________.

则函数 F(x)

解析

据题意函数 F(x)=xf(x)-1 的零点个数可转化为函数 y=f(x)与函数 y=

1 x图象交点的个数,在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示,由图可知共 有 6 个交点,故函数 F(x)=xf(x)-1 的零点个数为 6.

答案

6

三、解答题 4.(2014· 成都月考)已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)= 解 f?x? -4ln x 的零点个数. x

(1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,

x∈R}, ∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3. (2)∵g(x)= x2-2x-3 3 - 4ln x = x - x x-4ln x-2(x>0),

3 4 ?x-1??x-3? ∴g′(x)=1+x2-x = . x2 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下: x g′(x) g(x) (0,1) + 1 0 极大值 (1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) +

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0.

又因为 g(x)在(3,+∞)单调递增,因而 g(x)在(3,+∞)上只有 1 个零点.故 g(x)在(0,+∞)只有 1 个零点.


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